A matematika és a zene – az élet harmóniája

BAGI FRUZSINA
Eötvös József Gimnázium, Tata

Számomra a matematika és a zene is fontos tudomány. A pályázattal lehetõségem nyílik arra, hogy a köztük lévõ kapcsolatokból néhányat bemutassak.

A két tudomány az idõk folyamán többször összefonódott, sõt közös kiindulási pontjuk volt. Dolgozatomban mégsem történeti sorrendben következnek a kapcsolatok, hanem az alapoktól a bonyolultabb viszonyok felé.

Elsõnek a hangról és az azt jellemzõ fontosabb tulajdonságokról szeretnék szólni. Itt még a fizikai fogalmak is szerepet kapnak. Akár azt is mondhatjuk, hogy egyes vonatkozásokban sokkal szorosabb a kapcsolat a fizika és a zene, mint a matematika és a zene között. Ez a helyzet például a hang magasságánál és a felhangoknál.

Az elsõ kérdés, ami felvetõdik, mi a hang: rezgés. A rezgés és a hang fogalmát néha könnyû, és van úgy, hogy nehéz elválasztani egymástól. Ha a hangvillát vesszük alapul, a villa elkezd rezegni, a körülötte lévõ levegõt „felkavarja”, amely eljut a fülbe, átviszi a rezgést a dobhártya, és végül ez a rezgés alakul át hangélménnyé az agyban. A hangvilla rezgését magunk is megjeleníthetjük, ha a hangvilla végére egy tût erõsítünk, majd rezgésbe hozzuk s egy viaszos, vagy faszenes lapot húzunk el alatta. Szabályos hullámvonalakat fogunk kapni, amit a matematikában szinuszgörbeként ismerünk.

Ebbõl a két esetbõl láthatjuk, hogy „mennyire hang a rezgés” és „mennyire rezgés a hang”. Az ember számára általában az jelenti a rezgést, amit füllel már nem érzékel, vagy olyan hangos, hogy nemcsak hallja, hanem „érzi is”.

Számomra a hangok vizsgálatánál a legfontosabb a „felhangok” bemutatása. A felhang szó annyit jelent, hogy egy hangszeren egy hang megszólaltatásakor nemcsak az a bizonyos hang hallatszik, hanem mellette szinte az egész skála. A felhangot a frekvenciával lehet magyarázni. A frekvencia egy idõegységen belül végzett teljes rezgések száma, ahol minden frekvenciaértékhez más hangmagasság tartozik. Egyetlen frekvenciája csak a szinuszosan változó folyamat hangjainak lehet. Ezeket hívjuk felhang nélküli hangoknak. Ezek ugyan nem játszhatók le a hagyományos hangszereken, de „elõállíthatók”. Ezeket a felhang nélküli hangokat használja például a Seashore-teszt. A periódusos jellegû, bonyolultabb rezgésalakú hangoknak több frekvenciája van. Az alapfrekvencián kívül ott már más frekvenciák is szerepelnek, amelyek egyben más hangokat is elõhívnak. Így születik a felhang, ami lényegében a hangszereket jellemzi. A felhangok meghatározott rendben követik egymást. Az alaphang és a felhangok által meghatározott hangközök: oktáv, duodecima, belsõ oktáv stb.

Néhány példával szeretném bemutatni, ez hogyan adja meg egy-egy hangszer hangzását. Számomra a legszembetûnõbb a rézfúvósok példája: az elsõ õsi (például trombitákon) hangszereken még nem voltak toldalékcsövek, csak a felhangrendszerben elõforduló hangok voltak játszhatók. Egyes hangok kijátszása így nagy szakértelmet követelt a zenésztõl, mert a hangmagasság változását csak a száj alakjának (illetve a befúvás módjának) változtatásával tudta elérni. Mikor a hangszerre szelepek kerültek, akkor azok feladata újabb és újabb csõrendszerek megnyitása lett. Így már több felhangrendszerben lehetett játszani, és lényegesen könnyebbé vált a hangszer használata.

A hang egy másik fontos tulajdonsága a hosszúsága, az, hogy mennyi ideig kell szólnia a megszólaltatott hangnak. Ebben a vonatkozásban a legkönnyebb felfedezni a matematikai-zenei kapcsolatokat.

Kezdjük az elején (a kottával): a kulcs és a hangnem megadása után az ütemmutató következik. Ezt egy törtszámmal jelöljük. A nevezõ egy hanghosszt jelöl, míg a számlálóból megtudjuk, hogy hány lehet ebbõl a ritmusból egy ütemben. Van páros és páratlan ütemmutató.

