Egységes tudomány-e a matematika, vagy egyre inkább sok független, eltérõ utakon fejlõdõ, egymás eredményeit nem ismerõ, sõt lassan meg sem értõ közösségre bomlik? Erõsítik-e vagy gyöngítik ezt a folyamatot a kutatás megváltozott körülményei, mint például a számítógépek? El kell-e fogadnia ezt a szétforgácsolódást a matematikus társadalomnak?

  Hogy ezekre a kérdésekre válaszolhassunk, tekintsük át a törésvonalakat, melyek ma a matematikán belül húzódnak, a legfõbb trendeket, melyek ma a matematikai kutatást alakítják, a matematikai kutatás új formáit és módszereit, és végül (kicsit mélyebben merülve a technikai részletekbe) a matematika mélyebb egységét bemutatandó, a diszkrét és folytonos matematika közti analógiát.

  A trendek, amelyeket alább tárgyalunk, és az általuk felvetett problémák persze nem korlátozódnak a matematikára. Így, gondolom, más tudományágak mûvelõinek is meg kell találni válaszukat. Ez nyilván sok tekintetben más lesz, mint a matematika válasza, de hasonló elemekre fog épülni. Talán ez a közös megoldáskeresés a matematika egységén túl a tudományok, sõt az egész emberi kultúra egységét is megerõsíti.

A matematika mindig is szélesebb területet vizsgáló, módszereiben és paradigmáiban kevésbé kötött tudomány volt, mint pl. a fizika. A mai matematikát azonban sokkal több törésvonal járja át meg át, mint a múltban bármikor.

  Ezek közül a legközismertebb a tiszta és az alkalmazott matematika között halad. Az absztrakt és a konkrét matematika szembenállása az ún. Bourbaki-iskola körüli vitákban csúcsosodott ki. A strukturális matematika (amelynek eredményei tételek és bizonyítások) és az algoritmikus matematika (amelynek eredményei algoritmusok és elemzésük) közötti megkülönböztetés az ókorig nyúlik vissza. Ugyanilyen mélynek tûnik a szakadék a folytonos matematika (analízis) és a diszkrét matematika (pl. a gráfelmélet) között.

  E törésvonalak némelyike a különbözõ munkahelyi feltételek következménye: például az alkalmazott matematikusok munkáját egészen más finanszírozási körülmények és sikerfeltételek határozzák meg, mint a tiszta matematikusokét. Más határvonalak “kulturálisak”: a matematika egyes szakirányainak saját konferenciái, folyóiratai és díjai vannak, saját fogalomkészlete és paradigmái, sõt, mások a beszélgetés során természetesnek vett értékrendszerek is. Az absztrakciók szeretete vagy nem szeretete természetesen egyéniség és vérmérséklet függvénye is.

  E törésvonalak persze nem teljesen ortogonálisak egymásra. Néha ilyesfajta azonosítások születnek: tiszta–absztrakt–strukturális–folytonos és alkalmazott–konkrét–algoritmikus–diszkrét. Olykor ezek az azonosítási sorok így egészülnek ki: jó–tiszta–absztrakt–strukturális–folytonos és rossz–alkalmazott–konkrét–algoritmikus–diszkrét [5] (a koordináták némelyikét ízlés szerint felcserélhetjük). De még ha nincs is 16 vagy 32 különbözõ matematika, bizonyos centrifugális erõk mûködése egészen nyilvánvaló.

  Fogadjuk el talán ezt a felosztást, mint az élet egy tényét (“Én egy rossz–tiszta–absztrakt–algoritmikus–diszkrét matematikus vagyok”)? Vannak, akik szerint ezt kell tennünk, és a matematika feldarabolódását egyre kisebb és kisebb szakirányokra az élet velejárójának kell tekintenünk.

  Én úgy érzem, az ebbe való belenyugvás tragikus következményekkel járhat. Szerintem a matematikai tudomány életereje egy mélyen gyökerezõ egyetemesség következménye. E cikkben arról szeretnék írni, hogyan teszik a matematika közelmúltbeli fejleményei az elõbb említett törésvonalakat a látszatnál bonyolultabbá (és talán egyben kevésbé félelmetessé is). Nekünk matematikusoknak mindent el kell követnünk a közöttünk húzódó szakadékok áthidalása érdekében, és ennek a törekvésünknek éppen a matematika új fejleményei válhatnak eszközeivé.

