Százéves a kvantumhipotézis
A huszadik
század végéhez közeledve tanulságos elgondolkozni
azon, hogy a fizika e században milyen nagyszerû fejlõdést
ért el, mennyire megváltoztatta az anyagi világról
alkotott képünket, a világegyetem keletkezésére
és állapotának alakulására vonatkozó
ismereteinket. Sõt, más tudományokra kifejtett hatásával,
eredményeinek gyakorlati alkalmazásaival az emberi élet
minõségét is nagymértékben javította.
Két elmélet, a relativitás- és a kvantumelmélet
alapozta meg, és meghatározó módon alakította
e század fizikáját. Hogy hogyan és miképpen,
arról egy másik tanulmányban szólok részletesen.
Itt most a kvantumelmélet kezdetérõl, a kvantumok
fogalmának bevezetésérõl lesz szó. Decemberben
lesz száz éve annak, hogy Max Planck a hõmérsékleti
sugárzás energiasûrûségének frekvencia
szerinti eloszlására vonatkozó ellentmondást,
amely a klasszikus elmélet és a tapasztalat között
állott fenn, a hatáskvantum hipotézisével tudta
feloldani. Ez a kvantumhipotézis a több évszázados
felfogással szemben azt állítja, hogy az energia a
mikrovilág szintjén nem folytonos, hanem kis energiaadagokban,
kvantumokban jelenik meg és tûnik el. Planck ezzel a merész
feltevéssel egy új világ felé vezetõ
út kapuját nyitotta ki, amelyen azután elindult a
huszadik század fizikájának diadalmenete, és
nagyszerû felismerésekkel, világnézetünket
átalakító tudományos és mûszaki
alkotásokkal gazdagította az anyagi világra vonatkozó
ismereteinket.
Ahhoz, hogy jelentõségét és hatását
valamennyire is megértsük, röviden fel kell idéznünk
a fizika állapotát a 19. század utolsó évtizedeiben.
A newtoni klasszikus mechanika kétszáz éves egyeduralma
mellé már felsorakozott az elektromágneses jelenségeket
és az optikát egységben tárgyaló térelmélet,
a Maxwell-féle elektrodinamika. Ismert volt a hõtan
elsõ két fõtétele, az energia megmaradását
kifejezõ energiatétel, és az anyag atomisztikus felépítését
– ugyan ekkor még feltevésként – alapul vevõ
kinetikus gázelmélet. Ezek olyan nagyszerû elméletek
voltak, és oly széles jelenségkört foglaltak
magukba, hogy a fizika épülete a befejezettség érzetét
keltette a kor tudósaiban. Ennek jellemzésére szoktuk
idézni a német fizikaprofesszort, Philipp von Jollyt,
aki a hozzá tanácsért forduló fiatal Plancknak
azt mondta, hogy a fizika annyira tökéletes és befejezett,
hogy ott már nem sok új kutatnivaló akad, nem érdemes
erre adni a fejét. Van ugyan egy-két megoldatlan probléma
– mondotta –, mint pl. a hõmérsékleti sugárzás
energiájának a frekvenciák szerinti eloszlása,
vagy az ún. fényelektromos jelenség, a gázok
vonalas színképe, de ezek is hamar megoldódnak az
eddig ismert elméletek alapján. Amint kiderült, ez a
néhány kérdés sokkal nehezebb feladatot jelentett,
mint Jolly gondolta. Olyannyira, hogy a klasszikus fizika nem tudott megbirkózni
velük.
