Egy diszkrét matematikus
Beszélgetés a Wolf-díjas Lovász László akadémikussal
A Természet Világa Matematika különszámában Erdõs Pál kedves megjegyzését idézted egy sejtéssel kapcsolatban: Soha senkit nem irigyeltem tétel miatt, de téged most irigyellek ezért a sejtésért. Cikkedben azt írod, hogy a sejtések megfogalmazását az eredményekkel azonos szinten kell értékelni. Nem túl merész ez a kijelentés? Egyenrangúak lehetnek. Ezzel azt akartam kifejezni, hogy a kérdések szerepe az utóbbi idõben nagyon felértékelõdött. Jogosan, hiszen minél nagyobb a matematikus közösség, annál inkább szükség van arra, hogy értelmes kérdésekkel értelmes programokhoz jussanak. Iránymutató, értékes kérdéseket pedig nehéz megfogalmazni. Ha egyszerûen megoldható, nem sokkal viszi elõbbre a tudományt. Ha reménytelenül nehéz, akkor megint csak hatástalan marad. Ezért fogalmaztam az idézett módon. A matematikai alkotás középpontjában természetesen ma is a tételek bizonyítása, az algoritmusok tervezése áll.
A matematikusok között vannak-e nézetkülönbségek a sejtések fontosságáról?
Vannak. Nagyok a nézetkülönbségek arról, hogy milyen típusú kérdéseket szabad vagy érdemes megfogalmazni.
A sejtések ellenzõinek mik a legnagyobb adujai?
A jó kérdés jogosságát, értékét mindenki elismeri. Ezek elõreviszik a matematikát. Inkább abban van nézeteltérés, hogy a jó kérdésnek mennyire kell indokoltan annak lennie. Itt Erdõs képviselt bizonyos értelemben szélsõ álláspontot. Nagyon sok mindent, amit meg lehetett kérdezni, õ meg is kérdezett. Ellentétben azokkal, akik úgy gondolták, hogy egy kérdést akkor érdemes sejtésként megfogalmaznunk, ha valamilyen értelemben elhelyeztük a matematikán belül. Nem elegendõ indok az, hogy eszünkbe jutott, érdekesnek találjuk, meglepõnek a válasz hiányát a tudásunkban. Az ilyen álláspontot képviselõk szerint, ha nem látjuk elõre, hogy a kérdés miként kapcsolódik az általános képhez, addig az magányos probléma, amire nem érdemes idõt pazarolni. ket nem izgatja a tudásunkban lévõ ûr, nem éreznek késztetést arra, hogy kitöltsék, vagy feltegyék a kérdést: miért?
Úgy látom, te Erdõs oldalán állsz.
Közelebb állok Erdõs álláspontjához, bár számomra is érdekesebbé válik a kérdés, ha van valamilyen háttere. Ugyanakkor elegendõ indoknak tartom egy-egy problémának gyürkõzéshez, ha úgy érzem, erre a kérdésre ma már tudnunk kellene válaszolni. Erdõs egy-egy problémacsokra az évek múlásával gyakran állt össze elméletté az õ zsenialitása kellett ahhoz, hogy ilyen témákat meglásson.
A legutóbbi vita például egy friss eredmény körül forgott. Régi kérdés, miként lehet egyforma gömböket a térben a lehetõ legsûrûbben elhelyezni. A tüzérek már a középkorban tudták, hogy legsûrûbben úgy helyezhetik el az ágyúgolyókat, ha az elsõ szinten négyzetrácsban rakják le, majd az így keletkezett részekbe helyezik a következõ szintet és így tovább. Azt, hogy valóban ez a legsûrûbb elhelyezés, nemrég bizonyította egy kanadai matematikus. Ugyanakkor vita támadt, hogy maga a kérdés és az eredmény érdekes-e. Úgy érzem, igen. Nem lehet, hogy ennyire elemi geometriai kérdést ne tudjunk megválaszolni! Mások úgy érveltek, ennek a matematika többi részére semmiféle hatása nincs, várhatóan soha sem lesz. Ezzel a kijelentéssel azért vigyáznunk kell! A matematikában a váratlan kapcsolatok a legszebbek, és gyakorta a leghatékonyabbak. Sokszor egészen váratlan helyrõl érkezik a segítség, ami bennünket egy másik területen az eredmény eléréséhez segít. Meglehet, ma még nem látjuk az alkalmazás lehetõségét, mégis megérte, hogy a kollégák e probléma megoldásába energiát fektettek. A módszerek gyakran túlmutatnak az eredményen, a megoldásban valószínûleg olyan gondolatok rejtõzhetnek, amelyek máshol is felhasználhatók lesznek.
