A matematika, ha nem tartozik is a természettudományok közé, velük évezredekig szoros kapcsolatban fejlõdött. Az antikvitás vagy a reneszánsz olyan tudósai, mint Arkhimédész, Pascal vagy Newton, a tudományok mai osztályozása szerint akár matematikusnak, akár fizikusnak (vagy éppen a mûszaki tudományok mûvelõjének) volnának tekinthetõk. Még a 18. és 19. század olyan tudósai is, mint Euler vagy Gauss, egyaránt alkottak nagyot a matematikában és a fizikában. Talán 150 éve annak, hogy a matematikában egyre több az olyan probléma s az ennek nyomán kialakuló elmélet, amelyet nem a természettudományok felvetette kérdések, hanem a matematika belsõ fejlõdésének szükségletei indítottak útjára. Ugyanakkor ezeknek a tiszta matematikai motivációjú elméleteknek a jelentékeny része, néha egészen meglepetésszerûen, megtalálja késõbbi természettudományi vagy mûszaki alkalmazását. Így a matematika és a természettudományok elõrehaladása közötti kapcsolat napjainkig sem szakadt meg. Mindezek szükségessé teszik, hogy a magyaroknak a világ természettudományos és mûszaki haladásában játszott szerepét végigtekintve, a matematika fejlõdésére kifejtett hatásuk is szót kapjon. Az elõadás* célja ennek a hozzávetõleges megvalósítása; a hozzávetõlegességet nemcsak az idõ megszabta keretek idézik szükségszerûen elõ, hanem az a körülmény is, hogy a jelen század magyar származású matematikusainak életmûve monográfiában még egyáltalán nincs feldolgozva, és cikk formájában is csak hézagosan, némelyiküké semmilyen formában sem történt meg. Így az elõadás során – eleve a már elhunytakra szorítkozva – az ismertetés mélységében nem törekedhettem kiegyensúlyozottságra, hanem a források adta lehetõségekhez kellett alkalmazkodnom.

  Jól ismert tény, hogy a magyar államalapítás utáni századokban Magyarország politikai téren, legalábbis egyes idõszakokban, egyenrangú vagy közel egyenrangú volt Európa vezetõ nagyhatalmaival. Hasonló mondható a kultúra területén a mûvészetekben játszott szerepérõl; abból, amit a késõbbi évszázadok dúlásai meghagytak, sokszor szinte véletlenül elõkerült leletekbõl, virágzó mûvészi életet lehetett rekonstruálni, amely Kelet-Közép-Európa többi területének szintjét feltétlenül eléri, egyes tekintetekben meg is haladja (gondoljunk csak a reneszánsz korai megjelenésére). Lényegesen más a helyzet a kultúra tudományos szektorában. Egyes kiemelkedõ uralkodók (I. Lajos, Zsigmond, Mátyás) egyetemalapítási kísérletei csak évekig vagy évtizedekig mutatkoztak életképesnek, így a magyar értelmiség csak külföldi egyetemeken nevelõdhetett, s akik onnan hazatértek, nem lelhettek megfelelõ mûködési területre. Csábító volna eljátszani azzal a gondolattal, hogyan alakulhatott volna Magyarországon a természettudományok s velük a matematika helyzete, ha olyan kiválóságok, mint például Regiomontanus, nemcsak egy-két esztendeig mûködnek hazánkban, hanem tanítványok tucatjait is felnevelik. A kultúrtörténet-írás feladata, hogy mélyebben elemezze mindennek okait. Mostani célunkhoz elég tudomásul venni, hogy Magyarországnak még politikai virágzása alatt sem sikerült a természettudományos fejlõdés európai színvonalához felzárkóznia, s természetesen még kevésbé sikerülhetett ez azokban az évszázadokban, amelyekben a török terjeszkedés és az ország jelentékeny részére kiterjedõ megszállás az országot három részre szakította, állandóan háborúktól zaklatott politikai légkört teremtett, s mindehhez vallási villongások, belsõ viszályok járultak.

