Püthagorasz, Rényi és a lemmingek, avagy a káosz irracionalitása
Első rész
Egy kétely története
A megismerés korlátai a természettudományokban és a matematikában
Az irracionalitás első hallásra furcsa, és a természettudományoktól különösen távoli fogalomnak tűnhet, hiszen Galilei szerint a természet nyelve a matematika, és a matematikánál nincsen tisztább és logikusabban felépített tudomány. Hasonlóan gondolkozott Laplace, aki a természet racionalitásába vetett hitét igen markánsan fogalmazta meg (Laplace, 1814):
„A világmindenség jelen állapotát a megelőző állapot hatásaként, és a rákövetkező állapot okaként kell értelmeznünk. Ha adott volna egy értelem, mely képes felfogni a természetet irányító erőket és az alkotóelemek pillanatnyi, egymáshoz viszonyított helyzetét – egy olyan értelem, mely ezt az adattömeget képes feldolgozni és analizálni –, ez az értelem ugyanazon törvények szerint vizsgálná a leghatalmasabb testek és a legkisebb atomok mozgását, akkor nem volna számára bizonytalanság, a jövőt és múltat egyaránt tisztán látná.”
Reális-e azonban ez a kép? Ismereteink tökéletlen volta vajon csak értelmünk csekély befogadóképességéből adódik, vagy bármely véges értelemnek le kell mondania a valóság tökéletes megismeréséről? Bármilyen tisztán építkező tudomány is a matematika, az alapfogalmait és a köztük lévő relációkat leíró axiómákat kénytelen – közvetlenül vagy közvetve – a fizikai világból meríteni. Ha az alapfogalmak és axiómák létét elfogadjuk, nehéz megkérdőjelezni a matematikai következtetések racionalitását.
Bár ez valóban nehéz feladat, Kurt Gödelnek (1906–1978) azért sikerült. Kimutatta, hogy olyan axiómarendszerekben, melyek magukban foglalják a természetes számok aritmetikájának bizonyos törvényeit, mindig léteznek olyan („Gödel-típusú”) állítások, melyek igaz vagy hamis volta egyaránt bizonyíthatatlan, tehát az aritmetikai igazság fogalma tágabb az aritmetikai bizonyíthatóság fogalmánál (Ruzsa, 1984.). A matematikusokat, érthető módon, megrázta Gödel bizonyítása, hiszen ez alapján a matematika olyan kirakós (puzzle) játékhoz hasonlítható, melynek néhány, előre meg nem határozott eleme hiányzik. A híres „nagy” Fermat-sejtésről is többen azt hitték sokáig, hogy ilyen Gödel-típusú, „hiányzó” elem, mígnem 1994-ben Andrew Wilesnak sikerült a bizonyítás (Singh, 1999.). Sok bizonyítatlan sejtés van a matematikában, melyekről nem tudjuk, vajon igazolhatóak-e egyáltalán. Tudunk olyan állításokról is, melyek biztosan Gödel-típusúak (Gödel bizonyításának lényege éppen egy ilyen állítás konstruálása volt), azonban ezek meglehetősen komplikált, a mindennapi élet fogalmaitól távol eső tételek. Gödel tétele látszólag ellentmond intuíciónknak: egy egyszerűen megfogalmazható, matematikai alapfogalmakkal leírható állításról általában nem várnánk, hogy Gödel-típusú. Dolgozatunkban azonban éppen olyan példát fogunk mutatni, amikor egy rendkívül egyszerű állításról intuíciónk azt súgja, hogy Gödel-típusú. Furcsa módon ez az állítás szorosan kapcsolódik a kaotikus dinamikai rendszerek modellezéséhez, és ezáltal illusztrálja, hogy miért is jogos a címben szereplő „irracionális” jelző.