Vannak-e örökké tartó sejtések?
Könnyen elképzelhetõ, hogy vannak ilyenek.
Arra kérlek, próbálj egy ilyent megsejteni.
Azt hiszem, ezek a kevésbé érdekes sejtések körébõl kerülnek ki. Fermat-prímeknek nevezik azokat a prímszámokat, amelyek eggyel nagyobbak kettõ olyan hatványánál, ahol a hatványkitevõ maga is kettõ hatványa. Tehát: 22 + 1 = 5, 24 + 1= 17, 28 + 1 = 257... Kiderült, hogy ezek közül az elsõ néhány még prím, a többi már nem.
Különbözõ meggondolások alapján azt várjuk, hogy nem lesz közöttük több prímszám, vagy ha igen, akkor is csak véletlenségbõl, egy-kettõ. Az így elõállított számok ugyanis igen gyorsan nõnek, és bár végtelen sok prímszám van, a nagy számok között egyre ritkábban vannak prímek. Ezért nagyon nagy számok körében valószínûtlen, hogy Fermat-prímeket találjunk. Várakozásaink szerint tehát nincs végtelen sok Fermat-prím. A sejtésben megfogalmazott várakozás nagyon természetes, valószínûleg igaz, de nem biztos, hogy megfogható oka van. Könnyen lehet, hogy ez olyan sejtés, amire nem lehet bizonyítást találni.
Elõkerültek olyan matematikai problémák, melyekrõl azt hitte a matematikus közösség, hogy megoldhatók lesznek, azután kiderült, eldönthetetlenek. Ilyen volt a kontinuum-hipotézis. Van-e a valós számoknak olyan részhalmaza, ami sem a racionális számokkal, sem a valós számokkal nem hozható kölcsönösen egyértelmû megfeleltetésbe (tehát egyikkel sem azonos számosságú)?
Erre a kérdésre a matematika szokásos axiómarendszerén belül bizonyíthatóan nem adható sem pozitív, sem negatív válasz. A jól megfogalmazott érdekes kérdések túlnyomó többsége azonban elõbb-utóbb válaszra talál.
A számítógépes világháló mára beborította a földet. Gondolom, az internet is sok feladatot ad a matematikának.
Már érezzük, hogy a matematikának új fejezete van kialakulóban, ahol olyan óriás méretû objektumokkal kell dolgoznunk, amelyek kiesnek a hagyományos módszerek fennhatósága alól. Tehát, amikor például az internetrõl mint egészrõl akarunk megtudni valamit: mekkora a honlapok száma, mennyi kapcsolat van közöttük, hány lépésben juthatunk el egyiktõl a másikig? Az egész struktúra vizsgálata annak mérete és változékonysága miatt nagyon nehéz feladat. Mire felsorolnánk az összes honlapot, már egy sor megszûnt, újak létesültek. Vannak persze más ilyen struktúrák, például az élõlények, a társadalom... Az internetben az a speciális, hogy tisztán, egyszerûen leírható rendszer. Pontosan megmondhatjuk, mi egy honlap vagy egy link. Ellentétben mondjuk azzal, hogy mi egy sejt vagy mi egy vállalat. Hiába jól definiálható rendszer az internet, a méretek mégis falat emelnek elénk. Bármilyen kérdésre csak úgy kaphatunk választ, ha a modell egészét tartjuk szem elõtt, de akkor, az elmondottak miatt, az már nem lesz jó modell.
