A számok szépsége és a szépség számai
Matematika Fesztivál Rómában

A fenti a címmel nyitotta meg kapuit március 15-én az első Matematika Fesztivál a római Auditoriumban. Reklámozták plakátokon, buszok oldalán és minden lehetséges médiában, de ekkora érdeklődésre (4 nap alatt 55 ezer látogató) álmukban sem számítottak volna a rendezők. Ma, amikor a "minél kevesebbet gondolkodni" korát éljük és a természettudományok háttérbe szorulásától rettegünk, a telt házas előadásokból kiderült: az embereket igenis érdekli a számok világa. Ízelítőnek mindössze néhány név: Andrew Wiles, Fermat tételének bizonyítója, Dario Fo Nobel-díjas olasz író, Umberto Eco, A rózsa neve szerzője, illetve az Egy csodálatos elme c. filmből mindannyiunk által jól ismert közgazdasági Nobel-díjas, John Nash.
 

Első nap

A megnyitóra nem jutok el, a többi délelőtti program kizárólag iskolásoknak szól. Andrew Wiles Híres egyenlőségek című előadására már sehogy sem lehet bejutni. Arra pedig senki sem gondolt, hogy kivetítőket tegyenek ki - ekkora tömegre nem számítottak. Lógó orral elindulok hazafelé. Félúton szembe-jön egy baseballsapkás, bőrkabátos férfi, "STAFF" kártyával a nyakában és könyvekkel a kezében. Megszólítom, beszélgetni kezdünk. Amerikai, John-nynak hívják. Az előadást ő sem hallotta, de azt mondja: ha akarom, akár személyesen is beszélhetek Wilesszal a vacsoránál.

Útközben találkozunk egy szimpatikus, elegáns idős házaspárral. Az ő nyakukban is VIP- kártya. Megállunk, Johnny bemutat nekik: "Ő Mirjam, mérnökhallgató" - majd így folytatja: "This is my father, Nobel Prize for Economy, John Nash, and this is my mother, Alicia".

Egy pillanatra megáll a szívverésem. Némán kezet fogunk. Az idős házaspár kedvesen mosolyog. Ekkorra jut el az agyamig, kik állnak előttem. Először azt hiszem, vicc az egész. Pedig igaz: akit leszólítottam az utcán, nem más, mint ifjabb John Nash.

Bemegyünk az étterembe, lassan gyülekeznek a résztvevők. Alicia asszonnyal sokat beszélek, végtelenül kedves. Megkérdezem, mennyire áll közel a film a valósághoz. Azt válaszolja: "Hát, ezt hívják feldolgozásnak", de hozzáteszi, hogy kiváló alkotásnak tartja. Autogramot kérek mindhármuktól. Alicia tiltakozik, mondván, ő nem híres, de leírja: "For Miriam, Alicia Nash". Ezt követi a férje aláírása: "John F. Nash, Jr.", majd a fiuké: "For Miriam, a great person, Johnny", végül családi fotó. Mivel egyikük sem szeretne nyilatkozni, csak egyvalamit kérdezek: mit üzennek a "holnap éles, ifjú elméinek"? (Így hívja a filmbéli Nash a fiatal hallgatókat.) Johnny válaszol: ne hagyjuk el magunkat, folytassuk, amit az egyetemen tanultunk. Ne veszítsük el érdeklődésünket a szakma iránt, ne kallódjunk el, mert csak így juthatunk sikerre.

Boldogan megyek haza és tudom: ami így kezdődött, csakis jól folytatódhat…

Második nap

Korán érkezem, a konferenciaterem még zárva, így megnézem a (ma)tematikus kiállításokat. Az olasz matematika története olyan gazdag, hogy végig sem tudom olvasni.

Másfél óra sorban állás után beengednek minket. A Pulitzer-díjas Douglas Hofstadter autogramokat osztogat - mire én odaérek, már csak monogramokat. "Nekem elég egy szám is" - szól valaki, így a "DRH" mellé odakerül a 231 is - vajon mi lehet ez?

