TASNÁDI ATTILA
Az igazságos elosztás axiomatikus megközelítése

Az igazságos elosztás megvalósítása régóta foglalkoztatja az emberiséget, így számos tudományterület mûvelõit (filozófusok, közgazdászok, politológusok, szociológusok stb.) is. Mi most kizárólagosan az igazságos elosztás kérdésének egy matematikai megközelítésével fogunk megismerkedni. Ehhez tekintsük a következõ leegyszerûsített helyzetet: egy tárgyból egy adott mennyiség áll rendelkezésünkre, amelyet adott igényû szereplõk között kell elosztanunk. Ezt a helyzetet a továbbiakban elosztási problémának nevezzük. Az elosztási problémákat szokás aszerint megkülönböztetni, hogy az elosztandó mennyiség egységei oszthatatlanok, vagy pedig folytonosan oszthatóak. Az elõbbi esetben diszkrét elosztási problémáról, míg az utóbbi esetben folytonos elosztási problémáról beszélünk. Az elosztási eljáráson pedig egy olyan hozzárendelést értünk, amely minden lehetséges elosztási probléma esetén megadja a magvalósítandó elosztást.

A valóságban számos felmerülõ probléma belefér az általunk megfogalmazott modellkeretbe. Ilyen például a mandátumok elosztása pártonként, illetve területenként, a képviselõk számának meghatározása karonként az egyetemi tanácsban, az egészségügyi személyzet elosztása katonai egységekhez, az almák elosztása családtagok között stb.

Tekintsük kicsit részletesebben a mandátumok területenkénti elosztásának kérdését. Az egyes országok választási rendszerei eltérõ módon határozzák meg a területi egységek (pl. megyék, államok) lakosainak vagy a szavazásra jogosultak száma alapján a területi egységekhez rendelt mandátumok számát. Ennél a konkrét elosztási problémánál a szétosztandó mennyiség a képviselõi helyek száma, a szereplõk köre a területi egységek, míg a szereplõk igényei a területi egységek lakosainak száma. Elsõ megközelítésben a mandátumokat a lakosság számának megyénkénti megoszlása szerint osztanánk el. Ez az eljárás viszont kivitelezhetetlen, mivel egy mandátum oszthatatlan (tehát egy diszkrét elosztási problémával állunk szemben) és így igen ritka esetekben kapunk az arányosítás elvégzése után csak egész értékeket. A kerekítések végrehajtása viszont számos problémát vet fel, ugyanis egyáltalán nem világos, hogy milyen elv alapján osszuk el a maradék mandátumokat. Mivel általában az egyes területi egységekben a jelöltek, illetve pártok szimpátiái eltérõek és egy szavazás kimenetele sokszor csak néhány mandátumon múlik, ezért az alkalmazandó mandátumelosztási eljárás politikai viták tárgya. Az Egyesült Államokban az ilyen jellegû megfontolások többször is a választási rendszer módosításához vezettek, mivel az alkotmány nem ad pontos útmutatást a mandátumok számának meghatározásához. Az Egyesült Államok esetében további problémát jelentett, hogy az újabb államok felvétele és az államok lakosságának eltérõ ütemû változása, mind a képviselõk összlétszámának, mind a képviselõk államonkénti megoszlásának folyamatos változását eredményezte. Ezért a mandátumelosztási eljárásnak bizonyos konzisztenciafeltevéseknek is eleget kellett tennie.
 
 