Ez azért mégiscsak a te világod, ezek a kérdések a diszkrét matematika hatókörébe esnek, nem?
Igen, azt hiszem a diszkrét matematika áll legközelebb ahhoz, hogy ezekre a kérdésekre megfelelõ választ adjon. A számítógép világa ugyanis diszkrét, teljesen lebontható az egyes bitekre.
Ahogyan a kutató szakmája ranglétráján halad felfelé, úgy találnak rá egyre gyakrabban tudományszervezéssel kapcsolatos feladatok. Te is két cikluson keresztül voltál a Nemzetközi Matematikai Unió irányító szervének választott tagja. Hogyan mûködik a matematikusok legfõbb szervezete? Tagságod idején sikerült-e neked tetszõ változtatást véghezvinnetek?
A szervezet fõ célja a világ matematikusainak közös képviselete. Elsõsorban a négyévenként megrendezendõ kongresszus elõkészítése, a Fields-érmek odaítélésének lebonyolítása tartozik feladatai közé. Ezen kívül, nem nagy pénzzel, támogat konferenciákat, utazásokat és fõleg harmadik világbeli országokban tartott konferenciákat. A végrehajtó bizottságnak voltam tagja. Igyekeztem segíteni szövetségünk és a matematika különbözõ alkalmazási területei szerint szervezõdõ nemzetközi társaságok összefogását. Ilyen a Matematikai Programozási Társaság, a Bernoulli Társaság, amely a matematikai statisztikával és a valószínûségszámítással foglalkozó kutatók közös fóruma, de vannak ezen kívül is számítógépes társaságok és szervek. A korábbi idõszakban ezek kissé elkülönültek a tiszta matematika fellegvárától, a Nemzetközi Matematikai Uniótól. Ez egyik oldal számára sem volt szerencsés állapot. Elmozdultunk a holtponttól, a kölcsönös oldódásnak látható jelei vannak, és ebben nekem is volt némi szerepem.
Húsz éve indítottátok útjára az azóta is megjelenõ, világszerte ismertté vált angol nyelvû folyóiratot, a Combinatoricát, magyar matematikus szerkesztõkkel, Budapesten. Kíváncsi lennék, hogyan bírjátok a versenyt a jobb kondíciójú nyugati folyóiratokkal. Milyen harcokat kell megvívnotok a lap fenntartásáért?
Hosszú ennek a története, bizonyos részei nem is publikusak. A lényeg: a folyóirat ma a Springer és a Bolyai János Matematikai Társulat közös kiadásában jelentik meg. A Springer a bevétel bizonyos részét átutalja a társulatnak. Más szakfolyóiratok helyzete sem jobb a miénknél, õk sem kapnak sok pénzt a lap elõállítására. Igazában a tudományos folyóiratok világszerte válságban vannak. Ez komoly gond, s ahogyan látom, két fõ okra vezethetõ vissza. Nem tudom, mennyire érdekel mindez.
Természetesen, nagyon!
A tudományos folyóiratokbeli publikálásnak az internet nagy konkurenciát teremtett. Nem látni a jövõbe, de megeshet, hogy a hagyományos, papíron nyomott folyóiratok egyszerûen eltûnnek. Több már megszûnt, más területen még nem terjedtek el az elektronikus változatok. Nagy kérdés persze, hogy az elektronikus folyóiratot ki készítse és miként terjesszék. Ma még teljes a káosz. Rontja a papír folyóiratok helyzetét, hogy az utóbbi tíz évben a nagy kiadók nyakra-fõre emelték az áraikat. Ez oda vezetett, hogy ma már a Yale Egyetem könyvtára sem tud megrendelni minden alapvetõ folyóiratot.
Pedig a Yale-nek nagy vagyona is van, az egyik leggazdagabb egyetem.
Igen, ezen kívül kiemelt könyvtára, melynek fenntartásához külön állami támogatást kap. Semmi sem indokolja, hogy a folyóiratok ilyen drágák legyenek. Nem igaz, hogy ennyibe kerülne az elõállításuk! Elektronikus szedéssel készülnek, a legtöbb cikk írója maga szedi tanulmányát, amit lemezen vagy elektronikusan megküld a kiadónak.