A közösség mérete. Közhely, hogy a matematikai publikációk száma exponenciálisan növekedett az utóbbi ötven évben, ugyanúgy mint más tudományok publikációinak a száma. A matematikustársadalom már nem csak a “kockafejûeknek” az a kicsi és zárt világa, ami régebben volt. A szakmai közösség kiterjedésével egyidejûleg a matematika egyre sokoldalúbb lesz, egyre strukturáltabb és bonyolultabb.

  A matematikusok konzervatívak. Ezalatt persze nem azt értem, hogy mind szélsõjobboldaliak vagyunk (amennyire meg tudom állapítani, a politikai spektrum minden részének van közöttünk képviselõje, úgy mint bármely más szakmai közösségben), de általában nem akarjuk az idõnket mással tölteni, mint például a P=\NP sejtés bizonyításával (ez persze lehet a Riemann-hipotézis vagy valami más, gondolatainkat épp fogva tartó probléma). Így hát úgy teszünk, mintha a matematikát nem érintené meg a változás szele. Azt hisszük például, hogy minden számunkra fontos információhoz hozzájuthatunk, ha a könyvtárba érkezõ új folyóiratokat átnézzük, és hogy ha egy jól ismert folyóiratban publikálunk egy cikket, az el is jut mindazokhoz, akik kutatásaikban fel tudják használni az eredményeinket.

  A fontos folyóiratok háromnegyede azonban nincs is ott a könyvtár asztalán, hisz csupán az Amerikai Matematikai Társulat kombinatorikai témaklasszifikációjának 05 számú fõ része évente több mint 2500 újonnan publikált cikket sorol fel legalább 10 erre specializálódott, és számtalan másfajta folyóiratban. De még ha hozzá is jut az ember ezekhez a folyóiratokhoz – és ideje is van elolvasni õket –, még mindig csak a matematika egy nagyon kicsiny szögletének eredményeirõl szerez tudomást.

  A nagyobb rendszer sohasem csak a kisebbnek nagyított változata. A nagyobb testû és bonyolultabb felépítésû állatokban például a test egyre nagyobb része szolgálja az “overhead”-et: az anyagok szállítását és a különbözõ testrészek mûködésének koordinációját. A nagyobb létszámú és bonyolultabb társadalmak a tartalékaik mind nagyobb részét fordítják olyan nem termelõ tevékenységekre, mint a szállítás és az információfeldolgozás. El kell fogadnunk, hogy a matematikai tevékenységnek is mind nagyobb és nagyobb része kell, hogy legyen és lesz is a kommunikáció. Ez meglátszik abban, hogy a szakmai látogatások, konferenciák, workshopok és kutatóintézetek száma gyorsan növekszik, az elektronikus postát is egyre többször és többre használjuk. A többszerzõjû cikkek száma is ugrásszerûen megnõtt. Nemsokára minden bizonnyal eljutunk oda, hogy a kölcsönös személyes kapcsolaton alapuló kommunikáció már nem biztosítja az információ kellõképpen gyors átadását.

  A tömeg növekedésének van még egy következménye, és ez a kisebb közösségek vagy akár szubkultúrák elkerülhetetlen kialakulása. Ezek, úgy tûnik, véletlenszerûen jönnek létre, de makacsul fennmaradnak és a kutatási irányokat hosszú idõre meghatározzák. Egy ilyen szubkultúra a diszkrét matematika–számítástechnika–
operációkutatás. A kulturálison kívül nem látok más okot arra, hogy például a számítási bonyolultságelméletet, ami ebben a szubkultúrában központi szerepet játszik, miért nem vette át a numerikus algoritmusok tervezõinek többsége.
 
 

Az alkalmazás új területei. A matematika alkalmazásának hagyományos területe a fizika, és kétségtelenül ez az alkalmazási terület az, amely a legmélyebb matematikát egyesíti a leglátványosabb sikertörténetekkel. A matematika itt alkalmazott szakiránya az analízis, a matematika igazi “kemény magja”.

  A század második felében robbanásszerûen kiterjedõ tudományos kutatás viszont oda vezetett, hogy sok más tudománynak is szüksége lett komoly matematikai eszközökre. Az analízis hagyományos eszközei pedig a célnak gyakran nem felelnek meg.