A hõmérsékleti sugárzás
A hõmérsékleti sugárzás vizsgálata terén történt az új korszakot nyitó felismerés. A hõtan fõtételeinek anyagi testekre (különösen gázokra és folyadékokra) való sikeres alkalmazása után a termodinamikai érdeklõdés a múlt század utolsó negyedében az elektromágneses sugárzásra irányult. Elsõsorban azt vizsgálták, hogy a sugárzást kibocsátó test és a sugárzás milyen feltételek mellett lesz egymással egyensúlyban. A sugárzás jellege függhet a kibocsátó test állapotától, a gerjesztés módjától. Pl. megvilágíthatjuk a testet, és ezáltal juttatjuk magasabb energiájú állapotba. Történhet a gerjesztés úgy is, hogy a hõmozgásban lévõ molekulák vagy atomok ütköznek egymással, és ennek során egyik energiát ad a másiknak. A testek atomjainak és molekuláinak hõmozgása által elõidézett sugárzást nevezzük hõmérsékleti sugárzásnak. Ennek tanulmányozása során elsõsorban az olyan általános sajátságok kiderítése volt a cél, amik nem függnek a kibocsátó test egyedi tulajdonságaitól. Nagy haladást jelentett Prevostnak az a felismerése, hogy minden test minden hõmérsékleten sugároz, akkor is, ha nem világít, és hogy a sugárzás nem függ a környezettõl, hanem teljesen a testben lejátszódó folyamatok eredménye. A tapasztalat azt mutatja, hogy a testek sugárzása függ a test hõmérsékletétõl és anyagi minõségétõl. Megfigyelték azt is, hogy a testek a rájuk esõ sugárzást különbözõ mértékben nyelik el. Az elnyelõképességük kapcsolatban van a kibocsátóképességükkel. A fekete testek a rájuk esõ sugárzásból többet nyelnek el, mint a fehér színûek. Az olyan testeket, amelyeket a rájuk esõ sugárzást teljesen elnyelik, abszolút fekete testeknek nevezzük. Ilyennek tekinthetõ például egy üreg falán kivágott kis lyuk. Ez ugyanis a ráesõ sugárzást teljesen elnyeli. A kisugárzott energiának a frekvenciákra való eloszlása függ a hõmérséklettõl. Ez az eloszlás nem minden anyagra egyforma, ugyanis a forró szilárd vagy folyékony testek által kibocsátott sugárzás energiájának a frekvenciákra való eloszlása folytonos, míg a gázoké vonalas. A megfigyelések azt mutatják, hogy a hõmérsékleti sugárzás intenzitása a termikus egyensúlyi állapotban csak a hõmérséklettõl és a frekvenciától függ. A termikus egyensúlyi állapot alatt itt azt értjük, hogy a test idõegység alatt átlagosan ugyanannyi energiát sugároz ki, mint amennyit elnyel. A kísérleti és elméleti kutatások elsõsorban arra irányultak, hogy a sugárzás intenzitásának vagy energiájának a frekvenciától való függését adott hõmérsékleten megtalálják. A problémával foglalkozó számos kutató közül Kirchhoff és Wien mindenképpen megemlítendõ. Utóbbinak sikerült egy olyan eloszlásfüggvényt találnia, ami nagy frekvenciákra exponenciális függvény szerint változik, de a frekvenciák alacsony értékeire rossz eredményt ad. A közepes frekvenciatartományban az intenzitásgörbe maximumot mutat, amely a hõmérséklet emelésével a nagyobb frekvenciák felé tolódik el. Ezt Wien ismerte fel, ezért a szakirodalom Wien-féle eltolódási törvényként említi. Az egészen alacsony frekvenciákra Rayleigh és Jeans állapított meg egy eloszlásfüggvényt, amely a frekvenciát négyzetesen tartalmazza. Ez a parabolafüggvény szerint változó eloszlás alacsony frekvenciákra egészen jól egyezik a mérési eredményekkel. A frekvenciatartomány két szélén tehát összhangban van az elmélet a kísérlettel, a középsõ részen nagy az eltérés.
Többen próbálkoztak a jó eloszlásfüggvény megtalálásával különféle elméleti módszereket alkalmazva. Ebbe kapcsolódott be Planck is, aki ezt megelõzõen a termodinamika éppen aktuális elméleti kérdéseivel foglalkozott. Ismeretes, hogy a hõtan második és harmadik fõtételének tõle ered egyik megfogalmazása. Ezen kívül az egyensúlyi termodinamika több szép eredménye kapcsolódik az õ nevéhez. Példaként megemlítjük a híg oldatok egyensúlyára vonatkozó kutatásait, valamint az entrópia és a termodinamikai valószínûség közötti kapcsolatot kifejezõ híres S = k·lnW összefüggés levezetését.
