HORVÁTH DEZSÕ
A Standard Modell: mi az, és mire jó?
Szimmetriacsoportok*
A részecskék egy-egy jellegzetes szimmetriáját a halmazelmélet nyelvén szimmetriacsoportok segítségével írjuk le. A fizika igazi nyelve a matematika: az elmélet és a spekuláció között a megfelelõ matematikai formalizmus adja a különbséget, az teszi lehetõvé ugyanis, hogy kísérletileg ellenõrizhetõ, számszerû eredményeket kapjunk.
1. ábra. Koordináta-rendszer síkbeli forgatása: az [X’, Y’] koordináta-rendszert az [X, Y] rendszer Q szöggel való elforgatásával kapjuk
Mivel a szimmetriák többnyire koordináta-rendszerünk transzformációi során jelentkeznek, a matematikai apparátust is így választjuk meg. Erre kézenfekvõ példa a síkbeli koordináta-rendszer forgatása a középpont körül Q szöggel. Az 1. ábrán látható, hogy ilyenkor egy P pont régi (x, y) koordinátáiból az elforgatott rendszerben elfoglalt (x’, y’) újakat a következõ transzformációval kapjuk meg:
x’ = a + b = xcosQ + ysinQ
y’ = y’’ – c = ycosQ – xsinQ(1)
(2)A P pont, mint kétdimenziós vektor, tehát a következõ koordinátatranszformáción megy át:
(3)
A fenti egyenlet a következõt mondja: az (x’, y’) vektort úgy kapjuk meg, hogy az (x, y) vektort megszorozzuk az elõtte álló számtáblázattal, mátrixszal, mégpedig úgy, hogy az eredményvektor elsõ eleméhez a mátrix elsõ sorát, a másodikhoz pedig a mátrix második sorát kell a vektor megfelelõ elemeivel szorozva összegeznünk.A forgatáshoz vezetõ transzformációs mátrixok fontos tulajdonsága, hogy nem változtatják meg a P pont távolságát a koordinátarendszerünk kezdõpontjától (hiszen egyik ponton sem mozdítottunk), azaz
x’2 + y’2 = (x2 + y2) · (cos2Q + sin2Q) = x2 + y2. (4) A részecskefizika általában nem valós, hanem komplex mennyiségekkel dolgozik. A komplex számok általános alakja x = a + ib, ahol az i a képzetes egység: i2 = –1. A mérhetõ fizikai mennyiségeknek, természetesen, valósaknak kell lenniük, ezért azokban a komplex mennyiségek abszolút értékének négyzete jelenik meg, amelyet úgy kapunk, hogy az x komplex számot megszorozzuk a saját x* konjugáltjával:
x2 = x*x = (a – ib) (a + ib) = a2 + b2. (5) Komplex mátrixoknál a konjugálást az elemeinek a fõátlóra történõ tükrözése, a mátrix transzponálása súlyosbítja. Az a feltétel tehát, hogy a forgatás a vektorok hosszát ne változtassa meg, a komplex elemû U forgatómátrixtól megköveteli, hogy unitér legyen, azaz hogy U† transzponált-konjugáltja saját magával szorozva az egységmátrixot adja, amely a fõ átlójában egyeseket, azon kívül nullákat tartalmaz:
(6) A fenti típusú forgatások a következõ matematikai tulajdonságokkal rendelkeznek:
– összeadhatók: forgatás Q1, majd Q2 szöggel, egyenértékû egy Q = Q1 + Q2 szögû forgatással;
– az összeadásuk felcserélhetõ: Q1 + Q2 = Q2 + Q1;
– van egységelemük, a Q = 0 szöggel történõ forgatás, az ui. semmit nem csinál.A fenti tulajdonságokkal rendelkezõ matematikai objektumok halmazát a halmazelméletben csoportnak hívjuk, a kétdimenziós forgatások csoportját pedig forgáscsoportnak. A forgáscsoport elemeinek konkrét matematikai alakját nem írjuk fel, az túlmegy cikkünk érthetõségi körén. (Már az eddigiek is erõsen feszegetik a keretet.)
Ennyi bevezetés után visszatérhetünk végre a spinre. A spin – mint már említettük – kétdimenziós mennyiség, a tulajdonságainak megfelelõ szimmetriacsoport tehát a forgáscsoport. Ahhoz, hogy matematikailag kezelni tudjuk a spint, a forgáscsoportot le kell tudnunk írni, azaz egyenleteket kell tudnunk rendelni a mûveleteihez: ezt ábrázolásnak hívjuk. A kétdimenziós forgatások csoportjának kézenfekvõ ábrázolása fenti példánk alapján az SU(2), a 2 x 2-es speciális (egységnyi determinánsú) unitér komplex mátrixok csoportja. Egy A mátrix determinánsa egységnyi, ha
(7)
Az SU(2) természetesen nemcsak a spinre alkalmazható, hanem bármilyen, a spinhez hasonló szimmetriájú fizikai mennyiség leírására. Az alapvetõ fermionok osztályozása ilyen mennyiségeken alapul, mint például a késõbb bevezetendõ izospin.Ha a szabadsági fokokat növeljük, hasonló tulajdonságú, magasabb szimmetriacsoportokat kapunk. A következõ fokozat, a késõbbiekben ugyancsak elõforduló SU(3) három lehetséges sajátállapotát úgy kell elképzelnünk, mint egy egyenlõ oldalú háromszög három sarkát, amelyek között, tehát a háromszög oldalai mentén, párosával, egy-egy SU(2) szimmetria létezne.