Előadónk amerikai, de szinkrontolmácsot megszégyenítő olaszsággal beszél. Gödel, Escher, Bach c. könyvét említi, majd rátér Eulerre, aki éppen 300 éve született. Görög-német szójátékkal "Eulehr"-nek, kiváló tanítónak nevezi, Laplace híres mondását idézi: "Olvassátok Eulert, olvassátok Eulert, ő mindannyiunk mestere!" A 300-as számtól indulunk el: szépek, szépek a kerek számok, de a 231 sokkal érdekesebb: ő egy háromszögszám. Ezt követi néhány vicces történet, például "a repülés ideje megközelítőleg 7 óra 59 perc lesz" és a "hogyan állapítsuk meg, hogy prím darab esőcsepp esett-e a városra vihar idején?" problémája. Beszél a prímekről, a faktoriálisokról, a po-liéderekről és a Fi-bonacci-sorozatról. Majd megjelenik a számegyenes "turisz-tikai térképe": egy grafikon, ami azt mu-tatja, mennyire érdekesek az egyes számok, azaz mennyi "látnivaló" van bennük. (Ekkor leül mellém Benoit Mandelbrot professzor, a fraktálok királya.) Előkerül a p is, amit az olaszok "görög pí"-nek mondanak, angolul pedig a pitéhez hasonlóan "páj". Vízzel telt tartályokon és hiperbolákon keresztül eljutunk az e-hez, amit Euler fedezett fel (de nem saját neve, hanem az exponens szó kezdőbetűje után keresztelte el, mert szerény volt).

Előadónk az elsőéves egyetemisták által végigszenvedett (1+1/n)ⁿ-t "két erő harca"-ként festi le, majd bevezet minket a "szabad szemmel nem látható szupernóva" néhány rejtekhelyére. Fölkerül a táblára barátunk, eip, született -1 is. Hofstadter továbbmegy, és immár összeköti a faktoriálisokat a háromszögszámokkal:

(4!)^D=24^D=(24x25)/2=a 24. háromszögszám=300.

A szám megjelenik egy óriás háromszög belsejében, az utolsó dián pedig római számokkal is: "CCC, Cin Cin Cin, Leonhard Euler", és az előadás a "Happy Birthday to you Euler" közös éneklésébe torkollik.

Alain Connes Fields-érmes francia matematikus előadása következik, aki ezzel indít: "A matematika a modern tudomány gerince, az új fogalmak gyára". Szerinte a matematikusok olyanok, mint a fermionok: kerülik a túl "trendi" területeket, míg a fizikusok inkább a bozonokra hasonlítanak: nagy csoportokba tömörülnek, és gyakran túldicsérik eredményeiket - amit a matematikusok lenéznek. Utazásunk a matematika világába egy lázadással kezdődik, amikor vitába szállunk tanárainkkal, nem hajolunk meg a tekintély előtt - az egyedüli tekintély a saját agyunk, gondolkodásunk. Tanulni a matematikát könnyű, a saját agyunkkal gondolkodni sokkal nehezebb. Tanácsai: feltétlen legyen egy "otthonunk" valahol, és ne veszítsük el "Ariadné fonalát" sem. Minden terület kapcsolódik egymáshoz - itt süti el a "minden út Rómába vezet, és ez most igaz is" poént, majd óva int minket attól, hogy egyetlen területnél leragadjunk. Ezt André Weil szavaival illusztrálja, aki matematikus helyett "elliptikusnak" nevezi túlspecializálódott tanítványát ("when I have a problem with electri-city I call the electrician, when I have a problem with ellips-es I call the elliptician").

Hosszan mesél Evariste Galois-ról, a fiatalon elhunyt XIX. századi matematikai zseniről, forradalmi ötleteiről és pár soros bizonyításairól. Megelevenedik Fourier, Cauchy és Poisson alakja is. Ezután átnyergelünk a kvantumtérelméletre, hallunk tudósokról, akik "úgy bántak a matematikával, mint egy örömlánynyal: addig játszottak vele, amíg nem adott megfelelő eredményt - ami helyes dolog, ha fizikával foglalkozunk". Megemlíti a Birkhoff-dekompozíciót és a Riemann-Hilbert-problémát, majd Feynmanról mesél. Egy A4-es oldalt betöltő képlet jelenik meg, amely "mindent megmagyaráz". Connes így fejezi be előadását: "A matematika veszélyes, mert itt az igazsággal dolgozunk, ami borzasztó kegyetlen. A fizika még rosszabb, mert egy matematikailag kifogástalan elméletre mondhatja a természet, hogy "bullshit", és ilyenkor nincs mit tenni."