A lapkészítés egyik kulcskérdése, miként jut el a termék az olvasóhoz. Nálunk a folyóirat árának kb. 40 százalékát a terjesztõ rakja zsebre. Ez súlyos aránytalanság.
A tudományos folyóiratoknál a terjesztõk a 80 százalékát elteszik.
Szinte hihetetlen! Ezek után csak a csodában reménykedhetünk, hogy beáll valamilyen egyensúly az elektronikus és a hagyományos világ között. Lesz ilyen egyensúly, vagy eltûnik a papír folyóirat?
Nehéz megjósolni. Az eredeti kutatási eredményeket közreadó hagyományos lapokat mindenesetre nagy valószínûséggel kiszorítják az elektronikus folyóiratok. Mindez drámaian megváltoztatja a szemléletünket. Ma egy tudományos publikáció bejár bizonyos utat: megírom, beküldöm a folyóirat szerkesztõségébe, õk kiadják minimum két lektornak, akik minõségi véleményt adnak róla, ellenõrizve minden részlet korrektségét. Ezt a tevékenységet mindenki elismeri. Amikor a cikket a lektorok elfogadták, azon nyomban mindenki számára elérhetõvé kellene válnia. Ezzel szemben a folyóiratban egy-két év múlva jelenik meg. A kutatók közössége különféle eszközökkel igyekszik ez ellen harcolni: a matematikusok eredményeiket preprintekben terjesztik, ráteszik honlapjukra... Ilyen körülmények között az éves várakozás egyszerûen nevetséges.
Az elektronikus folyóirat mûködtetésének ma még számos kérdõjele van.
Valóban több kérdés vár tisztázásra. Hogyan lehet reális áron terjeszteni, miként teremthetõ meg a biztonságos számlázás rendszere? Napjainkban az elektronikus folyóirat vagy ingyen hozzáférhetõ vagy papírpéldányhoz kötött, s akkor túl drága. Megoldatlan az elektronikus folyóiratban megjelenõ cikkek archiválása, eldöntetlen az is, hogy a kutatók elõléptetési rendszerében az interneten megjelenõ cikkeiket elfogadják-e teljes értékû publikációnak. Ezen kívül a megszokás is nagy úr. Az idõsebb generáció idegenkedik a számítógéptõl, ragaszkodik ahhoz, hogy a könyvtár csendjében a folyóiratot kézbe vehesse.
A Tudományos Újságírók II. Világkonferenciáját 1999 nyarán Budapesten tartották. A tudományos lapok fõszerkesztõi közül Floyd E. Bloom, az amerikai Science fõszerkesztõje folyóiratuk dinamikus fejlõdésérõl, magas példányszámáról beszélt. Ellentmond ez a megfigyelt trendnek?
A matematika szakfolyóiratai 300 1000 körüli példányszámban jelennek meg. A Science más jellegû lap, szélesebb körnek szól, szenzációra számot tartó eredményekrõl tudósít. Azt hiszem, ha egy fizikus igazán kemény technikai részleteket akar publikálni, nem a Science szerkesztõségéhez fordul, hanem mondjuk a Physical Review Letterséhez. Úgy gondolom, a természettudományok egészérõl széles körben tájékoztató folyóiratoknak hosszabb távon megvan a szerepük, a létjogosultságuk. A matematika területén ilyen például az American Mathematical Monthly vagy a Mathematical Intelligencer, mely nagy olvasóközönséghez szól.
Az elektronikus kiadás a gyorsaságon kívül számos olyan lehetõséget kínál, ami a hagyományos folyóiratnak nincs meg. Színes illusztrációk sokaságát, animációkat adhatunk a cikkhez. Hivatkozásokkal, kereszthivatkozásokkal segíthetjük a megértést. Így akár enciklopédiányi magyarázattal szolgálhatunk, amit persze nem kell mindenkinek végigolvasnia.