A hõmérsékleti sugárzásra vonatkozó vizsgálataiban Kirchhoffnak már említett azon tételébõl indult ki, hogy egy belülrõl teljesen tükrözõ falakkal határolt üregben kialakult sugárzás intenzitásának frekvencia szerinti eloszlása az egyensúlyi állapotban független a kibocsátó testek anyagi minõségétõl. A termodinamikai egyensúly beállításához szükség van valamilyen sugárzó testre, amelyik kibocsátja és elnyeli a ráesõ sugárzást és így alakítja ki az egyensúlyi állapotot. Ez a test lehet egy szem korom is, de ugyanilyen jogon lehet egy modelltest is, például lineáris oszcillátorok sokasága különbözõ frekvenciákkal. Planck ez utóbbit választotta, és meghatározta a különbözõ frekvenciájú oszcillátorokból álló rendszer entrópiáját az oszcillátorok rezgési energiájának függvényeként. Az entrópiára olyan kifejezést keresett, ami az oszcillátor energiáját logaritmikusan tartalmazza. Ilyen persze többféleképpen megadható, ha nincs olyan elméleti elõírás, amely egyértelmû eljárást ad a levezetéshez. Planck a lehetséges módok közül azt választotta, amely határesetben a Wien-félébe megy át, de annál általánosabb. Így olyan eloszlásfüggvényhez jutott, amely a Wien-félénél jobban megegyezik a sugárzás energiájának frekvenciák szerinti eloszlására vonatkozó mérésekkel. Az eloszlásfüggvény képletét és a hozzá vezetõ gondolatmenetet Planck 1900. október 19-én ismertette a Német Fizikai Társaság ülésén A Wien-féle eloszlási törvény módosításáról címû elõadásában (1. ábra).
1. ábra
Ezt követõen Planck minden idejét annak szentelte, hogy ezt a tapasztalattal jól egyezõ sugárzási törvényt elméletileg is megalapozza. Kirchhoff és Clausius munkásságából ismert volt, hogy ha a sugárzási teret két különbözõ anyag tölti ki, akkor az egyensúlyi intenzitás a két közegben fordítva aránylik egymáshoz, mint a megfelelõ fénysebességek négyzetei. Ennél fogva, ha az egyik közegben ismerjük az egyensúlyi intenzitáseloszlást, akkor ez az összefüggés már a másik közegbeli intenzitást is meghatározza. Így kézenfekvõ volt, hogy elõször az oszcillátorok egyensúlyi eloszlását határozzuk meg valamennyi frekvenciára. Pontosabban szólva, azt kell meghatározni, hogyan oszlik el az oszcillátorrendszer energiája a különbözõ frekvenciával rezgõ oszcillátorokra egyensúlyi állapotban. Ehhez alkalmas eszköznek mutatkozott a Boltzmann-statisztika, amelynek alapján ki lehet számítani azon oszcillátorok számát, amelyek rezgésszáma a n és n + dn intervallumba esik. Ha ezt a számot megszorozzuk a n frekvenciájú oszcillátor átlagos energiájával, akkor az oszcillátorrendszer egyensúlyi energiaeloszlását kapjuk. Mivel az oszcillátor energiája a rezgésszám függvénye, ez az eloszlás egyúttal a frekvencia szerinti eloszlást adja meg. Az elmondottak szerint ebbõl már egyszerûen adódik a sugárzás energiájának (vagy intenzitásának) a keresett egyensúlyi eloszlása. A statisztikus mechanikából készen van a válasz arra a kérdésre is, hogy mennyi az oszcillátor átlagos energiája. Eszerint ugyanis, ha az energia a változók négyzetes folytonos függvénye, akkor minden szabadsági fokra ugyanannyi átlagos energia jut, éspedig kT/2. A lineáris oszcillátor két szabadsági fokú rendszer, ezért átlagos energiája kT. (Itt k a Boltzmann-állandót, T az abszolút hõmérsékletet jelenti.) Az így kapott eloszlás az ún. Rayleigh–Jeans-féle törvényt adja. Ezzel kapcsolatban már említettük, hogy csak kis frekvenciákra egyezik meg a mérési eredményekkel. Egyébként elvileg sem lehet jó, mert a n frekvenciájú sugárzás energiasûrûsége a frekvencia négyzetével arányos, és emiatt a teljes frekvenciatartományra vett integrálja végtelen, aminek pedig végesnek kellene lennie. Ez annak a következménye, hogy a sugárzási tér a Maxwell-féle térelmélet szerint végtelen szabadsági fokú rendszer, és az elõbbi számítás szerint minden szabadsági fokra ugyanazt az állandó kT átlagos energiát számítottuk adott T hõmérsékleten.