A probléma azonban nem csak az axiomatizált rendszereken belül jelentkezik, gyakran ugyanis azok az alapfogalmak sem írhatók körül teljes precizitással, amelyek közötti összefüggést az axiómák megfogalmazzák. Jó példa erre a valószínűség, mely bár igen gyakran szerepel a mindennapi szóhasználatban, matematikailag használható, szabatos megfogalmazására csak Andrej Nyikolajevics Kolmogorov eredetileg 1933-ban publikált, azóta már klasszikusnak számító könyvében került sor (Kolmogorov, 1982.). Intuíciónk azt súgja, hogy egy folyamatot akkor látunk véletlennek, ha információink hiányosak; ez összecseng Laplace fent idézett gondolataival. Ebből az alapállásból kiindulva igen nehezen érthető, hogy a véletlen miként rendelkezhet „objektív” tulajdonságokkal, hiszen ugyanaz a fizikai folyamat eltérő mértékben tűnhet véletlen jellegűnek különböző mennyiségű információval rendelkező megfigyelők szemében. Talán éppen ezért törekednek a tudósok arra, hogy a véletlen szerepét minimalizálják a természeti folyamatok leírásában. Laplace amellett tesz hitet, hogy ezt a törekvést végül siker koronázhatja. A kvantummechanikai folyamatok leírása mutatta meg, hogy Laplace tévedett: a véletlent nem lehet kiszorítani a fizika szótárából. Werner Heisenberg (Jánossy, 1971.) mutatott rá, hogy egy elemi részecske helyének és impulzusának egyidejű, pontos megmérése lehetetlen (a két mérés bizonytalanságának szorzata a Planck-állandó).
A véletlenhez hasonló, igen problémás matematikai alapfogalom az irracionális szám. Mint neve is jelzi, bizonyos tulajdonságai ellentmondanak a józan észnek, ezeket részletesebben fogjuk majd elemezni. Éppen ezért, hasonlóan a véletlenhez, az irracionális számot is igyekszünk száműzni a természeti folyamatok leírásából, és ahol csak lehet, racionális számokkal dolgozunk.
A megismerés eddig felsorolt korlátai, bár tudományos szempontból kétségkívül
hatalmas a jelentőségük, a mindennapi életünket érintő természeti folyamatokat
és azok matematikai leírását, úgy tűnik, nem befolyásolják érzékelhető
mértékben. Dolgozatunkban azonban éppen azt fogjuk megmutatni, hogy ugyanilyen
furcsa korlátokba ütközünk ebben a léptékben is: a kaotikus dinamikai rendszerek
leírásából kiküszöbölhető a véletlen fogalma, ugyanígy kiküszöbölhető az
irracionális szám fogalma is, de a kettő egyszerre nem küszöbölhető
ki. Elsőként az irracionális számok történetével ismerkedünk meg.
Hippászosz esete a pentagrammával
Püthagorasz (i.e. 580–510) követői, a pitagoreusok, a tudomány mellett a misztika iránt is élénk érdeklődést mutattak. Meglátásuk szerint a világmindenség tökéletesen leírható a természetes számok (vagy ezek hányadosaiból képzett racionális számok) segítségével. Ezt a meggyőződésüket erősítette többek között az a felfedezés is, hogy a tiszta hangközöknek (oktáv, kvint, kvart stb.) megfelelő frekvenciák aránya pontosan felírható racionális számként. A XXI. század digitális világa is mintha a pitagoreusokat igazolná: a boltban vásárolt CD/DVD lemez, mely többórányi kép- és hangfelvételt hordoz, gyakorlatilag nem más, mint gigantikus mennyiségű 0 és 1 számjegy egymásutánja. A hang- és képrögzítés, valamint -átvitel egyre inkább a digitális, vagyis egész számokkal kódolt technikán alapszik, ugyanilyen típusú kód vezérli az életünk számos területét döntően megváltoztató elektronikus számítógépeket. Bármennyire tetszetős azonban a püthagoraszi gondolat, már a kezdet kezdetén kitűnt, hogy univerzális alkalmazásának lehetnek akadályai. Püthagorasznak tulajdonítjuk a derékszögű