A hangok felosztása osztással történik. A legtöbb esetben a hangot felezzük. Egész hangnak nevezzük a 4/4-et kitöltõ hangot. Ezt kettéosztva két felet  kapunk.

Ezt tovább osztva negyedeket  nyolcadokat  tizenhatodokat , vagy akár harminckettedeket  kaphatunk.

Ebbõl a hangkészletbõl 3/4, 3/8, 3/16 (vagy 5/4, 7/4…) hosszúságú hangokat is összeállíthatunk. A 3/4-es hanghoz egy fél és egy negyed összekapcsolásával juthatunk:

Az összeadást a zenében a  jel mutatja.

A példa alapján megkaphatjuk a

Ahogyan a 3/4-et, illetve a 3/8-ot (és a többit) egyszerûbben is leírhatjuk (mint ahogy nem az 1/2+1/4-et, hanem a 3/4-es kifejezést használjuk), a zenében a hang után egy pontot teszünk, ami annyit jelent, hogy a hang felével kell meghosszabbítani azt. Tehát a 3/4 hosszúságú hangot felírhatjuk  formában is, míg a 3/8-ot -ként.

Egy hang után több pont is állhat. Az egymást követõ pontok mindig fele akkora értékûek, mint az elõtte álló: 

Ezen példák alapján bárki könnyen elvégezheti a felezés, a negyedelés és a háromnegyedelés mûveletét a zenében is.

Van olyan eset, hogy nem fél-, negyed-, vagy háromnegyed… stb. hosszúságú hangra van szükség, hanem attól eltérõ, a leírtak alapján nem elõállítható hangra. Mit jelent ez a matematikában? Ha például az 1/3-ot akarjuk felírni, azt az egész (azaz 4/4) felezésével nem kaphatjuk meg. Viszont, ahogy a matematikában, úgy a zenében is van lehetõség a hang harmadolására (ötödölésére, hetedelésére stb.).

Ha a negyedet akarjuk három egyenlõ részre osztani:   ez a triola. Ugyanígy három részre osztható fél vagy egész is vagy a náluk kisebb hangok: .

A triola mintájára megalkothatjuk a pentolát:  a szextolát:  vagy a szeptolát is: .

Eddig csak az egész hang osztásáról volt szó. Természetesen hosszabbítani (szorozni vagy hozzáadni) is lehet.

Ezen a néhány említett példán is látható, hogy milyen sokfélék a ritmusok. Aki egy kicsit elmélyed a témában, bizonyára hamar rájön, hogy azok végtelenek – akár a számok.

Dolgozatom második felében a hangokból felépülõ skálákról (hangsorokról) és azok történetérõl írok. Az ókori Görögországban már az idõszámítás elõtti korokban fejlõdni kezdett a matematika és a zene tudománya is. Az egyik legfontosabb lépés a zene számára a hangsor megalkotása volt. Ezt a folyamatot szeretném bemutatni az ókortól napjainkig. Az ókorban, a pitagoreusok korában a matematikával úgy foglalkoztak mind a zenével, a számelmélettel, a geometriával, a csillagászattal és a filozófiával. A csillagászattal és a geometriával való kapcsolata máig egyértelmû, míg az idõk folyamán a zene és a filozófia nagymértékben eltávolodott a matematikától. A „görög ókorban” kezdetben volt a zene, ez „szülte” a számelméletet, majd e kettõ vált a pitagoreusok filozófiájának, a harmóniatannak az alapjává. Feltették a kérdést: mi a feltétele annak, hogy két egyszerre vagy gyors egymásutánban hallatott hang a fül számára kellemes legyen, a harmónia érzetét keltse?

A kérdés eldöntéséhez kísérletezésbe kezdtek (feltételezhetõ, hogy a kísérleteket el is végezték – a lektor) ezáltal a fizika is „megszületett” mint tudomány.

