A folytonos közelítés mestere

A folytonos közelítés mestere
Beszélgetés TOTIK VILMOS akadémikussal

Totik Vilmos (1954) a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének matematikusa, a Halmazelméleti és Matematikai Logikai Tanszék vezetõje, a University of South Florida professzora. A Magyar Tudományos Akadémiának 1993-tól levelezõ, 2001-tõl rendes tagja. Az analízis, közelebbrõl az approximációelmélet nemzetközi hírû kutatója. Fél tucatnál több témában ért el kiemelkedõ eredményeket, olyanokat, amelyek új kutatási irányokat nyitottak. Hazánkban jelenleg õ a legtöbb és legszebb eredményeket elérõ analízis-szakmeber. (Négy monográfiát írt, kb. 130 dolgozatot publikált, hivatkozásainak száma meghaladja az 1300-at.)
Halk szavú, kissé zárkózott, bizalmat keltõ ember. Szellemi és fizikai ereje szerencsés párost alkot.

– Kérlek, mondj három olyan feladatot, mely tizenéves, huszonéves korodban, majd a harmincas éveidben hagyott mély nyomot benned.
– Tizenhét éves lehettem, amikor megfogtak a Középiskolai Matematikai Lapok szép feladatai. Sokat közülük neves matematikusaink tûztek ki. A nyári szünidõre úgynevezett pontversenyen kívüli, fogósabb problémákat adtak. Ezek megoldására több idõt szántak. Emlékszem az egyikre, melyben az y = x² + 1 parabola és bizonyos érintõi játszották a fõszerepet. Rengeteget dolgoztam a feladattal, majd bajlódásaim eredményét beküldtem a lapnak. A KöMaL, amikor megadja egy-egy probléma megoldását, alatta azt is közli, hogy hány dolgozat érkezett a kitûzött feladatra, név szerint említve azokat, akiké jó volt. Amikor késõbb közreadták ennek a feladatnak a helyes megoldását, alatta csak két rövid mondat szerepelt. Nevesítés nélkül is tudtam, hogy rólam szólnak: „Érkezett 1 dolgozat. Nem oldotta meg, más problémára siklott át.”
– Szinte biztos, hogy Bakos Tibi bácsi írta, aki akkor a KöMaL felelõs szerkesztõje volt. Õt jellemezte ez a finom, bántó szavakat gondosan kerülõ nyelvi megformálás.
– Lehet, hogy igazad van, az azonban biztos, hogy nem ennek a feladatnak a hatására lettem matematikus. Sokkal inkább megragadott a következõ: „Egy síkon egymást keresztezõ egyenes utak mentén egy-egy autó halad egyenletes sebességgel. Igazoljuk, hogy ha van két autó, amelyek minden más autóval találkoznak a megfelelõ útkeresztezõdésekben, akkor bármely autó bármely másikkal is találkozik.”
Ezt a feladatot megoldhatjuk koordinátageometriával, párhuzamos szelõk tételével, s talán még több más módon is. Van azonban egy megoldás, mely rádöbbentett arra, hogy a matematika gyönyörû lehet. S ha ilyen vonzó, akkor érdemes ezt választanom.
– Hallhatnám a megoldást?
– Elmondom, bár van egy kis hibája: sajnos nem én találtam ki. Ennek a bizonyításnak a lelke az, hogy feladatunkat a síkból a térbe emeljük. Adott pillanatban minden autó fölött indítsunk útjára egy-egy madarat. Ezek a madarak emelkedjenek ugyanazzal a sebességgel úgy, hogy közben mindig a saját autójuk fölött maradjanak. Akkor, ugye, a madarak egy-egy egyenes mentén mozognak. Ezek az egyenesek már a térben vannak. Két autó találkozása azt jelenti, hogy a fölöttük repülõ madarak találkoznak, ami azzal egyenértékû, hogy a madarak egyenesei metszik egymást. Ugyanis minden madár minden pillanatban ugyanolyan magasan van az autók síkja fölött. Amikor a két kitüntetett autónk találkozik egy harmadikkal, akkor az õ madaraik egyenesei metszik az új autó madarának egyenesét, ami emiatt az elõzõ két „madáregyenes” által kifeszített S síkban van. A madarak egyenesei tehát mind az S síkban vannak, s mivel nincs közöttük párhuzamos egyenes – az autók síkjára esõ vetületeik ugyanis éppen az utak, és ezek metszik egymást –, ezért a madarak egyenesei páronként metszik egymást. Ezzel bizonyítottuk a feladat állítását.
– „Szárnyaló” gondolatmenet!
– Amibõl még az is látszik, hogy a madarak minden idõpillanatban egy egyenesen helyezkednek el, amit az S sík és egy-egy, az autók síkjával párhuzamos sík metszésvonala határoz meg. Az autókra vetítve ez ugyanazt jelenti, vagyis azok is minden idõpontban egy egyenes mentén vannak.
– A matematika tehát korán megfogott.
– Igen, de a természet is. Egy kis faluban, Magyarkimlén születtem. Tizenéves koromban Ásványráróra költöztünk. Mindkét falu kb. félúton van Gyõr és Mosonmagyaróvár között.

Tél a Szigetközben Ásványráró melletti mellékág közepes dunai vízállásnál (Alexay Zoltán felvételei)

– Ásványráró a Szigetközben található, varázslatos tájban. „Folyópartok, fákkal, füzesekkel kísért utak, csendes tocsogók, haragos szavú forgók, méltóságosan hömpölygõ Öreg-Duna, csúfondárosan hancúrozó ágvizek...” – írják róla, s való igaz, elsõ látásra elbûvöli az embert. Így már szinte csoda, hogy matematikus lettél.
– Kevésen múlott. Nagyapám halász volt, rengeteg idõt töltöttem a vízen, ismertem a régi Duna-mederben rejtõzõ szigetvilág minden rejtett zugát. Diákként nyaranta a helyi téeszben dolgoztam, vagy az erdészetben. Az erdészetnek a szigeteken kellett munkát végeznünk. Amikor kijártam az általános iskolát, két helyre adtam be továbbtanulási kérelmet: Gyõrbe, a Révai Gimnázium matematika–fizika tagozatára és Sopronba, a postaforgalmi szakközépiskolába. Falumban nem sok jóval kecsegtettek Gyõrrel kapcsolatban. Azt mondták, szebb jövõm lesz, ha Sopronba megyek és jó postás leszek.