Axiómák

Az elosztási eljárásokat szokás bizonyos igazságossági és invariancia axiómákkal jellemezni. Az egyes axiómák relevanciája mindig a konkrét elosztási problémától függ. Itt csak három igazságossági (egyenlõ elbánás elve, igény monotonitási és erõforrás monotonitási) és három invariancia (konzisztencia, alulról elõállíthatósági és felülrõl elõállíthatósági) axiómát ismertetek jelentésük alapján, a pontos matematikai megfogalmazást mellõzve. (1) Az egyenlõ elbánás elve szerint azonos igényû szereplõknek azonos mennyiségeket kell juttatni. (2) Az igény monotonitási axióma szerint, ha egy szereplõ igénye – a többi szereplõ igényének változatlansága mellett – megnövekszik, akkor a megnövekedett igényû szereplõ nem kaphat kevesebbet, mint a korábbi elosztás során. (3) Az erõforrás monotonitási axióma szerint, a szétosztandó mennyiség növekedése nem vezethet oda, hogy egy szereplõ kisebb mennyiséghez jusson. Megjegyzendõ, hogy ezen axióma sérülése „Alabama-paradoxon” néven ismeretes. Az elnevezés 1880-ból származik, ugyanis az Egyesült Államokban az akkoriban alkalmazott mandátumelosztási eljárással számolva azt tapasztalták, hogy a képviselõhelyek számát 299-rõl 300-ra növelve Alabama állam képviselõinek száma eggyel csökkenne. (4) A konzisztencia axióma szerint mindegy, hogy az elosztási eljárás során a tárgyakat milyen sorrendben rendeljük az egyes szereplõkhöz. (5) Az alulról elõállíthatósági axióma megköveteli, hogy bárhogyan is osztjuk két részre az elosztandó mennyiséget, amelyeket külön-külön osztunk szét az eljárásunk alapján, akkor ugyanoda jussunk, mint ha a szétosztást egy lépésben hajtanánk végre. Például 300 mandátum elosztása során ugyanarra az elosztásra jussunk egyrészt, ha egyszerre osztjuk el a 300 mandátumot és másrészt, ha külön-külön osztunk el 200, illetve 100 mandátumot és az így adódó elosztásokat összegezzük. (6) A felülrõl elõállíthatósági axióma szerint, ha az elosztandó mennyiség csökkenne, akkor az elosztást egyrészt kiszámíthatjuk közvetlenül az új csökkentett mennyiségbõl kiindulva, vagy pedig úgy is, hogy az eredeti nem csökkentett mennyiség elosztása után vonjuk vissza a szükséges mennyiséget az eljárásunk alapján.
 
 

Prioritási szabályok jellemzése

Az ismertetett axiómák segítségével nézzük meg, hogy milyen jellegû eredményeket fogalmazhatunk meg. Elsõként Moulin az Econometrica 2000. májusi számában publikált egyik tételét említeném meg. Az eredményéhez szükségünk lesz a prioritási szabály fogalmára. Egy elosztási eljárást prioritási szabálynak nevezünk, ha az igények kielégítése az igények mennyiségétõl függetlenül mindenképpen egy rögzített sorrenden történik. Tehát a prioritási szabály szerint egy szereplõ csak akkor jut a tárgyhoz, ha az összes nála magasabb prioritást élvezõ szereplõ igényét maradéktalanul kielégítették.

 
Moulin (2000, 1. tétel): Diszkrét elosztási probléma esetén egy elosztási eljárás akkor és csak akkor egy prioritási szabály, ha konzisztens, alulról elôállítható és felülrõl elôállítható.
Moulin eredménye meglehetõsen negatív, mivel tétele szerint a három invariancia axióma megkövetelése szükségszerûen egy igazságtalan elosztási eljáráshoz vezet, ugyanis a prioritási szabály semmiképpen sem tekinthetõ egy igazságos elosztási eljárásnak. Ez abban is megmutatkozik, hogy a prioritási szabály az egyik alapvetõ igazságossági axiómát, nevezetesen az egyenlõ elbánás elvét is sérti.
 
 

Valószínûségi modell

Moulin eredményét azért is emeltem ki, mert az ilyen irányú vizsgálódások iránt az elõbb ismertetett eredmény keltette fel az érdeklõdésemet. A fenti negatív eredménybõl kiutat jelenthet egy valószínûségi modell megfogalmazása. A diszkrét elosztási problémát tekintve intuitíve igazságosnak érezzük a következõ eljárást: juttassunk mindenkit igényeivel azonos számú sorsjegyhez, majd a sorsjegyeket helyezzük el egy urnába, amelybõl pontosan annyi darab sorsjegyet húzunk ki, ahány darab elosztandó tárgyunk van, és végül mindenki annyi darabot kap, ahány darab sorsjegyét kihúztunk. Nevezzük a továbbiakban ezt az eljárást véletlen elosztási eljárásnak.