Az esti film egy zseniális olasz matematikusról, a nápolyi egyetem mérnökből lett analízisprofesszoráról, Renato Caccioppoliról szól.

Harmadik nap

A délelőtti program egy nyilvános vita "A matematikusok köztársasága" címmel. Olaszországról szól, kellemes áthallásokkal kis hazánkra is. Mottó: "Platónról az a hír járta, hogy az Akadémia ajtajára kifüggesztett egy táblát: ’Ne lépjen be ide senki, aki nem ismeri a geometriát!’ Ma ez igencsak elhagyatott hely lenne."

A Matematikus Köztársaságban a racionalitás uralkodik. Itt a törvények a tételek, az eredményeket mindenki elfogadja. Élénk, nyitott kultúra - Európában sajnos egyre inkább szubkultúra. Ellentétben például Indiával, ahol csak informatikusból több végez évente, mint ahány diplomát a 27 EU-ország összes szakján kiosztanak! A teljesség igénye nélkül, a következők hangzanak el: az akarat optimista, az ész pesszimista; nyugaton nem szeretik a matekot; a kutatásfinanszírozásnál az dönt, melyik projektnek van azonnali vagy rövid távú haszna. Luigi Berlinguer egykori oktatási miniszter egyenesen azt mondja: a közvélekedés csak a humán kultúrát tartja kultúrának, a tudományosat nem, mert ezt valakik valaha így döntötték el. Holott ahhoz, hogy megtanuljunk a saját fejünkkel gondolkodni, bizony mindkettő kell. Ha nem finanszírozzuk a tudományt, kikerülhetünk a fejlett országok közül! Előkerül a "mai gyerek" sztereotípiája, azzal a következtetéssel, hogy az iskola nem szólhat csak a legtehetségesebbeknek, mert a többiek is kopogtatnak majd az ajtaján. S ha az ember utálja a számtant, az azért van, mert valaki megutáltatta vele. Ezt kell orvosolnunk.

(Eszembe jut két kérdés is: a fiatal tudóspalánták dilemmája, miszerint vagy tudományos karrier, vagy pénz, a kettő együtt nem megy - mi a megoldás? Illetve egy népességprobléma: Matekországnak miért van ilyen kevés női polgára? Mivel az idő lejárt és a termet el kell hagyni, ezek megmaradnak költői kérdésnek.)

A mai kiállításkvantumom sem maradhat el. Van itt minden: toboz, alma, csigaház, tengeri szivacs és persze Möbius-szalag. Pitagoraszról megtudom, tanítványait két csoportra osztotta: a matematikusokra, akiknek minden tételt elmagyarázott és bebizonyított, és az akuszmatikusokra, akik csak alkalmazni tanulták meg a szabályokat, a bizonyításokat nem. Szó van hasonlóságról, körívekről, még csillagokat is látnék, ha odaférnék. Az iskolás csoportok boldogan nyüzsögnek, láthatóan jól érzik magukat a színes, kirakható sokszögek között. Mellettem egyetemista srác "Ki mondta, hogy a matematikának nincs szíve? - szív alakzat" feliratú pólóban. Mégis van remény?

Mai első vendégünk a Fields-érmes Sir Michael Atiyah, aki "Szépség és igazság a matematikában" címmel ad elő. Három idézettel nyit:

"A matematikában nincs maradandó helye a csúnya dolgoknak." (Hardy)
"Egy fizikai törvénynek rendelkeznie kell matematikai szépséggel." (Dirac)
"A munkámban mindig az igazat próbáltam egyesíteni a széppel, és amikor választanom kellett, többnyire a szépet választottam." (Weyl)

A szépség a művészetekben is jelen van, itt Michelangelót emeli ki (ő maga is a művész után kapta a Michael nevet). Majd áttér az ötödfokú egyenletekre, Abelre (akinek az emlékére alapított Abel-díjnak szintén tulajdonosa) és Galois-ra.