A hiba oka az lehet, hogy nem jut minden szabadsági fokra ugyanannyi átlagos energia. A mérésekbõl megismert eloszlás a nagyobb frekvenciákra egyre kisebb, és exponenciálisan közelít a zérushoz, amint a frekvenciával tartunk a végtelenhez. Ebbõl arra lehet következtetni, hogy itt nem érvényes az ún. ekvipartíció tétele, amely szerint minden szabadsági fokra ugyanannyi energia jut. Ha a statisztikus mechanika tankönyvek idevonatkozó oldalait megnézzük, észrevesszük, hogy az ekvipartíció tétel levezetésénél feltételezik – a klasszikus fizika gondolatvilágával teljes összhangban –, hogy az energia folytonos függvénye a változóknak. Ennek megfelelõen az oszcillátor energiáját is folytonosnak vettük, amikor a fenti eloszlásfüggvényt levezettük.
Plancknak az említett október 19-e utáni hetekben a megfeszített munka során támadt az a merész gondolata, hogy mi volna akkor, ha az oszcillátor energiáját nem folytonosnak, hanem kis adagokból (kvantumokból) összetettnek, tehát egy e energiakvantum egész számú többszörösének tekintenénk? Mit kapunk ebben az esetben az oszcillátor átlagos energiájára? A számítást elvégezve meglepetéssel tapasztalta, hogy ez a feltevés vezet a jó eloszlásfüggvényhez. Ha az energiakvantumot a frekvenciával arányosnak vesszük, az arányossági tényezõként szereplõ h állandónak az értékét alkalmasan választjuk, akkor a kvantumhipotézis alapján számított eloszlásfüggvény tökéletesen ráilleszthetõ a mérésekkel kapott görbére. A h értékét Planck akkor h = 6,55·10–27 erg·sec-nak találta. A ma elfogadott értéke az SI mértékrendszerben h = 6,626·10–34 J·s. Ezt az univerzális állandót a szakirodalom róla nevezte el, és Planck-állandónak hívja. Mivel ez az állandó hatás dimenziójú mennyiség, Planck hatáskvantumnak nevezte. Még ma is elõfordul ez az elnevezés, de gyakoribb a Planck-állandó kifejezés. Planck 1900. december 14-én számolt be ugyancsak a Német Fizikai Társaság ülésén a sugárzási törvény elméleti levezetésérõl A normálspektrum energiaeloszlási törvényének elmélete címû elõadásában. Ezt a napot tekintjük a kvantumelmélet születésnapjának (2. ábra).
2. ábra
Szeretném hangsúlyozni, hogy ennél a levezetésnél
egy több évszázados felfogással szembeni hipotézis
bevezetésérõl van szó. Ugyanis a fizikai mennyiségek
eddig a jelenségek leírására használt
elméletek szerint folytonosan változó mennyiségek
voltak. Hogy az oszcillátor energiája nem folytonos, hanem
kvantumos, semmiképpen nem illett a klasszikus fizika fogalomvilágába.
Itt a régi fizikai világképpel szemben egy egészen
új, merész lépésrõl volt szó.
Planck 1920-ban a Nobel-díj átvételekor tartott elõadásában
errõl a következõt mondta: „Vagy fiktív mennyiség
volt a hatáskvantum, ebben az esetben a sugárzási
törvény egész levezetése elvileg illuzórikus
és nem egyéb, mint tartalom nélküli játék
a képletekkel, vagy pedig a sugárzási törvény
levezésének az alapja egy valódi fizikai gondolat.
Ebben az esetben a hatáskvantumnak a fizikában alapvetõ
szerepet kell játszania, valami újról, valami eddig
soha nem hallottról kell hírt hoznia, amely arra van hivatva,
hogy gyökeresen átalakítsa fizikai gondolkodásunkat,
ami azóta, hogy Newton és Leibniz megalapozta az infinitezimális
számítást, minden oksági összefüggés
folytonosságára épült.” Mint tudjuk, a huszadik
század fizikája a második lehetõségrõl
tanúskodik.