A húrt megpendítve megadták az alaphangot. Az ugyanolyan feszességû húrt a felénél lefogva az alaphang oktávját kapták meg. Ezt a tiszta hangzást szümphoniának nevezték (ma konszonáns). Ezt felírták aránypárokkal is: ha az alaphúr hossza egy, akkor az oktávjához tartozó húr hossza 1/2. Tehát: 1/2:1=1:2. Ez azt jelenti, hogy az alaphanghoz tartozó húr hossza úgy aránylik a húr hosszához, mint 1 a 2-höz. További két szümphoniát figyeltek meg a húr 2/3, illetve 3/4 hosszúságban való megszólaltatásakor. Az elsõ esetben (2/3:1=2:3) az alaphang kvintjét kapták, míg a másodikban: (3/4:1=3:4) az alaphang kvartját. Ha megnézzük eme egyszerû kísérletüket, láthatjuk, hogy három tudományág született ugyanabban az idõben, ugyanazon kérdés feltevésekor: a hangtan, a számelmélet és a fizika.

Megállapították, hogy a húr hosszával fordítottan arányos a hang magassága. Meggyõzõdésük volt, hogy az õket körülölelõ világban és a zenében is megtalálható a számok harmóniája. Tehát ha tanulmányozzuk a számokban rejlõ harmóniát, akkor az élet dolgainak megértése is könnyebbé válik.

A kísérleteket itt nem hagyták abba. A húrok hosszát egységekre osztották: az alaphang 12, az oktáv ennek fele, tehát 6, a kvart a 3/4-e, tehát 9, a kvint pedig a 2/3-a , tehát 8 lett. A hangközök a húrok hosszával is felírhatók: ha így értelmezzük, akkor az F hang az alsó C kvartja, míg a felsõ C a G hangé.

Ugyanez kvint hangközre átírva a következõ: C–G és F–C hangközök egyaránt kvintek, szám szerint 6:9 és 8:12:

Mivel ugyanazon hangközt jelöli a 9:12, illetve a 6:8 arány is, ezért felírhatók aránypárként 9:12=6:8 és 6:9=8:12. Megszületett az aránypár! E két aránypár összehasonlítása során láthatjuk, hogy az aránypár beltagjai felcserélhetõk. De az aránypárok több meglepetést is tartogattak.

A második például a következõképpen is felírható:

vagyis a második tag a két külsõ szám számtani közepe, míg a harmadik a harmonikus közepük. Betûkkel jelölve a következõ a képlet:

az ilyen szerkezetû aránypárt az ókorban „arany” aránypárnak nevezték.

A harmonikus és számtani közép mellett az arányok tanulmányozása közben a mértani közepet is felfedezték: az úgynevezett folytonos aránypárt, ahol a két beltag (vagy kültag) megegyezik, például a:b=b:c esetében b mértani középarányosa a-nak és c-nek, azaz b2=ac. A pitagoreusok arra is rájöttek, hogy nem minden számpárnak van mértani középarányosa. Ezt úgy kell érteni, hogy nem minden két szám mértani középarányosa racionális szám – a görögök ugyanis csak a természetes számokat tekintették számnak, a törtek helyett arányokról beszéltek. Az, hogy két számnak nincs mértani közepe, a görögök számára azt jelentette, hogy ez a mértani közép nem írható fel se természetes számmal, se aránnyal. A mértani közép problémája szintén a hangközök vizsgálatából ered. Felvetõdött a kérdés, hogy miként lehet az oktávot két egyenlõ hangköz összegére bontani. Felírták a kérdést aránypárként is: 1:x=x:2 vagy más húrbeosztással 6:x=x:12. Meg kellett tehát határozni az 1 és a 2, illetve a 6 és a 12 mértani közepét. Általánosítva tehát a kn és a k(n+1) alakú számok mértani közepét keresték. A tárászi Arkhütasz (i. e. 428?-365) bebizonyította, hogy a kn:k(n+1) arányban álló számok között nincs mértani közép. Ezért õ az oktávot egy kvintre és egy kvartra osztotta. Ugyanakkor két, ilyen arányban álló szakasz mértani középarányos minden gond nélkül megszerkeszthetõ, tehát geometriai úton meghatározható. Ezért nevezték ezt középarányosmatematikának.

A kvint és a kvart összege az oktávot adja (Arkhütasz felosztása), amit megfordítva szintén oktávot kapunk. Így kommutatív mûveletekhez jutunk.

A kérdés már csak az volt, hogy hogyan tehetõ össze a kvintnek megfelelõ 2:3 és a kvartnak megfelelõ 3:4 úgy, hogy az oktávot kapjuk. A pitagoreusok rájöttek, hogy itt az arányoknak nem az összegét, hanem a szorzatukat kell venni.