"Mi a szépség? Elegancia, világosság, egyszerűség, eredetiség, meglepetés, mélység, fontosság. Minden tudomány célja a megértés és a szervezés. A tudomány nem adatbank, az emberi elme pedig nem számítógép!" - mondja.

Ha a matematikában igazság=bizonyítottság, hogyan választhatjuk mégis a szépséget?

Az általános koncepció szerint az igazság fogalma objektív, tehát jó, a szépségé pedig szubjektív, tehát rossz. De én el tudom dönteni, hogy mit találok szépnek (vö. Descartes: cogito ergo sum). Ha nem vagyok biztos, mi igaz, ki kell hívni az igazságot, ami változhat is. Példa erre Newton és Einstein. A matematika emberi tevékenység, és a szépség megbízhatóbb vezető lehet, mint a látható igazság. Nekem pedig eszembe jut John Keats verse: "A Szép: igaz s az Igaz: szép! - sose áhítsatok mást, nincs főbb bölcsesség!"

Második előadónk, John Barrow a matematika és a vallás kapcsolatáról beszél, amit "meglehetősen szokatlan kihívásnak" nevez: tudtával eddig még senki sem adott elő erről. Első témánk a tudományként későn kialakult, de az emberiséget időtlen idők óta foglalkoztató valószínűség-számítás: a véletlen és a szerencse fogalma a különböző vallásokban. A következő téma az abszolút igazság. A teológusok szerint emberként ennek csak egy részét érthetjük. Itt Barrow fölhozza Bolyait és a nemeuklideszi geometriát és azt, hogy később a "nemeuklideszi" a "nonkonform" szinonimája lett. Szó van még a matematikai egzisztenciá-ról (ami nem egyenlő a fizikaival), majd a különböző vallások logikai rendszerére térünk rá. Szóba kerül Leibniz és a "létező világok legjobbika" (és persze a tőle immár elválaszthatatlan Candide). Itt bejön a statisztika is, Florence Nightingale, aki az orvoslásban alkalmazta, és Charles Dickens, aki viszont úgy tartotta, az "átlagember" fogalmának bevezetése az egyéntől vonja el a figyelmet. Utolsó tárgyunk, a végtelenség "három ízben kapható": matematikai, fizikai, transzcendentális. Platón például csak a fizikaiban hitt, Hilbert csak a matematikaiban, Cantor pedig mindben.

Ezután Hilbert szállodája következik, amely "a valóságban nem létezik" - mondja előadónk - "bár egy moszkvai hotel, ahol megszálltam, igencsak hasonlított rá." Itt visszaköszön az egyetemi tananyag: kontinuum-hipotézis, Ŕ0, 1, 2 és így tovább a végtelenségig, a torony teteje az abszolút végtelen. A következtetés megdöbbentő: egy végtelen univerzumban semmi sem eredeti, semmi sem egyszeri, minden végtelen gyakran történik meg! Vannak más világok, mindenből és mindenkiből végtelen sok van, bármi, ami létezhet, valahol megtörténik… és máris áteveztünk az etika vizei-re. De nyugodjunk meg: nem kell félnünk attól, hogy egyszer találkozunk saját magunkkal, mert olyan messze van tőlünk, ahová sosem jutunk el. "És bőven elég egy Matematika Fesztivál, nem kell végtelen sok" - mondja zárszóként Barrow.

Negyedik nap

Reggel ismét találkozom Nashékkel, a bejáratnál váltunk egy "hello, how are you"-t. A sakknak szentelt délelőtt első felében Borisz Szpasszkij egykori sakkvilágbajnok beszélget Zsoresz Alfjorov fizikai Nobel-díjassal. Alfjorovtól megtudjuk, hogyan ismerkedtek meg: "Még ’57 körül egyszer megláttam a képemet a Pravdában. Nagyon meglepődtem, miért vagyok benne az újságban, aztán elolvastam a szöveget is, és kiderült, hogy az ott Borisz képe. Ennyire hasonlítottunk egymásra - így indult a barátságunk!"