– Hála istennek felvettek a Révaiba.
– Igen, mert közben az egyik falumbeli fiúval, Józsa Andrással megnyertük a házi matematikaversenyt, majd a járásit is. Ez akkoriban meglehetõsen nagy dolognak számított egy falusi iskolában. A megyei versenyen azután már mindketten elvéreztünk, de ez is elég volt ahhoz, hogy fölvegyenek a Révaiba. 1968 nyara volt, repültek fölöttünk a helikopterek, Csehszlovákiába tartottak, nemigen értettük, miért...
– Ki volt a gimnáziumi matematikatanárod?
– Szabó Rudolfné, rendkívül jó képességû tanár, akitõl nagyon sokat tanultam. Szegeden végzett és mindenben megfelelt annak a követelménynek, hogy egy emelt szintû matematika–fizika szakos osztályt irányítson. Megmondom õszintén, bár mat.–fiz. tagozatos osztályba jártam, kezdetben jobban érdekelt a futballozás, meg minden más...
– Nekem a focit említeni bocsánatos „bûn”. Sõt örülök is neki, hiszen végre idézhetem a kedvelt mondatokat Esterházy Pétertõl. Így szólt a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok századik születésnapján: „A számomra fontos, eddig fontosnak bizonyult terrénumokat, a futballt, irodalmat, matematikát ez köti össze, a játék, én legalábbis így fogom föl... Egy-egy játék az egy-egy megismerési mód. Mást tudok meg egy Fradi–MTK meccs esetében, s mást a Banach-terek vizsgálatakor. De a matematika nem valami távoli érthetetlenség, amelyhez külön ész kéne, ugyanavval az (egy szál) eszünkkel közelítünk a regényhez, mint õhozzá. A matematika is a létezésünkrõl, annak gazdaságáról ad hírt. Mindig ugyanarról beszélünk, hol Flaubert, hol Bolyai, hol Pilinszky, hol Gödel hangját halljuk.”
– Falusi gyerekként én bizony elõször a labda hangjára figyeltem. A futball volt az életem. Amikor Ásványrárón a pálya felé bicikliztem és meghallottam a labda puffanásait, zakatolni kezdett a szívem, beletapostam a pedálba. Harmadik gimnazista lehettem, amikor a matematikával igazán egymásra találtunk. Akkor nyáron naponta reggel négytõl este tízig dolgoztam. A téesz öntözõrendszerét felügyeltük, minden hatodik órában áttelepítettük a csöveket. Közte nagyon sok szabadidõnk volt. Unalmamban kiolvastam a falu kis könyvtárának minden könyvét, ugyanezért vettem kézbe a Középiskolai Matematikai Lapokat. Azokról a feladatokról, amiket addig csak ímmel-ámmal oldogattam, kiderült, hogy mennyire kedvemre valók. Örömöt okozott a megoldásuk, ráéreztem szépségükre. Lelkes híve lettem a matematikának. Negyedikben már nagyon keményen nekigyürkõztem, sokat dolgoztam, rengeteget tanultam, az országos középiskolai tanulmányi versenyen elég szépen szerepeltem.
– A Szegedi József Attila Tudományegyetemen tanultál tovább. Az Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest nem volt közelebb?
– Két hatás ért, ami Szegedre terelt. Varga Antal, aki azóta is a Bolyai Intézet oktatója, mint minden évben, 1972-ben is végigjárta a nyugati határszélt, és a középiskolákban a szegedi egyetemre toborzott diákokat. Gyõrbe, a Révai Gimnáziumba is eljutott, én pedig elmentem az ismertetõ elõadására, ahol nagyon sok szépet hallottam Szegedrõl. Ez önmagában még nem lett volna elég, hiszen akkor már elhatároztam, hogy az ELTE-re megyek.
– Akkor pedig mi döntött Szeged mellett?
– Mérges lettem. Éppen akkor vesztem össze jövendõbeli feleségemmel, Veronikával, akibe már általános iskolás koromtól szerelmes voltam. Õk is Ásványrárón laktak, ugyanabban az utcában, éppen velünk szemben. Õ Pestre ment a fõiskolára, én pedig csak azért is a szegedi egyetemre adtam be a jelentkezésemet. Egy hét múlva kibékültünk, így aztán három évig ingáztam Szeged és Budapest között. Nem bántam meg, kapcsolatunk élve maradt, én pedig a szabadidõmet igyekeztem jól kihasználni: tanulásra, matematikára, futballra fordítottam.
– Milyen hatással volt rád Szeged, a József Attila Tudományegyetem légköre?
– Szeged emberléptékû város, itt könnyebb megkapaszkodni, mint a világváros Budapesten. Emlékszem, engem már Gyõr is nyomasztott. Szegeden bekerültem a kollégiumba, késõbb a Bolyai Intézet tagja lehettem. A város, az intézet kellemes légköre, egymást tisztelõ baráti viszonyai mind-mind munkára sarkalló tényezõk. Ma is rendszeresen háromtusázunk a diákjainkkal, a 8-8 fõs csapatok pingpongban, sakkban és futballban mérik össze erejüket. Itt elképzelhetetlen az, ami a nyolcvanas években a pesti légkört megmérgezte.
– Szeged a matematika erõs vára, neves professzorok taníthattak az egyetemen. Kik hatottak rád leginkább?
– Leindler László hatása meghatározó volt abban, hogy az analízist választottam fõ kutatási területemnek. Speciális kollégiumán õ adott nekem elõször komolyabb problémákat. Rajta kívül Tandori Károly és Szõkefalvi-Nagy Béla fordította az analízis felé érdeklõdésemet. Az analízis mellett Szegeden az algebrai kutatások is nagyon színvonalasak. Rédei Lászlótól Csákány Béla örökölte az algebrát és kinevelt egy nagyon erõs csapatot, Szendrei Ágnest, Szendrei Máriát, Szabó Lászlót, Czédli Gábort és másokat. Õk már velem együtt nõttek fel.
– Soha nem gondoltál arra, hogy a hangsúlyt az analízisrõl áthelyezd a matematika más területére?
