A
bostoni mágnás, Landon T. Clay által alapított
Clay Matematikai Intézet (CMI) küldetése: hirdetni a
matematikai gondolat szépségét, hatalmát és
univerzalitását. E célból a privát,
non-profit intézet egyszerre számos programot mûködtet:
konferenciákat, nyári iskolákat, elõadás-sorozatot,
mûhelyeket szervez. Négy kategóriában, pályájuk
különbözõ szakaszán levõ matematikusok
rövidebb-hosszabb kutatószabadságát támogatja.
Évente egy vagy több matematikust „Clay Mathematics Award”-dal
díjaz (az eddigi díjazott A. Wiles, 1999).
Legérdekesebb lépésként a Clay Intézet (egy bizottság választása alapján) kijelölte a mai matematika hét „millenniumi”-nak nevezett problémáját, s mindegyik megoldására 1-1 millió dollárt tûzött ki. Eltérõen Hilberttõl, nem a széles ismertségre méltó kérdések centrumba állítása volt a cél, hanem a legfontosabb, legmakacsabb sejtések kiemelése. Ezek mindegyikén kutatók serege dolgozik, velük az adott terület kutatói naponta szembesülnek. Érdekes és jellemzõ az alkalmazott matematika nagy súlya a problémákban. Az egymillió dolláros problémák kihirdetése ünnepélyesen, 2000. május 24-én Párizsban egy, a matematikai gondolat univerzalitásának szentelt konferencián történt.
1. P=NP. Az elméleti számítógép-tudomány legtöbbet emlegetett, S.Cooktól eredõ problémája azt kérdezi, hogy ha egy probléma (ami minden input esetén igen/nem választ igényel) pozitív megoldása az input hosszának függvényében gyorsan megválaszolható egy alkalmas kiegészítõ input segítségével, akkor ez kiegészítõ input nélkül is megtehetõ. A sejtés szerint ez nem igaz, erre sok tapasztalat mutat és ezen alapszik számos titkosítási módszer. Az elsõ kategóriába esik az a kérdés, hogy adott szám összetett-e, hiszen, ha ismerjük egy osztóját, ez valóban könnyen igazolható, de annak eldöntése többletinformáció nélkül, hogy egy szám összetett, nem tûnik valós idõben megoldhatónak.
2. A Hodge-sejtés. Ahhoz hasonlóan, hogy bonyolult geometriai testek egyszerûbbekbõl építhetõk fel, e sejtés szerint a projektív algebrai varietások az egyszerûbb algebrai ciklusok kombinációi.
3. A Poincaré-sejtés. A topológia e nevezetes problémája szerint, ha egy n dimenziós sokaság úgy néz ki (algebrailag), mint az n dimenziós gömb, akkor az is (topológiailag). Itt a homológia- és homotópiacsoportoknak kell leírniuk a teret. Az 1 és a 2 dimenziós eset már a 19. században ismert volt, a hatvanas években elintézték az 5 és magasabb dimenziós esetet, 1982-ben M. H. Freedman igazolta a 4 dimenziós esetet. Keményen ellenáll a megmaradó eset, amikor tehát a dimenziószám 3.
4. A Riemann-sejtés. Riemann (1826–1866) egyetlen számelméleti cikkében megalapozta a modern prímszámelméletet és kimondta azt a komplex függvénytani hipotézist, amely a mai napig a prímszámokkal kapcsolatos (tehát szinte minden) számelméleti kutatások legfontosabb és legtermékenyebb, a prímszámok lehetõ legegyenletesebb eloszlását állító sejtés. A matematikában sokszor „a legnagyobb”-nak nevezett csúcs ostromlása számtalan, kiváló géniusz teljes életpályáját felemésztette.
5. Yang–Mills-elmélet. A Maxwell-egyenletek általánosításaként kidolgozott Yang–Mills-egyenletek megfelelõek az elemi részecskék kvantumelmélete számára. Ugyanakkor nem ismeretes a tömeggel rendelkezõ, matematikailag kifogástalan megoldás. Speciálisan matematikailag nincs megmagyarázva a „mass gap”-sejtés, amit a fizikusok általánosan elfogadnak és például a kvarkbezárás magyarázatául felhasználnak.
6. Navier–Stokes-egyenletek. E differenciálegyenlet-rendszerek a folyadékok mozgását írják le. Az alkalmazások szempontjából alapvetõ lenne annak megértése, hogyan lehet sima és szabályos egyenletek megoldása szabálytalan, szingularitásokkal rendelkezõ.
7. Birch és Swinnerton-Dyer sejtése. Az algebrai
számelmélet, a diofantoszi egyenletek elmélete legfontosabb
eszközei az elliptikus görbék. Ezek vizsgálatában
centrális eszköz lenne a sejtés, amely a racionális
megoldások csoportját kapcsolja össze egy speciális
komplex változós függvény analitikus tulajdonságaival.
Éppen
100 éve, 1900. augusztus -án tartotta David Hilhert "Matematikai
problémák" címû elôadását
a párizsi matematikai kongresszuson. Az utoLsó "legnagyobb"
matematikus, aki a rnatematika minden ágában nagyot alkotott,
összefoglalt és programot adott: 23 problémájában
megragadta, amit a matematikában legfontosabbnak tartott. Ezek küzül
néhány fogalommá vált (az ötödik,
a tizedik, a tizenhetedik), volt, ami a 20. század nagy eredményévé
lett (a kontinuumhipotézis megoldása, az algoritmikus megoldhatatlan
problémaseregek felfedezése, az algebrai számelmélet
kialakulása), mások a matematika bizonyos ágainak
fejlesztésére hívták fel a figyelmet, ezek
azóta megtörténtek (matematikai fizika, logika, valószínûségszámítás),
néhány feladat szép, de mégis kevéssé
centrális jellegû megoldást kapott (poliéderek
átdarabolása), és a számelméleti problémák
nagy része továbbra is megoldatlan. A hatalrnas hatás
ellenére azt nem mondhatjuk, hogy a 20. század matematikáját
egészben vagy akárcsak jelentôs részben ez a
problémasereg meghatározta volna és érdekes
módon az sem igaz, hogy minden jelentôs sejtés benne
lenne: kimaradt például a négyszínsejtés
és a Kepler-sejtés.