A sugárzási tér állóhullámai
A Planck-törvénynek az itt vázolt eredeti levezetésétõl eltérõ, más gondolatmenetet követõ, de a kvantumhipotézist természetesen felhasználó levezetései is ismertek. Én az alábbit kedvelem, és az egyetemen is ezt szoktam elõadni. Meg is mondom, hogy miért. Azért, mert ez is az oszcillátorenergia kvantumosságát tételezi fel, de ennél az oszcillátorok nem mint sugárzó testek, hanem magának a sugárzási térnek állóhullám megoldásaiként jelennek meg. Elgondolunk egy belülrõl teljesen tükrözõ falakkal ellátott üreget. Az egyszerûbb számítás kedvéért kocka alakút szoktam feltételezni. Ezután megoldjuk az üregben lévõ sugárzási teret leíró Maxwell-egyenleteket a tükrözõ falaknak megfelelõ határfeltételekkel. Megoldásként különbözõ frekvenciájú állóhullámok rendszerét kapjuk. Mindegyik állóhullámot egy-egy egész számokból álló számhármas határoz meg. Ezeknek a hullámoknak az amplitúdói a lineáris oszcillátor mozgásegyenleteit elégítik ki. A sugárzás energiájának a kifejezése pedig oszcillátorenergiák összegeként áll elõ. Ezután ugyanúgy járunk el, mint az eredeti levezetésnél, csak most az ún. sugár-oszcillátorokkal van dolgunk, és így azonnal a sugárzás energiájának a frekvencia szerinti eloszlását kapjuk meg. Nem kell felhasználni a Kirchhoff–Clausius-féle tételt. Ebbõl a levezetésbõl az is látszik, hogy nemcsak az oszcillátor fénykibocsátó és -elnyelõ folyamatának kvantumosságáról van szó, hanem az elektromágneses sugárzás energiájának kvantáltságáról, hiszen a tér energiája hn energiakvantumok összegeként áll elõ.
Az elektromágneses sugárzásnak ezt az új
vonását Planck hipotézisének továbbfejlesztéseként
Albert
Einstein ismerte fel. Sõt tovább ment, mert a tér
impulzusát is ún. impulzuskvantumok összegeként
fogta fel. Eszerint az elektromágneses sugárzást hn
energiájú és hn/c
impulzusú kvázirészecskéknek tekinthetjük.
Azért használom a kvázi jelzõt, mert bár
bizonyos értelemben, illetve körülmények között
olyanok, mintha részecskék lennének, de mégsem
tekinthetõk a szó eredeti értelmében részecskéknek.
Ugyanis a fény hullámelméletébõl megismert,
kimondottan hullámtulajdonságokkal (mint pl. az interferencia
vagy az elhajlás jelensége) is rendelkeznek. Az elektromágneses
sugárzás energia- és impulzuskvantumait Einstein nyomán
fotonoknak
nevezzük. (Ilyen ún. kettõs természetük
nemcsak a fotonoknak van, hanem minden mikrorészecskének,
de errõl most nem mondok többet, mert ahhoz a kvantummechanika
alapkérdéseinek az ismeretére volna szükség.)
Kísérleti bizonyítékok
Az elektromágneses sugárzás részecsketulajdonságainak meggyõzõ kísérleti bizonyítéka volt az ún. Compton-szórás felfedezése. Itt arról van szó, hogy elektromágneses sugárzás, pl. röntgensugár szóródik a könnyû elemekbõl álló anyagon, és közben megváltozik a szórt sugárzás frekvenciája a beesõéhez képest. A frekvenciaváltozás csak a beesõ és a szórt fény irányváltozásától függ. Másrészt azt tapasztaljuk, hogy a könnyû elembõl elektronok repülnek ki. A jelenséget igen szemléletesen és egyszerûen magyarázhatjuk a fény részecsketulajdonságával. A beesõ foton az atom elektronjával ütközik, és energiájának egy részét átadja az elektronnak. Nagy frekvenciájú fény esetén a foton energiája olyan nagy, hogy az elektron kötési energiája emellett elhanyagolható. A jelenséget tehát úgy tekinthetjük, mintha szabad elektronon szóródna a foton. A folyamat leírására az energia- és az impulzustételt használjuk fel. Az ezeket kifejezõ egyenletekbõl egyszerûen kiszámítható a fény frekvenciaváltozása, amely jól egyezik a mérési eredményekkel. Mivel ezt a sugárzás „részecske” képe alapján határoztuk meg, a Compton-szórásra vonatkozó kísérletek az elektromágneses sugárzás részecskesajátságát igazolják.