– Bizony, nagy kísértés volt, amikor Lovász László a hetvenes évek végén a szegedi egyetemre jött. Diákként látogattam a speciális kollégiumait, végigcsináltam késõbbi feladatgyûjteményének fejezeteit. Nagy iskola volt, sokat tanultam belõle. Azonban hozzám mégis közelebb áll az analitikus gondolkodásmód. Budapesten szinte minden tehetséges fiatal matematikus kombinatorikával, diszkrét matematikával kezdett foglalkozni. Ez a magyar matematika igazi sikerága lett. Engem azonban a divatos témák nem nagyon vonzanak. A saját területemen is idõrõl idõre elõjönnek slágertémák, amikre sokan rámozdulnak, új területek, ahol csoportok sokasága ügyködik. Szorgoskodnak egy ideig, esetleg alaptételeket adnak és bizonyítanak, majd mennek tovább, újabb szûzföldekre. Otthagyva a nehéznek bizonyuló, esetleg csak évek munkájával megoldható problémákat.
– A mai világban ez bizony hasznot hajtó stratégia. Így gyorsabban nõ a hivatkozásaik száma, hamarabb jutnak elõre a ranglétrán, s õk kapják a díjakat...
– Lehet, de az efféle szemlélet tõlem mindig nagyon távol állt, elriasztott.
– Nekem egyszer az egyik neves kutatót úgy jellemezték, hogy mindig lázasan keresi az érintetlen almáskerteket. Amikor oda beszabadul, végigrohan és alulról lekapkodja az almákat. Amik nyújtózkodás nélkül leszedhetõk. Meglehet, fönn, a fa ágain szebbek a gyümölcsök, mégsem indul értük, mert az sokáig tartana, s megvan a kockázata, hogy föl sem érné. Minek is, ha az alsó ágakról a többszöröséhez juthatunk. Aztán gyorsan tovább, más kertekbe!
– Jó a hasonlat.
– Akkor most jöhetne a szép „huszonéves” feladat.
– Az az idõszak számomra a Schweitzer-versenyek korát jelentette. Az alábbi is egy Schweitzer-feladatnak lett kitûzve, bár nem az én idõmben. Adott egy kétváltozós, korlátos, folytonos függvény a síkon, és tudjuk, hogy bármilyen egységsugarú kör kerületén mért átlaga a középpontban felvett értékkel egyezik. Az az állítás, hogy csak konstans függvény lehet ilyen tulajdonságú. Ez általánosítása annak, amikor olyan függvényt veszünk a síkon, melyre igaz az, hogy bármely körön vett integrálátlaga a kör középpontjában felvett függvényértéket adja. Az ilyen tulajdonsággal bíró függvények az úgynevezett harmonikus függvények, melyek a matematikán kívül fontos szerepet játszanak a fizikában és több más alkalmazási területen. Az pedig jól ismert, hogy a korlátos harmonikus függvény konstans. Az eredeti feladatban az a különleges, hogy csak az egységsugarú körre vonatkozik a feltétel. Ez egyébként egy szép diszkrét feladat folytonos megfelelõje. A sík rácspontjaiba 0 és 1 közötti számokat írunk úgy, hogy minden szám a négy szomszédos rácspontban lévõ szám számtani közepe legyen. Azt állítjuk, hogy ekkor minden szám egyenlõ. Látható, hogy itt a négy szomszédos rácspont felel meg az egységkörnek, a bennük lévõ számok átlaga az integrálátlagnak. Jópofa feladat, ami sok mindennel összefügg. Írtam is errõl egy cikket a szegedi Polygon folyóirat 1992. évi májusi számában, Középérték-tulajdonságú függvények címmel.
– A harmadik évtizeded kedvenc feladatát is elmondod?
– Arról és a köré építhetõ problémakörrõl a közelmúltban cikket írtam a Mathematical Monthlyba. Hadd dicsekedjem el vele, az írás tavaly Ford-díjat kapott.
– A Monthlyban magas színvonalú ismeretterjesztõ cikkek jelennek meg. A Ford-díj ezek közül a legjobbakat ismeri el?
– Így van. Apró díj, én mégis nagyon büszke voltam rá. A cikkben a kérdéskör összefüggésrendszerére is rámutattam.
– Hogyan szól az alaphang?
– A kiinduló feladat nagyon szép. Így hangzik: Adott két függvény [0,1]-en. Mindkét függvény integrálható, mindkettõnek 1 az integrálja. Akkor van egy közös intervallum, amelyiken mindkettõnek ½ az integrálja. A probléma megoldásához sokféleképpen állhatunk neki: a topológia irányából, kombinatorikusan, elemien... Egyébként kitûztem Schweitzer-feladatnak, amire Csörnyei Marianna adott egy gyönyörû tizenkét oldalas elemi bizonyítást. Tulajdonképpen magam is elõször elemien oldottam meg a feladatot, csakhogy az én megoldásom kínkeserves úton haladt. Mariannáé pedig olyan, mint egy szép novella, amit gyönyörûség végigolvasni.
Ennek a feladatnak is számos kapcsolódási pontja van, például a Borshuk-tétellel, a létravivési feladattal – két ember egy görbén haladva elvihet-e létrát –, a hegymászó feladattal: két ember felmászhat-e egy hegyre annak szemközti oldalain úgy, hogy mindig ugyanolyan magasan legyenek? Azután a nyaklánc-problémával is összefüggésben van. Egy nyakláncon, amit kétféle drágakõ alkot – mondjuk 20-20 fekete és fehér gyöngybõl áll, a legkülönfélébb elrendezésben –, hogyan osztozhat meg fele-fele arányban két rabló. Az állítás: minden ilyen nyaklánc két vágással két olyan részre osztható, melyeken ugyanannyi fehér és fekete gyöngy van.
– Szó esett a Schweitzer-versenyrõl. Az egyetemisták számára kiírt vetélkedõ az összes létezõ matematikai feladatmegoldó verseny közül a legnehezebb. Totik Vilmos 1976-ban második lett a Schweitzer-versenyen, 1978-ban és 1979-ben pedig elsõ. Ez fantasztikus teljesítmény. Az elõzmények nem erre utaltak, hiszen hiába kerestelek a Középiskolai Matematikai Lapok legjobb feladatmegoldói, vagy a nemzetközi matematikai diákolimpia magyar csapattagjai között. Mitõl lettél néhány éven belül ennyire jó?
– Említettem már, hogy negyedik gimnazista koromban kapcsoltam rá igazán. Azután az egyetem elõtti egy év katonaság is rengeteget segített, erõs intellektuális ösztönzést adott.
– Ne mondd! Ezt tõled hallom elõször.