Szpasszkij elmeséli, hogy amíg nem volt számítógép, a sakkjátszmák több napig is tartottak: "éjjel a többiek játékot analizáltak, én aludtam". Eredetileg matematikát tanult, és bár saját bevallása szerint nem volt túlzottan szorgalmas, az analízist szerette. Érdekes eszmefuttatásba kezd: a sakkban megölheted az ellenfeled királyát, ami a valóságban nem történhet meg - olyan, mint a vallásosoknak Isten: van, de nem találkozol vele. Ő maga hisz Istenben, és a királyságot tartja megfelelő államformának. Azt viszont nagyon is sajnálja, hogy a számítógép megöli a sakkművészetet.

Alfjorov ötévesen kezdett sakkozni, de versenyző sosem lett belőle. Számára a matematika eszköz, ő a félvezető kristályok szépségéről beszél. Kiderül, hogy végzettsége szerint villamosmérnök. Ha úgy vesszük, Szpasszkij "majdnem matematikus", Alfjorov pedig "majdnem sakkbajnok". Abban egyetértenek: a sakk segít a nevelésben. Majd így búcsúznak: a tudomány nemzetközi, mindig is az volt és az lesz, és a tudósok sokat tehetnek a nemzetek tudományos barátságáért.

Ezután szimultán sakkparti következik Szpasszkij és 15 ellenfél között: itt van a két Nash, Hofstadter, Wiles és még sokan mások. A végén váltok pár szót Piergiorgio Odifreddi logikaprofeszszorral, a fesztivál szervezőjével. Ezután odasomfordálok Alfjorovhoz és érdeklődöm, miért lett elektromérnök, mit talál szépnek a szakmában. Megkérdezi: "Ön villamosmérnök?" Mondom, igen. "Az jó -  feleli -, az nagyon jó", majd ő is egy mondatban summázza véleményét: "Az elektronikáé a jövő!"

A sakkpartinak vége (Szpasszkij mindet megnyerte), a termet megrohanják az újságírók. Találok egy kiállítást a matematika és a nyelv kapcsolatáról. Csak néhány érdekesség: számanagrammák (12+1=11+2: twelve plus one=eleven plus two, 11+4=14+1: undici piu quattro=quattordici piu un), és Raymond Queneau francia költő Százezermilliárd vers c. kötete. Tíz szonett, mindegyik külön lapra van nyomtatva. A lapokat a nyomdában verssoronként csíkokra vágták, így ha valahol fölütjük a könyvet, a 10¹⁴ lehetséges szonett egyikét találjuk. Az összeset 200 millió évbe telne elolvasni. Az érdekes irodalmi kalandot Turing így kommentálta: "Csak egy gép tud élvezni egy másik gép által írott szonettet." Látunk sakktáblát tóruszon, és kedvenc gyerekkori játékomról is kiderül, hogy gráfelméleti probléma (lényege: hogyan tudunk egy nxn-es sakktáblát lóugrásokkal bejárni?), és maga Euler is írt róla.

Benoit Mandelbrot professzor a fraktálokról ad elő. Így kezdi: "Lenyűgöző, hogy ilyen sokan szeretik a matematikát!" Először is rávilágít, hogy nemcsak a természeti objektumot (pl. torta) értelmezhetjük a matematikai objektum (pl. henger) közelítéseként, hanem fordítva is, majd pedig hogy minden kultúra, amit az ember alkotott. Galileit idézi, majd a fraktálok szemléltetésére képeket mutat az emberi tüdőről, hegyekről, szigetekről, kelkáposztáról (utóbbiban megjelenik a Fibonacci-sorozat is). Mesél Dalíról és a Sixtusz kápolna kövezetéről, a mérnök-üzletember Eiffelről, majd természetesen a Mandelbrot-halmazról is. Utóbbiról gyönyörű színes képeket látunk, majd néhány tőzsdei grafikont, melyeken szintén megfigyelhetők a fraktálok tulajdonságai. A professzor elmondja: őt valójában nem a kereskedelem érdekli, azért dolgozik az árfolyamokkal, mert ezek pontos, egyértelmű adatok, szemben például egy statisztikával. Majd így búcsúzik: "Én találtam ki ezt a halmazt? Nem. Ez mindig is létezett, ha én nem élnék, valaki más fedezi föl. Fraktálokkal mindenütt találkozunk. Ezt hangsúlyozza ez a hihetetlen fesztivál is: a matematika egyáltalán nem áll messze a mindennapi élményektől."