háromszög a,b befogói és c átfogója közötti a2 + b2 = c2 összefüggést. Egyes esetekben az egyenlet nyilvánvalóan kielégíthető természetes számokkal, pl. 3, 4, 5, vagy 6, 8, 10, máskor racionális törtekkel, pl. 3/2, 2, 5/2, de általában nem ilyen egyszerű a helyzet. A pitagoreusok azt hitték, hogy minden derékszögű háromszög esetében az oldalak aránya racionális. Ha nem tudták az arányt pontosan felírni, akkor ezt a számítás hiányosságának, illetve hibájának tulajdonították. A pitagoreusok jelképe a pentagramma volt, vagyis a szabályos ötszög beleírt átlóival (1. ábra). Az átlók újabb, kis ötszöget határoztak meg az eredeti ötszög belsejében, az egymásba skatulyázott ötszögek sorozata a pitagoreusok számára a végtelent jelenítette meg. (Mai fogalmaink szerint a pitagoreusok az önhasonlóságra lettek figyelmesek. A pentagrammával analóg elven felépülő, tetszőleges pontból kiindulva minden mérethatáron túl önhasonló képződményeket nevezzük fraktáloknak. A pentagrammánál az önhasonlóság csak egy pontban teljesül, ezért ez még nem fraktál.) A sors fintora, hogy éppen a pentagramma kapcsán omlott össze a pitagoreusok racionális számokra épülő filozófiája: i.e. 450 kürül a dél-itáliaia Metapontban élő Hippászosz nevű pitagoreus egy szép napon azzal a hírrel lepte meg társait, hogy a szabályos ötszög oldalának és átlójának aránya nem racionális szám. A bizonyítás nem maradt ránk, azonban ma minden középiskolás be tudja látni hasonló háromszögek segítségével, hogy a vizsgált arány éppen (Ö 5–1)/2; ezt szokták aranymetszésnek is nevezni. Hippászosz további sorsáról nem tudunk bizonyosat, egyes legendák szerint felfedezésével kihívta maga ellen az istenek haragját, hajója viharba került és az utasok a tengerbe vesztek. Más források azt állítják, hogy Hippászosz halálában az istenek haragja mellett társai haragjának legalább ugyanakkora szerep jutott. Tény azonban, hogy felfedezése alapjaiban rázta meg a görög matematikát, és a kor gondolkodói iszonyodva fordultak el az irracionális szám fogalmától. Mi sem illusztrálja ezt ékesebben, mint a fogalomnak adott név: alogon, vagyis a kimondhatatlan.
1. ábra. A pentagramma
Hippászosz bizonyítása formálisan helyesnek tűnt, és eddigi, megingathatatlannak látszó világképükben kételkedni kezdtek. Mai szemmel talán éppen fordított a helyet: a görögök heves reakciója láttán abban kezdhetünk kételkedni, hogy az irracionális számokra épített világképünk vajon minden szempontból helytálló-e? A pitagoreusok úgy vélték, hogy Hippászosz kinyitotta Pandora szelencéjét, és szigorúan megtiltották mindenkinek, hogy az irracionális számokról beszéljen. Az ilyen tiltásoknak többnyire ugyanaz a hatása: gyorsan terjed az új gondolat, és így történt ez esetünkben is. Mi lehet olyan borzasztó egy nem racionális számban, hiszen nap mint nap találkozunk, szorzunk, összeadunk ilyen számokat. Látni fogjuk, hogy a görögök nem kisebb dolgot féltettek, mint fizikai világképünk racionalitását. Érezték, hogy a Hippaszosz által felfedezett számokban van valami furcsa, ami ellentmond a józan észnek, de nem tudták nevén nevezni ezt a furcsaságot, erre két évezredet kellett még várni. Apróbb furcsaságok azonban már a kezdet kezdetétől jelentkeztek. Természetes kérdésként vetődött fel az irracionális számok kiszámítása (vagyis számjegyeik meghatározása), és ez a probléma sokáig hatott megtermékenyítően a matematikára. Mielőtt ennek történetébe belepillantanánk, egy rövid – teljesen fiktív – történettel szeretnénk illusztrálni az irracionális számok különös jellegét.