– Arra gondolok, hogy ott kiéheztettek a szellemi munkára. Hódmezõvásárhelyen Füredi Zoltánnal, Tuza Zsolttal és még több más nagyon okos fiúval katonáskodtam együtt. Értelmes dolgokkal múlattuk az idõt, rengeteget olvastunk, nyelvet tanultunk. Emlékszem, a lövészárokban fekve német szavakat kérdezgettünk egymástól. Nem csoda hát, hogy amikor beszabadultam a szegedi egyetemre, és semmi más dolgom nem volt, csak a tanulás, olyan területen, amit szerettem, igyekeztem a tudásszomjamat oltani. Kollégista lévén a rengeteg szabadidõmet megpróbáltam jól kihasználni. Rájöttem, szükségem van az angolra, elkezdtem rendszeresen tanulni. Fél év múlva már könyveket olvastam angolul, persze matematikát, azt könnyû.
– Kérlek, beszélj kicsit a Schweitzer-versenyrõl.
– Ez a feladatmegoldó verseny tényleg különleges, egyedülálló a világon. Nincsenek korcsoportok, a versenyzõk hazavihetik a feladatokat. Tíz napra tíz-tizenkét feladatot tûznek ki a rendezõk. Megoldásukhoz minden segédeszköz felhasználható. Egyedül az nem megengedett, hogy a hallgatók másokkal konzultáljanak. Olyan tiszta a verseny, olyan jó a versenyszellem, hogy ez eszébe sem jut senkinek, az pedig még kevésbé, hogy a tanárjához forduljon segítségért.
– A kitûzött feladatok, gondolom, a matematika más-más területérõl származnak.
– Igen. Mindig van analízis, kombinatorika, algebra és geometria feladat. Általában kitûznek valószínûség-számítási és halmazelméleti feladatot. Annak idején volt logika is, ami korábban ritkaságszámba ment. Azért akadnak olyan feladatok, amelyek a matematika legkülönbözõbb területérõl származnak.
– Fogalmazhatunk úgy, hogy a Schweitzer-verseny feladatai majdhogynem kutatói szintû problémák?
– Közülük két-három mindenképpen ilyen. A tíz feladat közül azért van három-négy olyan, ami viszonylag könnyebben megfogható, valamilyen nem triviális trükkel, ötlettel megoldható. A két-három súlyos probléma megoldásához soklépéses út vezet, megfelelõ segédtételeket kell hozzájuk találni, azokat is bizonyítani. A versenyzõk végsõ sorrendjét többnyire ezek döntik el. A jobb, rutinosabb megoldók az elsõ két napon túljutnak a könnyebb feladatokon, újabb két-három nap alatt átvergõdnek a közepeseken, azután öt-hat napon át egy-két feladattal birkóznak. Ha azokat megcsinálják, nyernek.
– Azon a tíz napon számodra megszûnhetett a világ.
– A többiek számára is. Ezért a rendezõk igyekeznek szünethez igazítani a Schweitzer-versenyt, amikor nincsenek elõadások az egyetemen. A tíz nap végére iszonyúan elfárad az ember. Nehéz egyhuzamban ennyi ideig intenzíven gondolkozni, ezért a nagy stresszt oldandó ilyenkor is eljártam focizni.
– Nyilván van több olyan feladat, amikhez az elején hozzá se tudsz szólni, hiszen nem hallgattál még elõadásokat az egyetemen errõl a területrõl. Akkor kézbe veszel egy monográfiát, esetleg többet, és két nap alatt igyekszel elsajátítani egy kurzusnyi tudásanyagot?
– Körülbelül így van. Kikeresed a róla szóló könyvet és elkezded olvasni. Igazság szerint így könnyebb matematikát tanulni; amikor az ember a problémához keresi a megoldásához szükséges tudásanyagot, eszközrendszert. Ha csak úgy elolvasunk egy könyvet, nehéz megítélni egy-egy tétel jelentõségét. A fontos tétel sokszor elvész a kevésbé lényeges mellett. Amikor egy konkrét feladat vezeti a tekinteted, a gondolkodásod, könnyebb megérteni a lényeget, hamarabb rálelsz az alaptételekre. Emlékszem, volt egy Schweitzer-feladat, mely a komplex számok hatványösszegeirõl szólt. Bementem a könyvtárba, megkerestem azt a könyvet, melyet Turán Pál a hatványösszeg módszerérõl és annak egyes alkalmazásairól írt. Nekiültem, olvasni kezdtem, végül megoldottam a problémát. A Schweitzer-versenyek nagyon nemesek, hangulatuk semmi máshoz nem hasonlítható.
– Azt mondják, a Schweitzer-versenyen elért jó eredmény megalapozhatja a matematikus jövõjét.
– A jó versenyeredmények még nem jelentik azt, hogy biztosan jó matematikus leszel. Persze, van rá példa, de ellenpélda is.
– Ma is különös figyelmet fordítasz a Schweitzer-versenyekre. Mondják, évrõl évre négy-öt feladatot adsz kitûzésre a versenybizottságnak. Miért olyan fontos ez neked?
– A feladatszámban van némi túlzás. Amikor mi rendezzük a versenyt, akkor van négy-öt javaslatom. A matematikaversenyek nagyon fontosak. Matematikaoktatásunk színvonalát emelik, tehetségeink kiválasztását segítik. Döntõ szerepe van ebben a világon egyedülálló Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapoknak és nagy hagyományú matematika versenyeinknek. Az oroszokat kivéve sehol másutt nem fordítanak ekkora figyelmet a versenyekre.
– Szakmai életrajzodban olvasni, hogy fõ kutatási területed az analízis, ezen belül a harmonikus analízis, az approximációelmélet, az ortogonális sorok elmélete és a potenciálelmélet. Szegeden ugyanakkor a halmazelmélet és matematikai logika tanszék vezetõje vagy. Pályaelhagyás ez, vagy kényszerûség?
– A status quo elfogadása. A Bolyai Intézet öt tanszéket foglal magába, a geometriát, az algebrát, az analízist, az analízis alkalmazásait, ami a valószínûség-számításnak felel meg, és a halmazelméletet. A halmazelmélet tanszéket Fodor Gézának hozták létre. Fodor halála után a halmazelmélet és a logika gazdátlan maradt Szegeden. Hajlandó voltam e tárgyakat tanítani, így lettem a tanszék vezetõje. Magyarország egyetlen ilyen tanszékének. Ez azért poén! Hiszen vannak egészen kiváló, rendkívüli matematikusaink, akiknek a halmazelmélet a fõ kutatási területük. Elég csak Hajnal Andrást, Juhász Istvánt és Komjáth Pétert említenem.