A véletlen elosztási eljárás jellemzésénél szükségünk lesz az arányos várható részesedés axiómára, amely megköveteli, hogy az elosztás várható értékben legyen arányos az igényelt mennyiségekkel. Megjegyzendõ, hogy a korábban említett axiómákat is ki kell terjeszteni a valószínûségi modellre. Eszerint például az egyenlõ elbánás elve a következõképpen módosul: azonos igényû szereplõk által kapott mennyiségek legyenek azonos eloszlásúak. A többi axióma valószínûségi megfelelõjének megfogalmazásától most eltekintek.

 
Állítás: A véletlen elosztási eljárás kielégíti mind a konzisztencia, az alulról elôállíthatóság, a felülrõl elôállíthatóság és az arányos várható részesedés axiómáját.
Tehát a valószínûségi modellben már nemcsak a prioritási szabályok tesznek eleget mindhárom invariancia axiómának. Kérdéses azonban, hogy hány olyan eljárás található még, amely kielégíti a három invariancia axiómán kívül az arányos várható részesedés axiómáját is. Erre ad választ a következõ tétel.
 
Tétel: Egy valószínûségi elosztási eljárás akkor és csak akkor véletlen elosztási eljárás, ha kielégíti az alulról elôállíthatóság és az arányos várható részesedés axiómáit.
Megjegyzés: Miután megfogalmaztam a valószínûségi modellkeretet, amelyre kiterjesztettem az invariancia axiómákat, továbbá bebizonyítottam a fenti állítást és tételt, nagy csalódással szereztem tudomást arról, hogy Moulin korábbi kutatásait folytatva 2000 júliusában két nemzetközi konferencián ismertette a valószínûségi modellkeretet és a véletlen elosztási eljárás többirányú jellemzését, amelyeknek egyszerû következménye a fenti tétel is.

A fair maradék elosztási eljárás

Elemzéseimet folytatva egy másik elosztási eljárás vizsgálatával is behatóan foglalkoztam, amelyet fair maradék elosztási eljárásnak neveztem el. A fair maradék elosztási eljárás egy kézenfekvõ eljárás: (1) számítsuk ki mindenkinek az igényeivel arányos részesedését, (2) kerekítsük le az így kapott értékeket és az így adódó mennyiségeket garantáljuk mindenkinek, és (3) a fennmaradó mennyiséget osszuk el úgy, hogy teljesüljön az arányos várható részesedés axiómája. Bizonyítható, hogy ilyen elosztás mindig létezik.

A fair maradék elosztási eljárás jellemzéséhez szükségünk lesz az arány monotonitási axiómára, amely szerint, amennyiben egy szereplõ igénye az összes igények arányában megnövekszik, akkor a szereplõ által kapott mennyiség valószínûségi értelemben szintén megnövekszik, azaz nagyobb valószínûséggel jut nagyobb mennyiségekhez. Ezek után már megadhatjuk a fair maradék elosztási eljárás egy jellemzését.

 
Tétel: Egy valószínûségi elosztási eljárás akkor és csak akkor fair maradék elosztási eljárás, ha kielégíti az arány monotonitás és az arányos várható részesedés axiómáit.
Következtetések

Termesztésen az általam itt leírt eljárásokon kívül sok más eljárás is létezik és az axiomatikus vizsgálatok más, általánosabb modellkeretek között is végezhetõk. Az említett három eljárás példáján megállapíthatjuk, hogy az általunk vizsgált modellkeretben nincs olyan eljárás, amely az összes ésszerû axiómának eleget tenne. Hangsúlyozni szeretném, hogy az axiomatikus megközelítési mód (1) felhívja a figyelmünket arra, hogy ne kívánjunk lehetetlent egy eljárástól, (2) megmutatja, hogy az egyes eljárások, mely elveket elégítenek ki és (3) egy konkrét helyzetben a döntéshozókra bízza a legfontosabbnak tartott elvek kijelölését, amelyek alapján már kiválasztható az alkalmazandó elosztási eljárás az axiomatikus elemzés alapján.


Az MTA 2001. évi Bolyai-ösztöndíjak átadásakor elhangzott elõadás írott változata

Természet Világa, 132. évfolyam, 9. szám, 2001. szeptember
https://www.chemonet.hu/TermVil/
https://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/

Vissza a tartalomjegyzékhez