A komplex mennyiségek miatt azonban a forgatási szabadsági fokot csökkenthetjük is, így jön létre az U(1) csoport, amely az 1 x 1-es unitér mátrixoké, azaz a komplex számsík egységnyi abszolút értékû számaié. Ez az elektromágneses kölcsönhatás mértéktranszformációinak szimmetriacsoportja. Az elektromágneses mértékszimmetria legegyszerûbb példája az, hogy az elektrosztatikus potenciál zéruspontját szabadon választhatjuk meg, az egy rendszer fizikai állapotát nem befolyásolja.
Az antirészecskék érdekes tulajdonsága, hogy matematikailag úgy kezelhetõk, mintha azonos tömegû, azonos nagyságú és ellentétes elõjelû töltéssel rendelkezõ, térben és idõben ellenkezõ irányban haladó részecskék volnának. Ez a természet fontos szimmetriája: a töltés, a tér és az idõ egyidejû tükrözésétõl a fizika törvényei nem változnak meg. A három tükrözési mûvelet angol rövidítése nyomán, charge, parity, time, ezt CPT-szimmetriának hívjuk. Az elektron és pozitron ütközésekor végbemenõ folyamatokat tehát úgy írhatjuk le, mintha egy elektron bejönne a képbe, valamit csinálna, aztán dolga végeztével, térben és idõben ellenkezõleg kihátrálna; az elektromágneses áram analógiájára ezt részecskeáramnak nevezzük.
Egyszerû részecskeütközés esetén egy ilyen oda-vissza menõ részecskeáram kölcsönhatási bozont cserél egy másik hasonló árammal. Ezt Heisenberg határozatlansági relációja teszi lehetõvé, amely kimondja, hogy egészen rövid idõtartamokra ill. távolságokon megengedett az energia- ill. impulzusmegmaradás sérülése: DE·Dt ³
/2 és DpDx³
A CPT-szimmetria annyira alapvetõ a térelméletben, hogy sokak szerint nem is lehet kísérletileg vizsgálni; látszólagos kis eltérések megfigyelése esetén inkább hihetünk valamelyik megmaradási törvény sérülésében, mint a CPT-szimmetriáéban. Ennek ellenére komoly kísérleti erõfeszítés irányul ellenõrzésre. Legfontosabb tesztje a semleges K-mezon és antirészecskéje relatív tömegkülönbsége, amely a mérések szerint <10–18. A CERN-ben 1999 végén megépült antiproton-lassító berendezés fõ célja antihidrogén-atomok (antiproton és pozitron kötött állapota) elõállítása, hogy a hidrogénatommal összehasonlítva a CPT-szimmetriát ellenõrizzék (antianyag-fizika).
A részecskeállapotok keveredését keveredési szögekkel jellemezzük. A három alsó kvarkot egy háromdimenziós tér koordinátatengelyeinek képzelve, a rendszert három szöggel kell elforgatnunk a három tengely körül, hogy megkapjuk az összes lehetséges kvark-keveredést. A három szögbõl pedig megkapjuk a (d, s, b) vektort (d’, s’, b’)-be transzformáló Cabibbo–Kobayashi–Maskawa-mátrixot. A CP-sértés a három keveredési szög mellett negyedik paraméterként egy fázisszöget visz a CKM-mátrixba.
Másik nevezetes keveredés a gyenge és az elektromágneses kölcsönhatás egyesítésekor (Glashow, Weinberg és Salam: Nobel-díj, 1979) fellépõ gyenge keveredés. A részecskefizikában, ha két állapot keveredését nem tiltja valamilyen törvény, akkor keverednek, azaz a természetben elõforduló állapotok az elsõdlegesek lineáris kombinációi lesznek. Ez történik a gyenge kölcsönhatás semleges árama és az ugyancsak semleges elektromágneses áram között. Az utóbbi semlegessége viccesen hangzik, hiszen az elektromos áram elektromos töltések árama, viszont mint áram semleges, mert a foton nem hordoz töltést, tehát a kölcsönhatás folyamán a rendszer töltésállapota nem változik meg. A foton és a semleges gyenge bozon keveredésekor csak egy szög lép fel, a Weinberg-szög (vagy weak = gyenge keveredési szög), amelyet így két okunk is van QW-vel jelölni. A gyenge keveredés miatt lesz a gyenge bozonok tömege különbözõ: a Z0 valamivel nehezebb a W±-nál, mert a foton besegít.
Valamennyi keveredési szög szabad paraméter, tehát nem elméletileg megjósolható, hanem kísérletileg megállapítandó érték.
Azt szoktuk mondani, hogy a Standard Modellnek 19 paramétere van. A három kölcsönhatásnak van három erõssége, az erõs csatolási állandó, az elektromágneses finomszerkezeti állandó és QW, a gyenge keveredési szög. A hat kvark, a három töltött lepton és a Higgs-bozon tömege szintén szabad paraméter, akárcsak a CKM-mátrix három szöge és egy fázisa. A maradék kettõt az erõs kölcsönhatás elmélete, a kvantum-színdinamika adja, tárgyalásuk túlmegy e cikk keretein. Ha a neutrínóknak van nyugalmi tömege, a paraméterek száma hattal több lesz, három tömeggel és három leptonkeveredési szöggel.
*Cikkem nehezebben emészthetõ és elsõ olvasáskor elhagyható, de gyûjteményünk késõbbi fejezeteinek megértését segítõ részeit keretes betétekbe helyeztem. (A Hálón ezek külön lapon olvashatók; szerk.) Sajnos, a szimmetriacsoportok magyarázata számos kitérõt igényel, ezért ez a betét a többinél lényegesen hosszabb és fárasztóbb, mind az olvasónak, mind pedig a szerzõnek.
Vissza: A Standard Modell: mi az, és mire jó?