– Hajnal András már jó ideje Amerikában dolgozik, Komjáth Péter pedig az Eötvös Loránd Tudományegyetem számítógép-tudományi tanszékének vezetõje. Amit Lovász Lászlótól örökölt...
– Így van. Nézd, az egyetemi struktúra tanszékekre épül, azok felelnek egy-egy tudományterület oktatásáért. Ezeknek tehát formálisan a mi intézetünkön belül is meg kell lenniük. Sohasem kedveltem a mereven értelmezett, falakkal körülbástyázott tanszéki szerkezetet. Nálunk ez nincs is így. Mi bizony többszörösen „áttanítunk” egymás területeire. A halmazelmélet különösen jó terep ehhez, mivel a matematika szinte minden részével összekapcsolódik: analízissel, kombinatorikával, geometriával és sereg más területtel.
– A szegedi Polygon kiadónál megjelent halmazelméleti feladatgyûjteményed is ezt példázza.
– Nagyon szeretem a halmazelméleti feladatokat, ezért az elõadásaimhoz kapcsolódó gyakorlatokat is mindig én tartom. Komjáth Péterrel most írunk egy angol nyelvû halmazelméleti feladatgyûjteményt.
– Mindez azt mutatja, hogy nem veszítetted el az érdeklõdésedet a matematika szûkebb szakterületeden kívül esõ ágai iránt sem. Mondják is rólad, hogy azon kevesek egyike vagy, akiket a matematika egésze izgat. Látókörömben rajtad kívül még Laczkovich Miklós ilyen.
– Odafigyelek persze más területekre, így is csak a nagy egész töredékét láthatom. Képtelenség annyi mindent elolvasni. A halmazelmélet legújabb eredményeit például Komjáth Pétertõl gyûjtöm be, õ mondja el nekem.
– Péter pedig többek között Saharon Shelahtól, tehát jól ismerheted a mindenkori halmazelméleti toplistát. Ami szintúgy nagyon érdekel.
– Igen, mert mindegy, hogy honnan jön a probléma, ha az érdekes. Laczkovich is nagyon szereti a feladatok által teremtett kihívásokat. Hagyománya van problémamegoldó szakköreinek.
– Akadémiánk rendes tagjának többek között e mondatokkal ajánlottak. „Az 1993 óta eltelt idõszakban elért számos eredményébõl az alábbi nagyobb témakörök emelendõk ki, amelyekben sikerült új irányokat nyitnia, illetve új módszerrel áttörést elérnie megoldatlan problémákkal kapcsolatban: a Bernstein-polinomokkal történõ approximáció teljes leírása, polinomegyenlõtlenségek duplázó súlyokkal, változó súllyal vett polinom approximáció, polinomegyenlõtlenségek általános halmazokon. Fellebbentenéd valamelyikrõl a fátylat, ami – elõlem legalábbis – eltakarja a kérdéskört?
– Elsõként a Bernstein-polinomokat említetted. Beszéljünk errõl. Weierstrass annak idején igazolta, hogy adott véges intervallumon folytonos függvény approximálható, vagyis tetszõlegesen megközelíthetõ polinomokkal. Tehát akárhogyan is adunk meg a függvény görbéje körül egy sávot, mindig találhatunk olyan polinomot, amelynek a görbéje ebben a sávban halad. Ez az approximáció alaptétele, de a fenti polinomoknak csak létezését állítja, azt nem mondja meg, hogyan lehet õket megtalálni. Bernstein ezután 1912-ben fölírta a róla elnevezett polinomokat. Legyen f egy folytonos függvény a [0,1] intervallumon, és n egy természetes szám. Akkor az f függvény n-edik Bernstein-polinomja a következõ:

B_n(f,x) = Sf(k/n)(ⁿ_k)x^k(1–x)^n–k.

Megmutatta, hogy ez a polinomsorozat konvergál a függvényhez. Ezen túl nagyon hasznos az alakmegõrzési tulajdonsága. Ha a függvény konvex, akkor a Bernstein-polinoma is konvex lesz. D. J. Newman szokta mondani, hogy amikor például egy autótetõt tervezünk, az azt leíró függvény nagyon bonyolult lehet. A függvényt közelítõ approximációs polinom pedig rendkívül sokat oszcillálhat körülötte, a tervezõmérnök számára kezelhetetlen módon. Szükség van tehát olyan approximációra, mely megtartja az alakot is, a Bernstein-polinomok pedig rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Így azután a matematika számos területén rendkívül fontosak, a valószínûség-számításban, a geometriában, a számítógépekben is gyakran használt Bezier-görbék például ezekre épülnek stb.
Adott a kérdés: mennyire közel lesz a függvényhez az n-edik Bernstein-polinomja? Az approximáció feladata, hogy a függvény tulajdonságaiból leírja, mennyire közelítheti meg õt az adott polinom. A huszadik század eleje óta ennek elméletét elég jól kidolgozták. Minél simább egy függvény, hozzá annál közelebb kerülõ approximációs polinomot találhatunk. A teljes leírás azonban 1993-ig váratott magára. Akkor sikerült azt megadni, hogy a Bernstein-polinom milyen rendben közelíti a függvényt. Ennek kifejezése a függvény egy újfajta simasági modulusával kapcsolatos.
– Ami pedig Totik Vilmos nevéhez fûzõdik.
– Igen. Z. Ditzian kanadai matematikussal már korábban írtam egy könyvet a simasági modulusokról. Ez a monográfia 1987-ben jelent meg a Springer Kiadónál, Moduli of Smoothness címmel. Az általunk adott simasági modulussal egész sereg problémát sikerült megoldanunk. A simaság azt jelenti, hogy a független változó kis mozgatására mennyire változik, amennyire oszcillál a függvény. A klasszikus módszer tökéletesen mûködik periodikus esetben, ahol nincs különbség pont és pont között, minden eltolásinvariáns. A véges intervallumoknál világos, hogy az intervallum középpontja és végpontja nem ugyanazt a szerepet játssza. Ilyenkor az eltolás kivezethet az intervallumból. A probléma megoldása az eltolás fogalmának módosításában rejlett: változtatni kellett az eltolás nagyságát attól függõen, hogy milyen messze vagyunk a végponttól.