  Nem meglepõ tehát, hogy Szénássy Barna “A Magyarországi matematika története a legrégibb idõktõl a 20. század elejéig” címû kiváló monográfiájában az európai természettudományos fellendülést képviselõ 16. és 17. századról megállapítja: ebben a korban a nyugat-európai fejlõdéshez képest “ha csak az önálló matematikai eredményeket tekintjük, a hazai helyzet igen lehangolónak látszik. E korból egyetlen, a szó igazi értelmében »matematikus«-nak nevezhetõ személyt, egyetlen önálló magyar matematikai eredményt sem tudunk említeni.” A könyvnek e korszakkal foglalkozó fejezetei ennek megfelelõen elemi tankönyvekkel (latin vagy magyar nyelven, néha igen magas színvonalon), kéziratokkal kapcsolatos adatokat tárhatnak csak fel, de a nemzetközi fejlõdésben számon tartható eredményeket semmiképpen sem. E kedvezõtlen kép megváltoztatásának elsõ jelei a török kiûzését követõ és politikai stabilizációt jelentõ 18. században mutatkoznak. Ekkor jelent meg az elsõ olyan magyar származású tudós, aki – ha nem tartozott is korának elsõ osztályú matematikai kutatói közé – nemzetközileg számon tartott önálló matematikai eredményeket ért el. Segner János Andrásról van szó (1704–1777), aki iskoláit szülõvárosában, Pozsonyban, majd Gyõrött végezte, ezután Jénában szerzett orvosdoktori oklevelet, és rövid debreceni mûködés után különféle német egyetemeken tanított. Sokoldalú munkássága során önálló matematikai eredményeket is közölt, így bizonyítást adott az ún. Descartes-féle jelszabályra (egy valós együtthatós algebrai egyenletnek legfeljebb annyi valós gyöke lehet, mint az együtthatók sorozatában található elõjelváltások száma), amelyet Descartes bizonyítás nélkül közölt; lényegében véve felfedezte a jóval késõbb Lilltõl újra megtalált (s róla elnevezett) grafikus eljárást polinomok adott helyen vett értékének megszerkesztésére, továbbá jó közelítõ módszert adott a p szám kiszámítására. Mindezeket kortársai ismerték és idézték, egy geometriai megjegyzése pedig Legendre munkásságára volt hatással. A jég tehát megtört, bár szerény színvonalon, és nem idehaza mûködõ tudós révén. Az igazi fordulatot azonban a 19. század jelenti, amikor kétlépcsõs rakétaként magasba ível a két Bolyai pályája.

  Bolyai Farkas (1775–1856) életmûvére rányomja bélyegét az a szerencsés véletlen, hogy 1796-tól 1799-ig a göttingeni egyetemen tanulhatott, s itt egy életre szóló barátságot köthetett a nagy Gauss-szal, a késõbbi “princeps mathematicorum”-mal. Az ezekben az években magába szívott matematikai kultúra és sokoldalú tehetsége lehetõvé tette, hogy a marosvásárhelyi református kollégium tanáraként 1804-tõl kezdve eltöltött évei alatt, a kisvárosi légkörrel, nyomasztó anyagi gondokkal, családi bajokkal küzdve is jelentõs önálló matematikai eredményeket érjen el. Az akkori erdélyi viszonyok között ezeknek közzétételére másként nem is gondolhatott, mint hogy tanítványai számára írt, 1832-ben megjelent fõiskolai tankönyvébe rejtette õket (az ige nem véletlen, a szokványos tananyagból csak a szakértõ tudja kibányászni az önálló felfedezéseket). Közülük legnagyobb hatást egy, bizonyos algebrai egyenletek közelítõ megoldására szolgáló eljárás, a poligonok egymásba való darabolásáról szóló tételkör és a párhuzamosok problémájával kapcsolatos vizsgálatok keltették. Szóljunk az utóbbi kettõrõl kissé részletesebben. Bolyai Farkas volt az elsõ, aki észrevette és bebizonyította, hogy ha a síkban két sokszög területe egyenlõ, akkor mindkettõt fel lehet darabolni olyan egymásba nem nyúló sokszögekre, amelyek páronként egybevágók egymással. Talán természetesnek látszhat ez a tétel, de hogy nem az, azt mutatja, hogy a térben felvethetõ analóg kérdésre Bolyai Farkas hiába kereste a választ, s azután mások is sikertelenül küzdöttek vele. Végül is Hilbert felvette 1900-ban tartott nevezetes elõadásában a matematika általa legfontosabbnak tartott problémái közé (igaz, ezek között ez bizonyult a legkönnyebbnek; igen hamar sikerült megmutatni, hogy a térben nem érvényes Bolyai Farkas tételének megfelelõje).