Tehát kvint+kvart = oktáv összeadásának a (3:4)(2:3)=(1:2) szorzás felel meg. Ebbõl következik, hogy oktáv-kvart = kvint kivonásnak az (1:2):(3:4)=(2:3) osztás felel meg. Ezzel felállítottak két szabályt.

1. Két hangköz összegének az aránya egyenlõ két hangintervallum arányának szorzatával.

2. Két hangköz különbségének az aránya egyenlõ két hangköz arányának a (megfelelõ sorrendben vett) hányadosával.

Ezáltal a jó hallású görög akár füle segítségével ellenõrizni tudta egy-egy arány szorzatának vagy hányadosának eredményét.

A pitagoreusok következõ lépése a skála megszerkesztése volt A, C, F, G és C’ hangok rögzítése után kvintugrásokkal határozták meg a többi hangot. A hangokat a következõ rend szerint kapjuk: az alaphang C arányszáma 1, C(1)-rõl a G(3/2)-re jutnak. A G kvintje D’, amelyhez 9/8 egységnyi hosszú húr tartozik. D-bõl az A hangot kapjuk, amely a 16/27-es arányszámmal értelmezhetõ. Az A hang kvintjeként az E’ hangot kapjuk 32/81-es húrhosszal, ami egy oktávval lejjebb 81/64-et jelent. Végül a H hangot kapjuk a 234/128-as húrhosszúsággal, ami által teljessé válik a „pitagoraszi skála”.

Ilyen kvintugrásokkal viszont a skála nem fejezhetõ be, ugyanis nem érünk el a C egyik oktávjához sem.

A pitagoreusok egy másik – elhanyagolható pontatlanságot tartalmazó – hangsorban is gondolkodtak. Ez túl bonyolult lett volna a maga 14 hangjával és bonyolult hangközeivel, úgyhogy végsõ soron meg se született.

A zenetörténelem folyamán kialakult a diatonikus skála. Ennek egyszerûbb hangközei könnyen elkülöníthetõk egymástól. Ez a hangsor annyit tett, hogy volt egy fõhang, amelyet mellékhangokkal egészítettek ki. A diatonikus skálában nem lehetett tisztán lejátszani bármely hangrendben a darabot.

A hangsor kialakulása során észrevettük, hogy mennyire függött és függ össze a két tudomány.

Az aranymetszés számai a matematikában és a zenében is egyaránt elõfordulnak. Aranymetszés akkor jön létre, ha az egész (egy kicsi és egy nagyobb rész összege) úgy aránylik a nagyobb részhez, mint a nagyobb a kisebbhez. A nagyobb rész mértani középarányossá válik. Ha az egész egyenlõ eggyel, akkor a nagyobb rész egyenlõ 0,618, míg a kisebb rész 0,382 közelítõ értéket vesz fel, ugyanis az aranymetszés aránya irracionális szám (0,618034…). Bármely távolság aranymetszete az egész távolság és a 0,618 szorzása során megkapható.

Az 1200-as évek elején egy pisai tudós a számok különleges sorozatát fedezte fel. Ez a legegyszerûbb, egész számokkal kifejezhetõ aranymetszéssor:1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89… A matematika – a pisai tudós után – Fibonacci-számsornak nevezte el. A lényege:

1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13...
A sorban elõre haladva két szomszédos szám hányadosa egyre jobban megközelíti az aranymetszést, például 13/21=0,619 és 21/34=0,618 stb., illetve bármely szám négyzete azonos (1 különbséggel) az elõtte és utána álló két szám szorzatával.

Az aranymetszés számait sok tudományban és a legkülönbözõbb mûvészetekben fedezhetjük fel. Nézzünk néhány példát.

Matematika: Kepler-háromszög: ha a derékszögû háromszög magasságát behúzzuk, az átfogó a már ismert arányban oszlik fel, és derékszögû háromszögek keletkeznek, amivel a sor folytatható: így lényegében az átfogó mértani közepét kapjuk meg, amelyet már a pitagoreusoknál is megemlítettünk.

Míg a kör ívére a sugarat hatszor, addig a sugár aranymetszését pontosan tízszer lehet rámérni.

Biológia: a Nautilus egy tengeri csigafaj, melynek csodálatosan szabályos héja van. Bárhogyan is húzunk vonalat a középponton áthaladva, mindegyik metszés- (AC:DB=FG:EG) arány aranymetszés.

A fenyõtoboz korongján a spirálvonalak olyan rendszere fut a középponttól jobbra és balra, amelyben a csigavonalak száma mindig a Fibonacci-sor értékeit veszi fel: 3; 5; 8; 13; 21… Más tobozfajtákban ez 5; 8; 13; 21; 34… stb.