– Mikor és hogyan jött ez a gondolat?
– A Bernstein-polinommal való közelítésre korábban csak becsléseket, adtunk meg, alsó és felsõ becsléseket, melyekben bizonyos átlagok szerepeltek. Késõbb Ditzian és Ivanov úgy javította, hogy csak két tagra volt szükségük. Éppen Amerikában voltam 1992-ben, amikor felhívott Ditzian. Azt sejti – mondta –, hogy nincs is szükség a második tagra, a közelítés nagyságrendje egyszerûen ezzel az egy taggal, a simasági modulussal azonos nagyságrendû. A kettõ tehát ugyanaz, mindössze egy konstansban térhetnek el egymástól. Ez nem igaz, mondtam a telefonba, és azonnal diktálni kezdtem neki egy ellenpéldát. Az ellenpélda azonban nem mûködött. Karácsony elõtti napok voltak, az ilyen feladatok nem hagyják nyugodni az embert. Jó három hónapig dolgoztam, amíg végre sikerült bebizonyítanom Ditzian sejtésének igazát. Ezzel a Bernstein-polinomokkal történõ approximáció kérdésköre bizonyos értelemben lezárult.
– Milyen ötlet kellett a megoldáshoz?
– Érdekes, hogy egy teljesen elemi módszer adott hozzá kulcsot. Két szerb matematikus, Bajshanszki és Bojanics 1963-ban nagyon szép és szellemes bizonyítást adtak egy Lorentz-tételre. Parabolamódszerük olyan hatásos trükk volt, mellyel egyszerûvé és röviddé tették Lorentz bizonyításának bonyolult, kacskaringós útját. Rájöttem, nekem is ezt a parabolatechnikát kell használnom. Így jutottam célba elemi úton, megoldásom hátránya viszont az, hogy csak szuprémum normában mûködik, tehát például integrál normában, ami hasonló típusú operátoroknál egy másik kérdés, már nem. Azóta már találtak más módszert is, mellyel ugyanezt be lehet bizonyítani.
– Megvallom, kezdek leszakadni, ne menjünk ebben tovább. Amit elmondtál, számomra azt is bizonyítja, nem elég egy matematikusnak okosnak lennie, mások kisebb-nagyobb ötleteinek sorát is el kell raktároznia agyában. Az „isteni szikra” kipattanását ez nagyban elõsegítheti.
– Nagyon sok okos ember járt elõttünk, nem kell mindent nekünk kitalálnunk. Ezért haragszom egyik tehetséges tanítványomra, aki keveset olvas, és mindent maga akar kitalálni. Meglehet, ha ezer évig élnénk, rálelnénk sok olyan eredményre, amelyek már a matematikai tudásunk, kultúránk részeivé váltak. De még száz évig sem élünk, és az sem valószínû, hogy olyan okosak vagyunk, mint nagy matematikus elõdeink voltak.
– Erdõs Pali bácsi gyakran így búcsúzott matematikus barátaitól: örökké éljenek tételeid! Melyik munkádnak van erre esélye?
– Olyan nagy problémákat, melyek a matematikai intelligencia kitörölhetetlen részét képeznék, nem oldottam meg. Az isteni bizonyítások Erdõs-féle Nagy Könyvébe legtöbbünknek esélye sincs bejutni.
– Túl szerény vagy.
– Nem, nincs igazad. Nézz rá az American Mathematical Society honlapjára és meglátod, mennyien vagyunk, közülük számosan kiemelkedõ képességû matematikusok. Vagy tekintsd meg a Mathematical Reviews egy évfolyamát. Tömérdek publikáció, komoly és szép eredmények sokasága lát napvilágot évrõl évre. Korlátos idõben, behatárolt területen dolgozunk, csak néhányan alkothatnak örökké emlékezeteset.
– A Bernstein-polinommal kapcsolatos eredményed azért nyomot hagyó, igazi „férfimunka” volt.
– Ezt talán a saját hatókörében elmondhatjuk, hiszen lezárt egy megoldatlan kérdést, egy régóta nyitott területet.
– Kutatóként mi az erõsséged?
– Remélem, nem hangzik szerénytelenségnek, amikor azt mondom, hogy az elméletalkotásban vagyok jó. Amikor a probléma megoldásához kiépítek egy addig nem használt utat.
– Gondolom, ezt példázza a Springer Kiadónál 1997-ben megjelent Logaritmic Potentials with External Fields címû monográfiád, melyet E. B. Saff amerikai matematikussal közösen írtál.
– Igen, munkánk a kiadó Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften címû híres régi sorozatában jelent meg. Tulajdonképpen egy potenciálelméleti könyv. Az alapkérdést a fizika szolgáltatja: a vezetõ töltésének egyensúlyeloszlását miként befolyásolja mondjuk egy külsõ mágneses erõtér. A fizikai modell matematikai leírása analízisbeli problémákhoz vezet. Kiderült, hogy e kérdéskörre szép elmélet építhetõ. Tíz évünk ment rá, de megérte.
– Ugrásszerûen nõhetett a hivatkozásaitok száma.
– Az igazán jó érzés persze az, amikor látjuk, mennyien használják eredményeinket. A Courant Intézetben P. Deift és csoportja kapcsolatot talált az ortogonális polinomok és a Riemann–Hilbert-probléma között. Deift késõbb elmondta, sokáig sötétben tapogatóztak, monográfiánk mutatta meg nekik a helyes irányt. Olyan volt, mint amikor egy sötét szobában felkapcsolják a villanyt. Az ortogonális polinomokra egyszerûen alkalmazható módszerükkel ezután egy csomó problémát „lelõttek”.
– Fontos neked, hogy egy megoldás szép legyen?
– Természetesen, az esztétikának nagyon fontos szerepe van a matematikában. Nem jó matematika az, ami nem szép. Az izzadságszag legtöbbször azt is jelzi, hogy rossz úton járunk.
– Mitõl szép a matematika?
– Attól, hogy csodálatos belsõ harmóniája van. Végtére is a matematika egy játék, pontosan definiált szabályokkal. Ezek betartásával kell eljutnunk egyik pontból a másikba: feltevésektõl az állításig. Én pedig mindenféle játékot szeretek, ilyen a természetem.