  A párhuzamosok problémája iránti érdeklõdést a Gauss-szal folytatott beszélgetések ébresztették fel Bolyai Farkasban. A kérdés az volt, hogy Eukleidész nevezetes párhuzamossági axiómája (legegyszerûbb fogalmazásban: ha a síkban adva van egy egyenes és egy rajta nem fekvõ pont, akkor az utóbbin át pontosan egy egyenest lehet fektetni, amely az adott egyenest nem metszi) levezethetõ-e a többi axiómából. Bolyai Farkas sokáig kereste a levezetést, errõl ismételten levelezett Gauss-szal, majd fõ törekvése a párhuzamossági axiómával egyenértékû, de egyszerûbb állítások keresése volt; az utóbbiak közül legismertebb az, hogy a síkban három pont vagy egy egyenesen, vagy egy körön fekszik. Ebben az irányban mégis az tekinthetõ legfõbb érdemének, hogy a párhuzamosok problémájára felhívta fia figyelmét.

  Bolyai János (1802–1860) már gyermekéveiben kitûnt szembeszökõ matematikai tehetségével. A Marosvásárhelyen töltött iskolaévek után magasabb matematikai képzésére egyetlen lehetõségnek látszott a bécsi hadmérnöki akadémia elvégzése. Így János a hadmérnöki pályára lépett, de szabad óráiban állandóan a párhuzamosok problémáján töprengett, amely, apjától tudta, évezredek óta kihívás a legélesebb elmék számára. Megkísérelte az axióma indirekt bizonyítását, vagyis annak feltételezését, hogy az axióma állítása nem igaz, s ebbõl valamely ellentmondás levezetését. Megkísérelték ezt már elõzõleg többen is, és a párhuzamossági axióma tagadásából szokatlannál szokatlanabb geometriai állításokhoz jutottak, majd valamelyiknél megálltak, azt gondolva, hogy ez már igazán képtelenség, s ekként indirekt úton bebizonyítani vélték a párhuzamossági axióma állítását. Bolyai Jánost azonban nem ijesztették meg a szokatlan geometriai állítások, hanem már 1823-ban arra a meggyõzõdésre jutott, hogy ezek a furcsa geometriai tételek egy ellentmondásoktól mentes geometriai elméletté, egy újszerû geometriává állnak össze. Ekkor írta apjához híres levelében: “semmibõl egy új, más világot teremtettem”. Eszerint a párhuzamossági axióma független a többi euklideszi axiómától, elfogadásával az euklideszi geometria, tagadásával az újszerû nemeuklideszi geometria jön létre, figyelmen kívül hagyásával pedig a két geometria közös elemeit magában foglaló abszolút geometria áll elõ. János számára csak évek múlva kínálkozott lehetõség arra, hogy az új geometria kidolgozott elméletét nyomtatásban közzétegye: apja tankönyvének, amelyet barokkosan hosszú címének elsõ szavával “Tentamen” néven szokás emlegetni, egyik függeléke, “Appendix”-e foglalja magában “a tér abszolút igaz tudományának” kifejtését. A kötetnél hónapokkal korábban elkészült különlenyomatot Farkas sietett elküldeni a matematika fejedelmének, a bálványozott Gaussnak. Alig érezhetjük át János mélységes csalódását, amikor a göttingeni óriás válaszlevelében néhány udvarias szó után kitér az Appendix dicsérete elõl, mivel ezzel önmagát dicsérné, hiszen õ ezeket az eredményeket már régóta ismeri.