Az egyik nagy magyar könyvtár vezetése úgy dönt, hogy biztonsági okokból a teljes, többmilliós állományt archiválni kívánja, és erre pályázatot ír ki. A jelentkezők egyike a könyvtár teljes anyagának fénymásolásával kívánja megoldani a feladatot, a másik korszerűbb eljárást választ, az állományt digitalizálná, és CD lemezekre szándékozná menteni. Móricka is jelentkezik egy pályázattal, melynek lényege a következő: végezzük el a digitalizálást, melynek eredményeképpen a könyvtár állományát egész számokkal kódoljuk. Bevezetünk további kódokat az egyes könyvek egymástól való elválasztására, majd az összes kódot leírjuk egy papírra egymás után. Az így kapott természetes szám elé írunk egy nullát és egy tizedesvesszőt, ezáltal egy nulla és egy közötti racionális számot kapunk, jelöljük ezt a számot R-rel. Veszünk a boltban egy 1 méter hosszúságú papírcsíkot, és levágunk belőle egy R méter hosszúságú darabot. Ez a darab papír magában hordozza a könyvtár anyagának teljes információját. Ha a könyvtár anyaga megsemmisül, a papírcsík segítségével az utolsó betűig visszaállítható. Móricka pályázatában azt is megjegyzi, hogy az alkalmazott módszer rendkívül költség- és helytakarékos. Díjazásul csak annyit kér, hogy azt az ollót, amivel a papírt levágta, utána megtarthassa emlékbe.
Bár az eljárás megfelelő olló és papír hiányában technikailag kivihetetlen,
Mórickának elvben teljesen igaza van, és ötlete kiválóan illusztrálja,
hogy milyen mértékben „sűrűsödik” az információ már egy hosszú racionális
szám esetén is. Ha olyan ollót adnánk Mórickának, amely előre adott irracionális
helyeken is képes a papírt vágni, akkor egyetlen, rövidke papírcsíkon végtelenül
sok, végtelenül nagyméretű könyvtár anyagát is kódolhatnánk, hiszen bármely
(nem periodikus), végtelenül hosszú kódnak egyértelműen megfeleltethető
egy irracionális szám.
A P, Arkhimédész és Neumann
A kör kerületének és átmérőjének hányadosa, a P, minden bizonnyal a legnevezetesebb irracionális szám. Kiszámítására az ókor legnagyobb matematikusa, Arkhimédész adott elsőként algoritmust, vagyis eljárást, melyet egészen az újkor kezdetéig alkalmaztak (mint ahogy a brit Admiralitás is Arkhimédész módszereivel vizsgálta a vitorlások stabilitását még a XVIII. században is). Arkhimédész felismerte, hogy a kör kerülete közelíthető a bele és köré írt szabályos sokszögek kerületével. Kiindulásnak a hatszöget tekintette: az egységsugarú körbe írt hatszög a6 kerülete a6=3, a körülírt hatszögé pedig b6=2Ö 3»3,4641. Arkhimédész eljárásának lényege, hogy a két sokszög oldalszámát megduplázva a két sokszög (tizenkétszög) kerülete kifejezhető a hatszögek kerületeivel, és további duplázás esetén is megmarad ez az összefüggés:
1/b2n=1/2(1/ bn+1/ an),
a2n=Ö (b2nan).
Arkhimédész módszerének lényege a rekurzió, vagyis egy „saját farkába harapó” összefüggés, amely esetünkben egy olyan sorozatot határoz meg, melynek tagjai fokozatosan, tetszőleges pontossággal megközelítik a keresett irracionális számot, azonban azt soha nem érik el. Arkhimédész maga a 96-szögig haladva 2 értékes tizedesjegyre tudta meghatározni a P értékét. Arkhimédész módszerének jelentősége óriási: túl azon, hogy egy hasznos számítási eszközt adott a kezünkbe, a nagy matematikus rámutatott az irracionális számok egyik leglényegesebb tulajdonságára, nevezetesen arra, hogy csak végtelen információ segítségével, végtelen idő alatt azonosíthatóak pontosan.