– Az approximációelmélet mintha rejtegetné ezt a szépséges királylányarcát.
– Azért ott is felfedezheted a szépséget, ami egy elegáns kombinatorikus bizonyításban vagy egy elmés geometriai feladatnál esetleg jobban megmutatja magát.
– Több, mint tíz éve már professzori állásod van Amerikában a Dél-Florida Egyetemen. Az év egyik felét ott töltöd, a másikat Szegeden. Matematikus szemmel jobb vagy rosszabb az amerikai oktatási rendszer a miénknél?
– Amerika nagyon nagy ország. Ott mûködnek a legjobb egyetemek, de nagyon gyengék is. A University of South Florida viszonylag új egyetem, nem egészen négy évtizedes múltra tekint vissza. A közép-floridai régió és maga az egyetem is hihetetlenül dinamikusan fejlõdik.
Amikor a szovjetek az elsõ szputnyikot fellõtték, az amerikaiak nagyon megijedtek, hogy lépéshátrányba kerülnek. Rengeteg pénzt fordítottak az oktatásra. Ebben a korszakban került az amerikai egyetemek matematikai tanszékére sok olyan ember, aki nem igazán oda való. Az oktatást ugyan ellátták, de a szakmát nem mûvelték, a matematika nem érdekelte õket. Ugyanakkor Amerikában évrõl évre sok tehetséges matematikus végez, szerez doktori fokozatot, PhD-t. Õk évekig nem tudnak elhelyezkedni a szputnyikkorszakból itt maradt emberek miatt. Néhány éve ez a trend megváltozni látszik. Részben emiatt is, a kinti egyetemem matematikai intézete nem kiemelkedõ, ugyanakkor approximációelméletben az egyik legerõsebb centrum a világon. Természetesen nem hasonlíthatjuk magunkat a nagy egyetemek, a Yale vagy a Cornell matematikai tanszékeihez. Ott jobbak a hallgatók és a PhD-s diákok is, mint nálunk. Különben a doktori ösztöndíjasok elenyészõ része amerikai. Matematikából a legtöbbjük Kínából származik, egy részük kelet-európai, bolgár, cseh, lengyel, magyar és oroszok is vannak.
Sajnos Magyarországon kezdjük átvenni az amerikai oktatási rendszert. Megszüntettük a lépcsõfokokat, az egyetemi doktori, a kandidátusi és a nagydoktori fokozatot. Kár volt. Azt kérdezted, van-e különbség a mi oktatási rendszerünk és az amerikai között. Nagy különbség van. A mi matematikaoktatásunk sokkal jobb az övéknél. A hallgatóink sajnos már meglehetõsen gyengék. Kevés, egyre kevesebb az érdeklõdõ diák. Esik a színvonal az egyetemeinken.
– Az egyetemi tanárok megbecsülése közti párhuzam milyen?
– Az amerikai professzorok jövedelmüket tekintve a társadalom felsõ tíz százalékába tartoznak. Nem tudom, Magyarországon hány százalékában vagyunk benne, az utóbbi idõben a Széchenyi-ösztöndíjjal kissé javult a helyzetünk, most pedig éppen visszaléptünk. Viszont a presztízsünk idehaza nagyobb. Nálunk egy egyetemi professzor az professzor úr! Ha például a gazdasági hivatalunkkal van dolgunk, ott tudják, hogy egy egyetemi tanárral beszélnek. Amerikában nincs ilyen tekintélyed. Ott csak egy kis fogaskerék vagy a gépezetben. Az a valaki, aki hozza a pénzt, vagyis az adminisztrációs vonal. Félek, ezt a szemléletet is szép lassan átvesszük tõlük. S akkor megszûnik az az évszázados európai egyetemi modell, miszerint egy egyetemet a professzorai tesznek egyetemmé.
– Bár vannak idehaza tiszteletre méltó próbálkozások neves kutatóink, professzoraink idehaza tartására, a kinti tíz-húszszoros fizetések elszívó erejéhez ezek kevesek.
– A szorzószámod kicsit magas, de amit mondasz, az lényegében igaz. Az anyagiak fontosak, bár egy idõ után az embert nem azok mozgatják. A legnagyobb kihívás elõtt tehetséges fiataljaink állnak. A legjobbjainkat tárt karokkal várják a neves amerikai egyetemek, könnyen kijuthatnak doktori képzésre. Megszerzik a PhD-t, a doktori címet, s ha kinn maradnak, kezdõ fizetésük évi negyven-negyvenötezer dollár lesz. S ha megnézik, mi van ezzel szemben idehaza...
– Akkor nem nehéz dönteniük. Dilemmát az okozhat, ha gyermekeik vannak.
– Érdekes, amit mondasz. A gyerek nagy visszahúzó erõ. Saját gyermekeimen látom, hogy diákként élni, felnõni sokkal jobb Magyarországon, mint Amerikában. Sokkal felszabadultabban érzik magukat idehaza, tartalmasabb, színesebb programjaik vannak.
– A fiatal kutatót még visszatarthatná a pezsgõ hazai matematikai közélet.
– Ami sajnos megszûnõben van.
– Miért?
– Több minden miatt. A hatvanas, hetvenes évek nagy matematikusai meghaltak, a maiak közül többen külföldön dolgoznak... De megváltozott a világunk is, eltolódtak az emberi értékek súlypontjai. Halódik magyar nyelvû szakmai folyóiratunk, a hajdan híres Matematikai Lapok, a legjobbak Schweitzer-versenyén is egyre kevesebben méretik meg magukat. Egyetemeinkre hármas-négyes szaktárgyi jegyekkel kerülnek be a hallgatók, képtelenség megtartani az oktatás egykori színvonalát. Ezzel együtt a tanárpályákra egyre kevesebben jelentkeznek. Ki jön el ma tanárnak? Mi lesz 20-30 év múlva, ha kifogynak a jó középiskolai tanáraink? A tanári pályának egykor presztízse volt, a hallgatókat világhírû matematikusok tanították egyetemeinken. Ma az egész oktatási rendszerünk a feje tetejére állt. Mindenféle programokat támogatnak, újabb és újabb szakok indítását pénzelik. Lassan oda jutunk, hogy nekünk már csak felcserképzésünk nem lesz, minden más megtalálható a képzési rendszerben. Ugyanabból a pénzbõl egyre többen igyekeznek markolni maguknak. A társadalom számára alapfontosságú tanárszakjaink pedig szép lassan kiürülnek. Nem tudom, miféle piac szabályozza majd például a matematika–fizika szakos tanáraink elfogyását.