Egy másik megemlítendõ jelenség az ún. fényelektromos jelenség, amelyet már a múlt század vége felé ismertek, de a fény hullámtermészete alapján nem tudtak megmagyarázni. A jelenség abban áll, hogy ha fémlemezt – különösen alkálifémet – ultraibolya fénnyel megvilágítunk, akkor elektronok lépnek ki a fém felületérõl. A tapasztalat azt mutatta, hogy a kirepülõ elektronok sebessége nem függ a megvilágító fény intenzitásától, hanem csak a frekvenciájától. Nevezetesen, ha növeljük a frekvenciát, megnõ az elektronok sebessége is. Másrészt, a fény intenzitásától függ a kilépõ elektronok száma. A klasszikus fizika szerint a fémbe behatoló fény energiáját az atom elektronja folytonosan veszi fel, és amikor annyi energiát gyûjtött össze, hogy a fém kötelékébõl kiszakadhat, elhagyja annak felületét. Egyszerû számítással meghatározható az az idõtartam, amennyi alatt az elektron a kilépéshez szükséges energiát összegyûjti. Ehhez 3-4 nap kellene! A megfigyelés ezzel teljesen ellentétes, ugyanis azt tapasztalják, hogy az elektronok a megvilágítást követõ százmilliomod másodpercen belül kirepülnek a fémbõl. Ez másként nem értelmezhetõ, mint úgy, hogy a fény nem folytonos eloszlásban esik rá a fémlemezre, hanem kis energiakvantumokban. A fémbe behatoló foton energiáját teljesen átadja az atomnak, ezáltal annak elektronja akkora energiára tesz szert, hogy azonnal kilép az atomból. A kilépéshez az anyagra jellemzõ minimális energia szükséges. Nevezetesen az az energia, amivel az elektron kötve van az atomban. Ezt kilépési munkának nevezzük. A fémbe hatoló foton energiája fedezi a kilépési munkát és az elektron mozgási energiáját. Ez egy egyszerû egyenlet, ami a tapasztalattal jó egyezésben van. A fényelektromos jelenségnek a fotonkép alapján való magyarázata Albert Einstein érdeme. Ezzel indokolták Nobel-díját.
A kvantumelmélet korai idõszakából még
egy dolgot említek meg, ami szintén szép bizonyítéka
volt a Planck-féle kvantumhipotézisnek. A szilárd
anyag fajhõjének a hõmérséklettõl
való függésérõl lesz szó. A fenomenológiai
egyensúlyi termodinamika, és a klasszikus statisztikus mechanika
is hõmérséklettõl független állandó
értéket ad a szilárd anyagok fajhõjére.
A tapasztalat viszont azt mutatja, hogy az abszolút zérus
ponthoz közeledve csökken a fajhõ, éspedig a hõmérséklet
harmadik hatványával. Az elmélet és a tapasztalat
közötti ellentmondást szintén Einstein oldotta
fel a kvantumhipotézis alapján. Einstein a szilárd
anyagra azt a modellt használta, amely szerint az atomok szabályos
elrendezõdésben harmonikus rezgõ mozgást végeznek
az egyensúlyi hely körül a hõmérséklettõl
függõen. Mindegyik atom három független lineáris
oszcillátornak tekinthetõ, mivel az atom helyét egy
vektorral lehet megadni, aminek három komponense van. A szilárd
anyagnak N atomot tartalmazó darabja 3N független
lineáris oszcillátor rendszerének fogható fel.
Einstein azt a legegyszerûbb modellt tekintette, amelyben mindegyik
atom a többitõl függetlenül ugyanazzal a frekvenciával
rezeg. Nyilvánvaló, hogy ez így nem igaz, hiszen az
egyes atomok mozgása befolyásolja a szomszédokét.
Ezzel Einstein is tisztában volt, ezért nem is várt
a modellje alapján tökéletes egyezést a tapasztalattal,
de a kvantumhipotézis alkalmazásával a fajhõ
zérushoz tartását a T®0
esetben kvalitatíve értelmezni tudta. Az õ fajhõképlete
az anyagra jellemzõ bizonyos hõmérséklet felett
a tapasztalattal jól egyezik, de alacsony hõmérsékleteken
túl meredeken esik le. Pontosabban szólva, exponenciálisan
tart zérushoz, amikor a hõmérsékletet zérushoz
közelítjük. A tapasztalattól való eltérés
a modell túl egyszerû voltával kapcsolatos. A rácspontokban
levõ atomok rezgése nem tekinthetõ egymástól
független harmonikus rezgésnek. A pontosabb tárgyalásnál
a kristályrácsnak mint egésznek a kollektív
rezgéseit kell figyelembe vennünk, amelynek során különbözõ
sajátfrekvenciákat kapunk. Egyszerûbb a számítás
akkor, ha Debye nyomán a szilárd testet folytonos
anyageloszlásúnak vesszük, és a benne meghatározott
határfeltételek mellett kialakuló rugalmas állóhullámok
számát határozzuk meg. Ez a tárgyalásmód
nagyon hasonlít a hõmérsékleti sugárzásnál
követett gondolatmenethez. Az így számított fajhõ
kifejezése jól egyezik a tapasztalattal, alacsony hõmérsékleteken
a T harmadik hatványa szerint változik.