  A biológia például a genetikai kódot próbálja megérteni. Ez olyan gigantikus feladat, amely az élet, mint olyan, és önmagunk megértésének kulcsa. A genetikai kód diszkrét (vagyis véges) struktúra. Az olyan egyszerû alapkérdések, mint egyezõ minták keresése vagy részláncok átfordítása a gráfelmélész fülének ismerõsebben hangzik, mint a differenciálegyenletek kutatójának. Egy, a genetikus kód információtartalmáról, redundanciájáról vagy stabilitásáról szóló kérdést a klasszikus matematika mûvelõje adott esetben túl körvonalazatlannak találhat, míg az elméleti számítógéptudósnak azonnal eszébe jut legalábbis néhány olyan eszköz, amivel formát adhat neki, még akkor is, ha megválaszolni egyelõre nem tudja.

  Még a fizikus is találkozik szokatlan diszkrét matematikai rendszerekkel, az elemi részecskék, kvarkok és társaik ugyanis nagyon kombinatorikusak, vagy például a statisztikus mechanika megértéséhez gráfelméletre és valószínûségszámításra van szükség.

  A közgazdaságtan is komoly felhasználója a matematikának – és, megint csak, szükségleteinek többségét nem lehet a hagyományos alkalmazott matematika eszköztárából fedezni. A lineáris programozás sikere a közgazdaságtanban és az operációkutatásban azon a feltevésen alapszik, hogy a termelési folyamatok korlátlanul oszthatók és konvex függvényekkel írhatók le; az oszthatatlanságok figyelembevétele (például logikai döntéseknél vagy egyéneknél) viszont diszkrét programozáshoz és más kombinatorikus optimalizációs modellekhez vezet, amelyekkel sokkal nehezebb bánni.

  Végül ott van az alkalmazott matematika teljesen új területe: a számítógéptudomány. Az elektronikus számítás jól megfogalmazott, nehéz és fontos matematikai problémák hatalmas tárházát képezi, amelyeket az algoritmusok, adatbázisok, formális nyelvek, kriptográfia, az adatközlés biztonsága, VLSI-tervezés stb. vetnek fel. Ezek legtöbbjének a diszkrét matematikához, formális logikához és valószínûségszámításhoz van köze.

  Hogy a közeljövõben a matematika mely szakterületei válnak még alkalmazhatóvá, az teljességgel megjósolhatatlan. Csak 25 éve még úgy tûnt, az olyan számelméleti kérdések, mint az, hogy hány 200 jegyû prímszám van, a matematika legtisztább, legklasszikusabb és teljesen alkalmazhatatlan részéhez tartoznak, most pedig hasonló kérdések képezik a matematikai kriptológia és az adatbiztonság magját.

  Úgy tûnik, az alkalmazások sokszínûsége egy újabb centrifugális erõ, ami viszont, úgy gondolom, a felaprózódással ellentétben éppen hogy erõsíteni fogja az információ áramlását a határvonalakon keresztül. Egy szakterület sem vonulhat vissza elefántcsonttornyába és zárhatja be kapuját az alkalmazások elõtt, és ugyanígy nem állíthatja egy szakterület sem, hogy õ az egyedüli alkalmazott matematika.
 
 

Új eszközök: a számítógépek. A számítógépek természetesen nemcsak érdekes és újszerû matematikai problémák felvetésére szolgálnak, hanem a kutatás végzésének és rendszerezésének új eszközei is.

  Nyilvánvaló, hogy a matematikusok és a számítógépek kapcsolata nagyon változó. Van, aki kerüli a számítógépeket, mások viszont hozzánõnek kedvenc játékszerükhöz. Jómagam elektronikus posta küldésére és szövegszerkesztésre használom õket rendszeresen, mint a legtöbbünk, és valamivel ritkábban kísérletezésre, vagy arra, hogy a web-en keresztül információt szerezzek. A Mathematical Reviews adatbázisban való keresgélés olyan a számomra, mint a kábítószer, és egyre kényelmesebbnek találom, hogy új információhoz az elektronikus folyóiratokban szemezgetve jutok, vagy, ami talán még fontosabb, más matematikusok honlapjain keresztül.

  Vajon a számítógépek ily módon történõ felhasználása csak játék, vagy legföljebb kényelmi dolog? Nem hiszem, és úgy gondolom, minden új felhasználási mód változást hoz a matematikai tudományban.