– Úgy látom, él benned a matematika iránti szenvedély.
– Az biztos!
– Szenvedély nélkül nincs alkotás, de szenvedélyben nem lehet sokáig élni – mondta Márai Sándor. Szerinted a matematika szenvedélye meddig tarthat ki az emberben?
– Idõvel változik a szenvedély, ez igaz. Emlékszem, amikor középiskolásként beleszerettem a matematikába, annak tüze egész nap lázban tartott. Problémákon gondolkoztam, amikor utaztam a buszon, de gyakran még udvarlás közben is. A nõi lélek ezt azonnal megérzi. – Te most töröd valamin a fejed – állapította meg Veronika. Akkoriban, ha késõ éjjel jött egy ötlet, találtam valamit, az ébren tartott. Ma már van erõ, hogy megálljak. Tapasztaltam, fáradtan nagyobb a hibázás lehetõsége. Majd másnap reggel ellenõrzöm. Aludjunk rá egyet!

Vilmos és Veronika között Orsi és Zoli (Svájc, 1992 nyarán)

– A matematikán kívül mik a kedvedre való foglalatosságok?
– A sport ma is hozzátartozik életemhez. Futballozni sajnos már nem nagyon merek, nem bírja a térdem, de rendszeresen teniszezem, pingpongozok, túrázom…
– Vámos Miklós, aki szintúgy imádja a teniszt, könyvet is írt róla, említette Lehetetlen? mûsorában, hogy ez a játék a gonoszság kiélésének legfõbb terepe. Az ember minden ravasz trükköt bevet, csak hogy átverje ellenfelét, miközben élvezi, hogy a másik szenved, amint kétségbeesve rohan az alattomosan a háló mögé ejtett labda után. Kedves Vilmos, pedig te olyan jámbor embernek nézel ki!
– Na, én nem ezt látom a teniszben. A tenisz sokkal inkább önkritikára nevel. Egyik sportpályán sem hallasz annyi önkritikus megnyilatkozást, mint a teniszben. Egy-egy elrontott labdamenet után soha sem az ellenfelünket szidjuk, hanem magunkat kárhoztatjuk.
– Megcsodáltam gyönyörû kertedet. Itt minden négyzetméter a gazda szeretetérõl, gondos kezek munkájáról árulkodik.
– Jól látod, a kert sokat jelent nekem. Amikor ásom, túrom a földet, gondozom fáimat, szõlõtõkéimet, még a matematikáról is megfeledkezem. Ez a munka teljesen kikapcsol. A kert különben rendkívüli sikerélmény forrása. Amikor elültetsz valamit, majd gondozod, figyelemmel kíséred, hogyan lesz belõle fél év múlva paprika, borsó, sárgarépa, gyümölcs, ez semmihez sem hasonlíthatóan jó érzés. A tanítás sem ad ilyent. Elmondasz egy szép tételt, egy ügyes bizonyítást, rámutatsz a módszer alkalmazásának lehetõségeire, de nemigen tudhatod meg, hogy az elvetett maggal mi lesz. Az oktatásban elért eredmények áttételeken, gyakran csak évek múltán mutatkoznak meg.
– A sporton, a kertészkedésen kívül…
– … még horgászni szeretek.
– Azt hol szoktál?
– Leginkább Szarvas mellett, a Körösökben. Régebben Ásványrárónál is, sajnos mára ott a Duna tönkrement.
– Pedig az a vidék kedvezett a halaknak.
– A Duna elterelése óta pusztulóban van a Szigetköz vízivilága, eltûnnek mocsári búvóhelyei, ahol eddig víz volt, ott a meder alját látni. A Szigetköz ökológiailag halottá válik, a politika áldozata lett. Mára mindenki leírta, a hajdani nagy zászlóvivõk, a korábban hangos természetvédõk is. Ez engem mélyen elszomorít.
– Nem akarom, hogy így érjen véget beszélgetésünk. Úgyis mindig van, amit elfelejtek megkérdezni. Tehát folytatom. Visszatérve a szakmádhoz, az analitikus gondolkodásmódnak mi a jellegzetessége?
– Nehéz ezt pontosan megfogalmazni. Az analízis szerteágazó tudományterület, számos helyen alkalmazzák, Newton óta folytonos sikertörténet. Hatékonyságát erõs eszközrendszere adja, az elmélet itt egy nagy masinéria, amit az ember rázúdíthat a problémákra. A diszkrét matematikához, a kombinatorikához valószínûleg másfajta szemlélet kell. Ott az ügyes ötletek, a briliáns meglátások dominálnak. Az analízisben inkább a módszer uralkodik, amivel sok irányból közelítheted, össztûz alá veheted a problémát.
– Érdekes világ a matematika. Mondod, az analízis sikertörténet. S akkor készül egy ketyere, amit számítógépnek neveznek és íródni kezd egy újabb sikertörténet.
– Sokkal gyorsabban és nagyobb sikerekkel. Látod, ezért is volt félelmetesen nagy elme Neumann János. Õ már a negyvenes években meglátta, hogy pusztán a számolásból mennyi minden kijön. Ma, ha megnyitunk egy ablakot a Windowsban, a képernyõn megjelenítünk egy grafikát, az internetre kapcsolódunk, e mögött millió számolási mûvelet, vagyis matematika van. A legcsúnyább matematika, ami létezik, de a gép iszonyú gyorsasága mégis hatékonnyá teszi. Amire talán Neumann sem gondolt, hogy a komputerek a nyomtatás és a kommunikáció legnagyobb forradalmát is magukkal hozzák és ez valóban csak Gutenberghez mérhetõ forradalom. A számítógépeket nagy részben ma arra használják, amire te is, a szövegszerkesztésre és információ továbbítására.
– Mi annyi érdekes új fejleményt, annyi változást megéltünk…
– Mondd ki nyugodtan: ebben szerencsések vagyunk!
Szeged, 2001 nyarán

Az interjút készítette: STAAR GYULA

Természet Világa, 133. évfolyam, 3. szám, 2002. március
https://www.chemonet.hu/TermVil/
https://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/

Vissza a tartalomjegyzékhez


Tél a Szigetközben	Ásványráró melletti mellékág közepes dunai vízállásnál (Alexay Zoltán felvételei)