Elõrehaladás az atomok fizikájában
Ezekbõl a példákból látjuk, hogy a kvantumhipotézisben Planck egy olyan új, a klasszikus fizikától idegen természettörvényt ismert fel, amely a mikrovilágban általános érvényû, és egy új fizikának az eljövetelét jelzi. A következõ lépést ebben az irányban Niels Bohr tette meg. A hatáskvantumnak egy újabb szerepét ismerte fel, amikor a hidrogénatom egyszerû modelljében az elektron impulzusnyomatékát a Planck-állandóval arányosnak vette. Õ egy elméletet próbált megalkotni, egyelõre csak a hidrogénatomra, amelybe a hatáskvantum az alapvetésnél be van építve. Elmélete két feltevésen nyugszik. 1. A hidrogénatomban a proton körül körpályán mozgó elektron csak olyan pályákon mozoghat, amelyeken az elektron impulzusnyomatéka a Planck-állandónak egész számú többszöröse. Ezeken az ún. stacionárius pályákon keringve nem sugároz. 2. Sugárzás akkor jön létre, amikor egyik magasabb energiájú pályáról egy alacsonyabb energiájúra ugrik az elektron. Az energiakülönbség a kisugárzott fény frekvenciájának és a Planck-állandónak a szorzatával egyenlõ. Az elõbbiek szerint ez azt jelenti, hogy az atom az átmenet során egy hn energiájú fotont bocsát ki. Ezek a feltevések nem kevésbé merészek a Planck és Einstein nevével kapcsolatosan már említett feltevéseknél. Ugyanis a Maxwell-féle klasszikus elektrodinamika szerint a gyorsulással mozgó elektromos töltések sugároznak. A körpályán való mozgás gyorsuló mozgás, ezért az elektronnak sugározni kellene. Bohr feltevése tehát ellentétes a klasszikus elektrodinamikával. Az elmélet a stacionárius pályák energiáira az egész számok négyzetével fordítottan arányos kifejezést ad. Ez a második feltevés alapján egyszerre megmagyarázza a hidrogén vonalas színképében korábban empirikus úton talált szabályosságokat, pl. az ún. Balmer-sorozatot. Már ennek is bámulatos hatása volt, de még ennél is nagyszerûbbnek tûnt az elemek periódusos rendszerének értelmezése, vagyis az egy oszlopban álló elemek kémiai hasonlóságának a magyarázata. Ennél figyelembe kellett venni az elektron spinjét és a Pauli-elvet. Az idõközben elvégzett kísérletek az említett fizikai mennyiségek kvantáltságát igazolták, de arra is rámutattak, hogy a Bohr-elméletnek számos hiányossága van. Elég azt megemlíteni, hogy csak a hidrogénatomra lehet alkalmazni, már a következõ elemnél, a héliumnál sem járt sikerrel.
Niels Bohr és Max Planck
Az atomok fizikájának elméletére még több mint tíz évet kellett várni. Persze közben nem tétlenkedtek a fizikusok, a mikrovilág sok szép, új jelenségét fedezték fel, de az ezeket is magába foglaló és magyarázó elmélet még hiányzott. Az igazi nagy jelentõségû lépést Werner Heisenberg tette meg 1925-ben a kvantummechanika megalkotásával. Ezt követte Ervin Schrödinger és Paul Dirac. Az új elmélet fizikai értelmezésének kialakításában nagy szerepe volt az alkotók mellett Niels Bohrnak, Max Bornnak és Wolfgang Paulinak. A kvantummechanikában a fizikai mennyiségekhez folytonos függvények helyett operátorokat (mûveleti utasításokat) rendelünk, és az operátorok sajátértékeit azonosítjuk az illetõ fizikai mennyiség lehetséges (tehát méréssel megállapítható) értékeivel. Az egymáshoz kanonikusan konjugált mennyiségek (pl. a helykoordináták és az impulzuskomponensek) operátorainak egymás utáni alkalmazásánál a sorrend felcserélése más eredményre vezet. Az egyenes és fordított sorrend különbségét axiómaként elõírjuk, arányosnak vesszük a Planck-állandóval. A hatáskvantum tehát ebben az új elméletben is az alapvetésnél jelenik meg, azt is mondhatjuk, hogy az axiómaként szereplõ alapegyenletekbe van beépítve. Ezek az ún. Heisenberg-féle felcserélési törvények, amelyek megszabják, hogy a helykoordinátákhoz és a megfelelõ impulzuskomponensekhez milyen operátorok rendelendõk. A többi mechanikai mennyiség (pl. az energia, az impulzusnyomaték) operátora ezekbõl már meghatározható, mert ezek kifejezhetõk a helykoordinátákkal és impulzusokkal. Fontos következménye az elméletnek, hogy az egymással fel nem cserélhetõ operátorokhoz tartozó fizikai mennyiségek egyidejûleg nem mérhetõk meg tetszõleges pontossággal. A mérési hibák szorzata arányos a hatáskvantummal. Ezek az ún. határozatlansági összefüggések a Planck-állandónak szemléletes jelentést adnak még az eléggé elvont kvantummechanikában is.