Végül egy utolsó példa a biológia területérõl: az emberi test aranyközéppontja a köldök, a felsõtesté a gégefõ, és az arcé a szemöldökvonal.

Mûvészetek: talán a legjelentõsebbek az építészet csodái.

Az ókori Egyiptomban a piramisok mindegyikében éppen az aranyszög (vagyis „a szinusz és a kotangensgörbék találkozási pontja” 51o49´38”) az oldallapok dõlésszöge az alaphoz képest.

A következõ állomás az ókori Görögország: az atheni Pantheon több szempontból is érdekes: a statikáját az adja, hogy két négyzet rajzolható bele, míg a dinamikája az aranymetszésbõl ered (A, B, C, D… H pontok).

Az építõmûvészet egyik legnagyobb remeke a Szent Péter Bazilika, ahol több helyen felfedezhetõk érdekes arányok. Itt csak egyet emelek ki, a csúcsán lévõ keresztet. Itt Michelangelo a görög stílust követte, miszerint „a Föld (a négyzet) egyensúlyban van az Éggel (a kör)”, tehát kerületük egyenlõ. Így a háromszög szöge egyenlõ az aranyszöggel (51o49´38”).

Ebbõl származik a jellegzetes szerkezeti háló, amely meghatározza a mûalkotás felépítését. Az alapháló három köre aranymetszés-viszonyban van egymással.

Az irodalomból is egy példa: Dante Isteni színjátéka, amelynek 100 énekébõl a 62.-ben (amely a 100-nak aranymetszete) válik el Dante Vergiliustól, és itt csatlakozik hozzá Beatrice, hogy a Paradicsomon végigkísérje.

Végül a számomra legfontosabbak, a zene arányosságai: a zenetörténeti korszakok során többször is érvényesültek a szerkesztés rendjében.

Elsõként Ockeghem (flamand születésû zeneszerzõ kb. 1420–1495 között) alkalmazta tudatosan. A késõbbi idõk legjelentõsebb zeneszerzõi: Bartók Béla és Kodály Zoltán, akik alkalmazták az aranymetszés kínálta lehetõségeket. LendvaiErnõ több mûvükben is felfedezte a 0,618 és 0,328 aránypár szerinti szerkezeti felosztást.

Vegyünk néhány példát: Kodály Psalmus Hungaricusa 395 ütembõl áll, a 245. vagyis a 395x0,618-adik taktus kezdetével esik egybe a mû eszmei mondanivalójának kimondása: „Istenben vessed bizalmadat.”

Ugyanígy fedezhetõ fel Bartók kétzongorás-ütõhangszeres szonátájának a reprízbelépés pontján, hogy az ütemfelosztás aranymetszés: tehát a 443-ütemes mû 274. ütemében történik.

Mûveik közül még sok darabban van az aranymetszés szerinti ütemfelosztásnak jelentõsége (fordulópontként, tetõpontként). Néhány ilyen darab: Mese a kis légyrõl; Tört hangzatok; Háry János.

A pitagoreusok filozófiája az aranymetszés „értelmezésével” teljesedett ki. Azt mondták, hogy az õket körülölelõ világban ugyanúgy, mint bennünk, valamint a zenében is megtalálható a számok harmóniája, tehát ha tanulmányozzuk a zenében rejlõ harmóniát, akkor az élet dolgainak megértése is könnyebbé válik.

A tudományok és a mûvészetek eme esetenként csodálatra méltó, érdekes kapcsolata az, ami pályázatom megírására késztetett.
 

Irodalom

Darvas Gábor: A zene anatómiája. Zenemûkiadó, Bp. 1974.
Darvas Gábor: Zenei zseblexikon. Zenemûkiadó, Bp. 1974.
Lendvai Ernõ: Kodály és Bartók harmóniavilága. Zenemûkiadó, 1975.
Sain Márton: Nincs királyi út! Gondolat, Bp. 1986.
Taróczy Tamás: Zenei akusztika. Zenemûkiadó, Bp. 1982.
 

Az írás szerzõje diákpályázatunkon a Simonyi Károly által kiírt
Kultúra egysége kategóriában II. díjat kapott.
Természet Világa, 132. évfolyam, 10. szám, 2001. október
https://www.chemonet.hu/TermVil/
https://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/

Vissza a tartalomjegyzékhez