  A tudománytörténet számára alighanem örök rejtély marad, mennyire megalapozott Gaussnak ez az érvelése. Túl azon, hogy Gauss soha közzé nem tett, e témakörre vonatkozó eredményei semmit sem vonnak le Bolyai János önálló felfedezésének értékébõl, Gauss feljegyzéseibõl és levelezésébõl csak igen hézagosan rekonstruálhatók idevágó vizsgálatai. Az biztosra vehetõ, hogy a párhuzamossági axióma tagadására épülõ geometria ellentmondástalanságában szilárdan hitt, s ebben Jánost évekkel megelõzte, de az ennek alátámasztására szolgáló geometriai elmélet felépítésében biztosan csak az elsõ lépéseket tette meg, és a Jánoséhoz hasonló részletes kidolgozásig nem jutott el. Jánost mindenesetre teljesen letörte Gauss igénye a párhuzamossági probléma megoldásának prioritására (mai felfogásunk szerint publikálatlan eredményre természetesen semmiféle prioritási igény nem alapozható). Nyugdíjazását kérte, visszavonult gazdálkodni, s hátralevõ csaknem három évtizedében már jóformán csupán asztalfiókjának dolgozott. Egyetlen kivétel részvétele egy pályázaton, amely a komplex számok geometriai szerepének tisztázását kívánta; mélyenjáró és korát megelõzõ fejtegetései visszhangtalanok maradtak (a pályadíjat sem János, sem Farkas, aki szintén pályázott, nem nyerte el, hanem egy harmadik, ugyancsak magyar szerzõtõl eredõ, teljesen jelentéktelen munka).

  Az Appendix megjelenése után jó másfél évtizeddel jutott János kezébe N. I. Lobacsevszkij könyve, amelyben – Jánossal csaknem egy idõben, és sok tekintetben hasonló úton, de a részletekben lényeges eltérésekkel – szintén felfedezi a ma már korrekten kettejükrõl Bolyai–Lobacsevszkij-félének nevezett geometriát. János éveket töltött ennek elemzésével; hol bíráló, hol õszintén lelkesedõ feljegyzései megrendítõ olvasmányt jelentenek.

  Talán felesleges hangsúlyozni, hogy az európai tudományos élet peremén, Erdélyben kiadott fõiskolai tankönyv és függeléke, ha mindjárt a tudományosság akkor éppen letûnõben levõ világnyelvén íródtak is, semmiféle hatással nem voltak a kortársakra. Csak évekkel a két Bolyai halála után figyelt fel a külföld az Appendixre s annak nyomán a Tentamenre német és francia tudósok közvetítésével. 1867-ben megjelent az Appendix franciául, s az azt követõ évtizedekben tartalmát a 19. századi matematika egyik legfényesebb eredményének kezdték tekinteni. Túl azon a tényen, hogy egy évezredek óta ostromolt probléma lezárásáról van szó, külön érdeme az Appendixnek (amit talán éppen napjainkban kezdünk a legvilágosabban látni), hogy megindította az axiomatikus módszer mára hallatlan mértékben felívelt diadalútját. Eukleidész mûvében s azután egészen az Appendixig az axiomatikus felépítés egyetlen geometriai elmélet, az euklideszi geometria megalapozására szolgált. Az Appendixben mutatott rá Bolyai János elsõnek arra, hogy egy axiómarendszer több elmélet egyidejû leírására is felhasználható (ti. az euklideszi és nemeuklideszi geometria közösen leírható a párhuzamossági axióma elhagyásával nyert axiómarendszerrel). A mai felfogás éppen a matematika lényegének érzi az axiómarendszerrel való leírhatóságot, ehhez a felismeréshez az elsõ lépést az Appendix tette meg. A teljesség kedvéért meg kell jegyezni, hogy Bolyai János (s éppen úgy Lobacsevszkij) nem bizonyította be a nemeuklideszi geometria ellentmondástalanságát, ha mindketten meg voltak is errõl gyõzõdve. A bizonyítás a század utolsó évtizedéig váratott magára, ezzel megadva a szilárd alapot a két szellemóriás munkájának értékeléséhez.