Már csak a finálé van hátra. Kint óriási sor kígyózik, a tömeg elönti az egész udvart. Odifreddi, az est házigazdája hamar érkezik, majd bemutatja "a matematikust, akit mindannyian más-más okokból ismerünk".

John Nash álló ováció kíséretében lép be a terembe. A beszélgetést a sakkal kezdik, majd a matematikus által föltalált Hex játékon keresztül jutnak el a játékelméletig. Nash elmeséli: valamennyire mindig érdekelte a közgazdaságtan, de csak egyetlen kurzusra járt. Említi a Nash-egyensúlyt és a fixpont-tételeket. Neumann Jánossal való találkozása is szóba kerül, akiről ezt mondja: "Senki sem tud mindent, de ez a nagy ember talán még Einsteinnél is többet tudott". Utóbbival szintén találkozott Nash, de mivel csak kutyafuttában értekeztek, a tudós gyakorlatilag visszaküldte őt az iskolapadba. Látunk az Egy csodálatos elme című filmből három részletet is: a képzeletbeli szobatárs bemutatkozását, a játékelméletet végtelenségig leegyszerűsítő bárjelenetet, majd a Nobel-díjkiosztón mondott beszédet. Mindegyik messze áll a valóságtól: Nashnek vizuális hallucinációi sosem voltak, a díjkiosztón pedig nem kérték föl arra, hogy beszédet tartson. Egykori skizofréniájáról ezt mondja: "Ez nem feltétlenül hallucinációban nyilvánul meg. Ez lehet valami, amit gondolsz. Mintha demokratának kéne lenned, de helyette republikánus eszmék járnak a fejedben, vagy fordítva. A matematikai gondolkodásnak semmi köze ezekhez az érzékcsalódásokhoz. (…) Terápia pedig lehet bármi, amit a beteg annak érez." Ő maga fokozatosan gyógyult, a 80-as években informatikával kezdett foglalkozni. A szőke lányos bárjelenetet így kommentálja: "A forgatókönyvíró munkája. Ha Alicia szőke lenne, valami mást írtak volna." Nash elmeséli, hogy két szakdolgozatot is készített - arra az esetre, ha a játékelméletet nem fogadnák el. 1958-ban egyetlen szavazattal maradt le a Fields-éremről. Az 1994-es Nobel-díj óta sokkal könnyebb az élete: akkoriban munkája sem volt, ma Princetonban van egy irodája. Már nem tanít, csak kutat. Legfőbb érdeklődési körei a kozmológia, a tér-idő problémák és az elektromágnesesség (eredetileg ő is villamosmérnöki, később vegyészmérnöki szakra jelentkezett). Az utolsó kérdésre, miszerint a Nobel-díjat vagy a Fields-medált szerette volna jobban, titokzatosan ezt feleli: "Így legalább itt vagyok Önöknek!" A végén bemutatják az igazi díjkiosztó felvételét, ahol Nash együtt kapja meg a kitüntetést Reinhard Seltennel és Harsányi Jánossal.

Elbúcsúzni már nem tudok tőle és családjától. Hiányozni fognak. De nem állhatunk meg: ahogy a számok világában mindenhonnan eljuthatunk mindenhová, az én szemem előtt is a jövő lebeg. Neumann, Bolyai és Harsányi neve már a következő állomást vetíti elő: egy Magyarországon szervezett Matematika Fesztivált.