A könyvtárakban, tanszéki szobákban egyre kevesebb hely jut a folyóiratoknak, lassan kiszorítják az embert. Ugyanakkor a kis laptopomon, amit mindig magammal viszek, 10-15 könyvet, félezer cikket magamét, másokét , hozzá néhány enciklopédiát helyezhetek el. Bármikor, bármit elõhúzhatok, s akár utazás közben is olvasgathatom.
Ez a szép új, hatékony világ. Akkor mégis, miért ragaszkodsz, miért teszel meg annyi mindent a papírlapért, a Combinatoricáért?
Mert része a tevékenységemnek, az életemnek. Jó dolog az elismerés, amit érte kapunk, jó hallani, amikor azt mondják, hogy a terület két-három legjobb folyóirata között van. Egy-egy vezetõ folyóirat fõszerkesztõjének, szerkesztõbizottsági tagjának lenni nagy megtiszteltetés, arra odafigyel, azt számon tartja a szakma. A szerkesztõbizottság, a lektori gárda munkája jelenti az igazi hozzáadott értéket, ez független attól, hogy végül papíron vagy elektronikusan jelenik-e meg a cikk.
Változik a folyóirat-kiadás, de a világ sok másban is megváltozott. A világvándor Erdõs Pál már tíz éve alig találta idehaza barátait. Ült a Matematikai Kutatóintézet igazgatói szobájában, a kölcsönvett fotelben, és arról panaszkodott, hogy már szinte mindenki külföldön dolgozik. Megállítható-e matematikusaink kivándorlása? Érdemes-e, kell-e erre törekednünk?
Ami engem illet, külföldön tartózkodásomat nem tekintem kivándorlásnak, inkább hosszabb lélegzetû külföldi munkavállalásnak. Pár év múlva szeretnék hazatérni, ezt már elhatároztuk. A tudósok mozognak a világban, a tudományos feladat, az együttmûködés vezeti õket egyik országból a másikba. Amikor a világ valamely vezetõ helyén megüresedik egy állás, nem csak az adott országban néznek körül, ki lehetne a legalkalmasabb jelölt. Ez minden jobb helyen így van. Sajnos, Magyarországon nem valami rózsás az egyetemek anyagi helyzete. Sokan megelégelik azt, hogy egyetemi fizetésükbõl nehezen tartják el családjukat, a tél bizonyos idõszakában nincs fûtés, beázik a tetõ... Remélem, elõbb-utóbb közelítünk majd az európai átlaghoz, s akkor vonzó hely leszünk magunk és a külföld számára is.
Úgy tûnik, a jó matematikusoknak bizonyos sûrûséghelyei alakulnak ki a világban. Csak a pénz teszi ezt, vagy másfajta lehetõségek is vonzanak?
Természetesen az anyagiakra is oda kell figyelni. Ha már az otthonunktól távol vállalunk munkát, azt tisztességes fizetésért és rendes kutatási feltételekért tegyük. A környezet befogadókészsége is sokat jelent. Amerikának hagyományosan nyitott a társadalma, melybe külföldiként is azonnal beilleszkedhetsz. Legalábbis a mi családunkat soha nem érte hátrányos megkülönböztetés azért, mert magyarok vagyunk.
Igen, vannak a világnak olyan helyei, ahol a kutatás nagymértékben koncentrálódik. Az Amerikai Egyesült Államok néhány keleti és nyugati parti nagy kutatóközpontján kívül ilyen hely például Franciaország, azon belül persze elsõsorban Párizs. Ezekre a helyekre a világ minden részérõl áramlanak a kutatók, Olaszországból, Németországból és Angliából is.
Nézd, nekem nem az fáj, hogy matematikusaink közül aki csak teheti, a jobb körülményeket választja. Csakhogy ezáltal idehaza szép lassan megszûnnek a sûrûséghelyek. Egyre kisebb esély lesz arra, hogy például a Fazekas Mihály Gyakorlógimnáziumban a tiétekhez hasonló legendás matematika tagozatos osztályok szülessenek, s ott tehetségek nevelkedjenek fel. Nektek azért kiváló gimnáziumi tanárotokon, Rábai Imrén kívül kéznél voltak olyan matematikusok, mint Reiman István, Hajnal András, Erdõs Pál, Péter Rózsa, Rényi Alfréd, Turán Pál, Gallai Tibor teleírhatnám nevekkel ezt a hasábot. Ma matematikusaink élvonalának nagy része nem a mi fiataljaink elõmenetelét egyengeti.