  A nemeuklideszi geometria ellentmondástalanságának bizonyításán pontosabban azt kell érteni, hogy megmutatjuk: ha nincs ellentmondás az euklideszi geometria axiómarendszerében, akkor nincs a nemeuklideszi geometriáéban sem. Erre az ún. modellmódszer szolgál; ebbõl a célból az euklideszi tér bizonyos alakzatainak adjuk a nemeuklideszi tér pontjainak, egyeneseinek stb. szerepét (pl. az egyik modellben a nemeuklideszi tér pontjain az euklideszi tér egy gömbjének belsejében fekvõ pontokat, egyenesein a gömb húrjait értjük), és belátjuk, hogy ezekre teljesülnek a nemeuklideszi geometria axiómái.

  Figyelemre méltó, hogy ennek a modellmódszernek elsõ alkalmazását éppen az Appendixben találjuk meg; itt a szerzõ (az elõbbivel éppen fordított módon) a nemeuklideszi geometriában szerkeszt modellt az euklideszi geometria számára (igaz, nem az ellentmondástalanság bizonyítása céljából, – hiszen ebbõl csak az következnék, hogy ha a nemeuklideszi geometria ellentmondástalan, akkor ilyen az euklideszi is –, hanem a nemeuklideszi trigonometria elegáns elõállítása végett).

  Láttuk, a két Bolyai matematikai eredményei csak haláluk után évtizedekkel váltak közkinccsé és tudták a kívánt hatást kifejteni. Az elsõ magyar egyetemi tanár, akinek matematikai felfedezései már életében elnyerték a nemzetközi elismerést, Hunyadi Jenõ (1838–1889) volt. ’ a lineáris algebrának, mindenekelõtt a determinánsok elméletének mûvelõjeként megérdemelten lett a budapesti mûegyetem tanára. Eredményeit sokan használták fel és fejlesztették tovább, még az utóbbi évtizedekben is sikerült érdekes mûszaki alkalmazásaikra rátalálni. Ugyancsak a budapesti mûegyetem professzora volt a rendkívül sokoldalú, nagy hatású Kõnig Gyula (1849–1913). Munkásságának legmaradandóbb része kétségkívül halmazelméleti eredményeiben található. Az újat megragadni képes egyéniségére jellemzõ módon igen hamar bekapcsolódott a Georg Cantor kidolgozta halmazelmélet továbbfejlesztésébe. A Cantor bevezette számosságfogalom egyik nevezetes tulajdonságát mondja ki a témakörben klasszikussá vált Kõnig-féle egyenlõtlenség, amelyet 1904-ben mutatott be a nemzetközi matematikai kongresszuson. Elõadása egy ideig matematikai világszenzáció hatását keltette, mert egyenlõtlenségének alkalmazásaként, F. Bernsteinnek egy akkoriban megjelent eredményére támaszkodva, eldönteni vélte a már Cantortól megfogalmazott és Hilbert 1900-as elõadásában a legfontosabb nyitott problémák között felsorolt kontinuumsejtést. Ez azt mondja ki, hogy a természetes számok halmazának számossága és a valós számok halmazának számossága között más további számosság nem található; Kõnig elõadásában cáfolni kívánta ezt a sejtést. Sajnos Bernstein tétele, amelyre Kõnig bizonyítását alapozta, nem érvényes olyan általánosságban, mint ahogyan azt Bernstein kimondta, s éppen a Kõnig számára lényeges esetre nem alkalmazható. Ezt maga Bernstein s mások is csak évek múltán vették észre, s ezzel Kõnig elesett a kontinuumsejtés megoldásának dicsõségétõl (csak e század hatvanas éveiben derült ki, hogy a kontinuumsejtés nem dönthetõ el a halmazelmélet szokásos módszereivel). A Kõnig-féle egyenlõtlenség azonban máig a számosságok aritmetikájának egyik legfontosabb eredménye. Ha nem váltak is olyan klasszikussá, mint halmazelméleti felfedezése, de jelentõsek és tartós visszhangot váltottak ki Kõnig Gyulának a matematikai logika, az algebra, a számelmélet, az analízis, s különösen a parciális differenciálegyenletek elmélete terén elért eredményei. Ezekben mindig a legfrissebb kutatásokhoz kapcsolódott, s gondolatai sokszor csak évtizedek múlva lelték meg folytatójukat.