  Ha elkezdünk a Maple, Mathematica, Matlab programokkal vagy valamilyen saját programunkkal kísérletezgetni, ez azonnal nyilvánvalóvá válik. Ezek a programok megfigyelések egész sorát teszik lehetõvé, amelyek elképzelhetetlenek voltak a számítógépek korszaka elõtt, és amelyek új adatokkal és új jelenségekkel bõvítik tudásunkat.

  Sok vitát váltottak ki a számítógépes bizonyítások, mint például a négyszíntételé. Ezeket mégsem sorolom ide, mert szerintem nem különböznek alapvetõen a klasszikus matematikai bizonyításoktól. A legkomolyabb érv ellenük, hogy kevesen rendelkeznek az ellenõrzésükhöz szükséges eszközökkel, ma már nyilvánvalóan nem áll. Azt hiszem, többen tudják ma már a négyszíntétel bizonyítását ellenõrizni, mint pl. a Fermat-sejtés Wiles által nemrég adott bizonyítását, ami ugyan teljesen klasszikus matematikai módszerekkel, de igen mély eszközökkel történik, melyeket igen kevesen ismernek.

  Az elekronikus folyóiratok, adatbázisok és az elektronikus posta az eredmények és ötletek terjesztésének új és hatásosabb eszközei. Bizonyos értelemben elõsegítik a kutatás mennyiségének növekedését, hiszen nemcsak egyre több ember foglalkozik kutatással, hanem az ezzel kapcsolatos információnak is mind nagyobb hányada van csupán karnyújtásnyi (vagy inkább ujjhegyérintésnyi) távolságra. Ez az információ persze egyre hangosabban és agresszívebben hirdeti jelenlétét, az e-mail etikettje ugyanis még meglehetõsen kiforratlan. Az elektronika eszközei viszont kétségkívül segítenek az információrobbanás túlélésében.

  Elsõ pillantásra a szövegszerkesztés csak a cikkírás kényelmes módjának tûnhet, hiszen a kutatás végsõ eredménye még mindig a nyomtatott lap, amit a folyóiratok cikk formájában lehoznak, vagy – talán egyre gyakrabban – más kutatók kézirat formájában kinyomtatnak a saját irodai gépükön. Az elektromos verziónak viszont egyre több olyan sajátossága válik elérhetõvé, amelytõl ezek nyilvánvalóan túllépnek a nyomtatott lap lehetõségein. Ilyenek a hiperlinkek, a színes diagramok és illusztrációk, az animáció stb. Egy matematikai cikket szinte sohasem olvas az ember lineárisan haladva az elejétõl a végéig, idõnként visszaugrunk az elejére, hogy emlékezetünkben felfrissítsünk egy definíciót, elõreugrunk, hogy egy lemma felhasználását megnézzük, elsõ olvasatra átugrunk bizonyításokat, vagy többször visszatérünk egy ponthoz, hogy egy példán ellenõrizzük az érvelést – ez pedig inkább hasonlít az interneten való szörfölésre, mint a regényolvasásra.

  Ha pedig egy dokumentumot nem olvasunk lineárisan, miért kellene azt úgy írni?

  Nem akarok itt az elektronikus publikálás lehetõségeirõl és kelepcéirõl többet beszélni, de több mint valószínû, hogy hatásukra teljesen másképp fogunk a jövõben cikket írni, sõt kutatni is.

Folytatás

IRODALOM

1. N. Alon and J. Spencer, The Probabilistic Method. With an Appendix by Paul Erdõs, Wiley, New York, 1992.

2. A. Björner, Topological methods, in: Handbook of Combinatorics (eds. R. L. Graham, L. Lovász, M. Grötschel), Elsevier, Amsterdam, 1995, 1819–1872.

3. A. J. Chorin, Vorticity and turbulence, Springer, New York, 1994.

4. S. Fajtlowicz, On conjectures of Graffiti, Discrete Math. 72 (1988), 113–118.

5. P. Halmos, Applied mathematics is bad mathematics, in: Mathematics Tomorrow (ed. Lynn Arthur Steen), Springer-Verlag, New York, 1981.

6. L. Lovász, Algorithmic mathematics: an old aspect with a new emphasis, in: Proc. 6th International Congress on Math. Education, Budapest, 1988, J. Bolyai Math. Soc., 1988, 67–78.