A kvantummechanika módszereit és elveit Dirac, Heisenberg és Pauli kezdeményezésére kiterjesztették elõször az elektromágneses térre, majd más fizikai erõterekre. Az így adódó kvantumelektrodinamikában a tér energiája és impulzusa hn, illetve hn/c kvantumok összegeként adódik. A sugárzás kvantáltsága, ami száz évvel ezelõtt hipotézis volt, az elméletnek következménye lett. A Planck által felfedezett hatáskvantum a huszadik század fizikájának egyik legfontosabb univerzális állandója. A kvantumhipotézis volt a kiinduló pontja a huszadik század egyik legragyogóbb és leghatásosabb fizikai elméletének, a kvantummechanikának. Nem túlzás, ha azt állítjuk, hogy hatását tekintve példátlan a fizikai elméletek között, mert az atomok fizikáját, azok egymáshoz kapcsolódását, a molekulák törvényszerûségeit, és végsõ soron az anyag szerkezetét, a különféle halmazállapotok mibenlétét ez magyarázza meg. Az elvi jelentõségû eredményeken kívül az alkalmazások egész sorát lehetne említeni a kémia, a mûszaki tudományok, a biológia vagy az orvostudomány területérõl. Ennek illusztrálására legyen itt csupán egyetlen példa. A különféle anyagok elektromos vezetési tulajdonságainak kvantummechanikai magyarázata vezette Bardeent a tranzisztor felfedezéséhez. Erre alapozva indult meg a modern elektronikai kutatás, és az eredmények mûszaki alkalmazása, ami mára a szórakoztató elektronikai iparral, valamint a számítógépekkel teljesen átalakította az emberi kapcsolatokat, és jelentõsen megváltoztatta az emberek viszonyát a munkához.
***
A kvantummechanikának az erõterekre történt kiterjesztése, az ún. kvantumtérelmélet az anyag legelemibb alkotórészeit, azok között ható kölcsönhatásokat, az ún. elemi részek fizikáját kutatja. Ezek a hozzá kapcsolódó kísérleti vizsgálatokkal együtt jelentik a század utolsó néhány évtizedének kutatásait a fizika fejlõdésének abban a fõ vonulatában, amely Newton Princípiájával kezdõdött, Planck kvantumhipotézise óta felerõsödve, a fizika fundamentális kérdéseire keresi a válaszokat. A legelemibbnek gondolt alkotórészek törvényszerûségeit vizsgálva végeredményben az a távolabbi cél lebeg a kutatók elõtt, hogy egyre közelebb kerüljenek a nagy elvi kérdések megválaszolásához. Ilyen pl. az, hogy hogyan keletkezett az univerzum és milyen törvények szerint fejlõdik. A nagyenergiájú fizika már ma is, de még inkább a közeljövõben olyan kísérleti feltételeket tud elõállítani – ugyan rövid ideig –, amelyek az univerzum keletkezése utáni másodperc tört részeiben lehettek. Ezek tanulmányozása a világról alkotott képünk gazdagítását és egyre pontosabbá válását eredményezik.
A huszadik század fizikája, nagyszerû eredményeivel és azok alkalmazásaival, Planck száz évvel ezelõtti kvantumhipotézisét, a hatáskvantum bevezetését, a fizikatörténet legszebb lapjaira helyezte, és a legnagyobbakkal egy sorban örökítette meg.