  Mint láttuk, a budapesti mûegyetem professzorai már a 19. század második felében nemzetközi hírû matematikai sikereket értek el. A tudományegyetemek közül e tekintetben nem a budapesti, hanem az akkoriban alapított kolozsvári vált fontos matematikai centrummá. Professzorai közül Farkas Gyula (1847–1930) elsõsorban az elméleti mechanikának volt ugyan a mûvelõje, de néhány fiatalkori matematikai eredménye, jó fél évszázados várakozás után, nélkülözhetetlennek mutatkozott a napjainkban felvirágzott lineáris programozás egyik módszerének alapvetésében. Vályi Gyula (1855–1913) viszonylag keveset publikált, s így hatása inkább igen gondosan kidolgozott elõadásain át mutatkozott meg. Néhány vizsgálata jelentõs visszhangra talált; közöttük néhány, mechanikai problémák révén felvetõdõ, a parciális differenciálegyenletek elmélete és a variációszámítás körébe vágó tanulmánya kiemelkedõ.

  Zömmel már századunkba esik egy sajátos egyéniség, Geõcze Zoárd (1873–1916) munkássága. Már egészen fiatalon bekapcsolódott a századforduló táján élenjáró francia valós függvénytani iskola munkásságába, de nehézkesen megfogalmazott kéziratai sem itthon, sem külföldön nem leltek tartalmukhoz méltó visszhangra. Így életét vidéki, majd budapesti középiskolák tanáraként töltötte el, s csak a fronton szerzett betegségébõl eredõ sajnálatosan korai halála után évtizedekkel derült ki, hogy a felszínszámítás modern elméletének megalapozóját vesztettük el vele. A harmincas évektõl kezdve megjelent monográfiák külön fejezeteket szentelnek eredményeinek. A budapesti tudományegyetem elsõ jelentõs matematikai eredményeket produkáló professzora Beke Manó (1862–1946) volt; elsõsorban a differenciálegyenletek elméletében közölt dolgozatai jelentenek maradandó értéket, de nagyra kell becsülni, évtizedekig tartó hatása miatt, a hazai (és a nemzetközi) matematikaoktatás megjavítására irányuló, a matematika népszerûsítésére is kiterjedõ munkásságát.

  A budapesti mûegyetem újabb kiemelkedõ matematikaprofesszora volt Kürschák József (1864–1933). Sokoldalú munkásságának klasszikussá vált része az e század elején megszületett, hosszú ideig “modern algebrá”-nak, ma inkább absztrakt algebrának nevezett tudományterülethez tartozik. Ennek vizsgálataiba igen korán bekapcsolódva megalkotta az ún. értékeléselméletet, amely természetes módon s bizonyos értelemben a lehetõség határáig általánosítja azt az eljárást, amellyel a racionális számokból a komplex számokig bõvítjük a számfogalmat. Egy-egy kutató már korábban is érintette a számelmélet területét, ez azonban, pontosabban az ún. algebrai számelmélet, középponti szerepet játszik Bauer Mihály (1874–1945) munkásságában. Elsõsorban az identikus kongruenciák vizsgálatában talált eredményei váltak további kutatások forrásává. Az imént említettekhez hasonlóan a Budapesti Mûszaki Egyetemen tanított Jordan Károly (1871–1959), mégpedig annak Közgazdaságtudományi Karán, s ugyancsak újabb tudományág hazai meghonosítása fûzõdik a nevéhez. Ez a tudományág a valószínûségszámítás és a matematikai statisztika; századunk harmincas éveiben Kolmogorov munkásságának köszönhetõen ezek a diszciplínák szinte teljesen újjászülettek, az ezt megelõzõ klasszikus valószínûségszámítási irányzatnak mintegy a csúcsát képviselik Jordan Károly munkái. A matematikai statisztikai számításokban fontos segédeszközt jelentõ differenciaszámításról nagy sikerû monográfiát is írt, és fontos vizsgálatai fûzõdnek a matematikai statisztikának meteorológiai és szeizmológiai alkalmazásaihoz.

Folytatás