Valóban, annak idején fantasztikus volt az a közeg, amelyben felnõhettünk. Ma azonban nemcsak a külföld vonzza el a matematikusokat, hanem sok egyéb teher is eltereli figyelmüket a középiskoláktól: szerzõdéses vállalások, pályázatok sora a fennmaradásért, az egyetemi oktatás átszervezésével, modernizálásával összefüggõ tevékenységek. Néhány kivételtõl eltekintve a mai fiatalok nem kapnak olyan figyelmet és szakmai kiszolgálást, mint mi. E tekintetben az aggodalmad jogos lehet.
Végül eljutottunk a mához. A szél, vagyis az e-mail szárnyán gyorsan szállt a híre annak, hogy Bill Gates-hez, a Microsofthoz igazoltál Seattle-be. Igaz ez?
Igaz, de Bill Gates-hez személy szerint nem kötõdik a lépésem. A Microsoft két éve alapított egy kutatóintézetet, amit erõteljesen fejlesztenek. Az intézetben az elméleti alapkutatásoktól a számítógépes alkalmazásokig széles skálán folynak kutatások. Engem az alapkutató-csoportba hívtak, ahol kiváló emberek között dolgozhatok. Ezért is szegõdtem oda.
Ugye, nem kellett eladnod matematikuslelkedet?
Nem, nem, mondom, továbbra is az alapkutatás a fõ feladatom.
Mit várnak el tõled a Microsoftnál?
Az a követelmény, hogy nyitottak legyünk az alkalmazási problémák iránt. Azt mondták, az egyetlen, amit elvárnak, hogy ha valaki besétál a szobámba és egy érdekes matematikai problémával áll elõ, akkor azt meghallgassam.
Amit, persze, eddig is megtettél.
Így van.
Gondolom, mielõtt elfogadtad ezt az állást Seattle-ben, megbeszélted a családdal. Ha nem titok, végül ki döntött ebben a sorsfordító kérdésben?
Mit mondjak... Feleségem, Kati a kalandvágyóbb.
Érzed-e, hogy személyed megnövekedett súlya olyan irányban hat, hogy nagyobb mértékben kifejtheted befolyásodat a matematikáért és tágabb értelemben a természettudományért?
Érzem az ilyen irányú kötelezettséget. Sok mindent kellene tennem, erõm szerint megpróbálom, de hát az ember ideje véges. Amikor idehaza vagyok, te is tudod, nemigen tétlenkedem.
Nemzetközi tekintélyeddel segítheted is az itthoni matematikát, tehetségeink elõmenetelét, érvényesülését.
Amennyire megengedhetõ, igyekszem a magyar közéletben maradni. Ugyanakkor tudom, nem szerencsés dolog kívülrõl beleszólni az itthoni történésekbe.
Elégedett, boldog ember vagy? Visszatekintve, gimnazistaként jól választottál életpályát?
Meglehet, más szakmában is boldog lehetnék, most ebben mindenesetre az vagyok. Azt hiszem, jól választottam, számomra a matematikusi pálya az igazi. A szakmámmal tehát elégedett vagyok, magammal már nem annyira. Terveimnek csak kis részét tudtam megvalósítani. Akinek tudományos céljai vannak, soha nem lehet elégedett ember. Nem szabad annak lennie.
Budapest, 1999 októberében
Az interjút készítette:
STAAR GYULA
(Az Élet és Tudomány április 14-i, 15. számában hét matematikus mond véleményt Lovász Lászlóról.)
Természet Világa, 131. évf. 4. sz. 2000. április
https://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/
https://www.ch.bme.hu/chemonet/TermVil/
Vissza a tartalomjegyzékhez