A P egyre pontosabb és pontosabb kiszámítása Arkhimédész után is folyamatosan izgatta a legnagyobb elméket. Sir Isaac Newton 15 tizedesjegyig haladt, bár erre egyáltalán nem volt büszke: egy levelében szégyenkezve írt barátjának erről a „hiábavaló” időtöltésről. Arkhimédész eljárását időközben fejlesztették: az új módszerek gyorsabban konvergáltak, vagyis azonos számítási munkával több tizedesjegyet lehetett meghatározni. Bár 59 tizedesjegy ismeretében az Univerzum átmérőjét egy hidrogénatom méretének megfelelő hibával meghatározhatjuk, és Machin 1706-ban már 100 jegyre ismerte P értékét, az érdeklődés nem csappant. Neumann János, a XX. század egyik legnagyobb elméje, miután irányítása alatt elkészült a világ első elektronikus, programvezérelt számítógépe, az ENIAC, annak egyik első feladatául a P első 2037 jegyének meghatározását tűzte ki. Az ENIAC 70 óra alatt végzett a munkával, ez tizedesjegyenként mintegy 2 percnek felel meg. A mai számítógépek, bár változatlanul Neumann briliáns ötletére épülnek, több nagyságrenddel gyorsabbak ősüknél. Időközben az algoritmus is fejlődött, így a mai P-számítások során egy tizedesjegy meghatározása még egy ezredmásodpercet sem vesz igénybe. A mai „P-világcsúcsot” Y. Kanada tartja 206 158 430 000 tizedesjeggyel (Kanada, 1999.).
Joggal kérdezhetjük, hogy mi motiválja ezeket a kutatásokat, hiszen
fizikai rendszerek leírásához távolról sincs szükség erre a rengeteg számjegyre.
Ennek ellenére a P-számítások többet jelentenek
puszta időtöltésnél: gyakran alkalmazzák őket új számítógépek tesztelésére,
ugyanis az eljárás rendkívül érzékeny. Ilyen módszerrel sikerült a Cray
szuperszámítógépek egyik első változatában hardverhibát találni. Matematikai
szempontból sem mondhatók teljesen érdektelennek a számítások, hiszen a
P-ről
vajmi keveset tudunk. Nem ismert például a tizedesjegyek eloszlása, bár
azt sejtik, hogy minden jegy azonos gyakorisággal fordul elő, és a számítások
ezt a sejtést eddig megerősítették. A motivációk felsorolása közül azonban
nem hagyhatjuk ki a legkevésbé gyakorlatias, bár annál lényegesebb elemet,
az emberi kíváncsiságot: a P bőven tartogathat
még meglepetéseket számunkra. Minden bizonnyal a laikusok is megdöbbennének,
ha kiderülne például, hogy a 206 158 430 000. jegy után csak 2-esek és
7-esek következnek, és ezt mai ismereteink alapján nem zárhatjuk ki. Mint
láthatjuk, a P az ókor óta folyamatosan izgatta
a kutatók fantáziáját, mégis, egészen a XX. század elejéig senki sem nevezte
néven az izgalom igazi forrását.
Brouwer kérdése
L. E. J. Brouwer (1881–1966) holland matematikus – a pitagoreusokhoz
hasonlóan – úgy vélte, hogy az irracionális számok korlátozás nélküli használata
valahol ellentmond a matematikai intuíciónak (Brouwer, 1975.). A matematika
alapjairól alkotott véleményének rendszerét intuicionizmusnak nevezte,
és megkísérelt rávilágítani az említett korlátozásból eredő logikai és
filozófiai jellegű problémákra. Brouwer egy Y
számot definiált a következő módon. Jelölje pi
a P szám i-edik tizedesjegyét, és yi
a Y szám i-edik tizedesjegyét, és legyen
| yi = | { | 9, ha pi = pi+1
=
pi+2 = ... = p2i–1=
7
0 egyébként. |
A fenti képlet szerint például Y ötödik jegye akkor lesz 9, ha P 5. jegye és 5+4=9. jegye között csupa 7-es áll. Mivel ez nem így van, Y ötödik jegye zérus. Brouwer a következő kérdést tette fel: Egyenlő-e zérussal a Y szám? Másképpen fogalmazva: vajon minden jegye zérus-e a Y számnak? A kérdésre természetesen nem tudjuk a választ, hiszen P ismert jegyei alapján a Y számnak nincsen zérustól különböző jegye. Ahhoz, hogy legyen, egy legalább 206 158 430 000 darab 7-esből álló blokkra volna szükség a P jegyei között. Brouwer kérdése zseniális: bár a választ nem tudjuk, de sejtjük, hogy Y minden jegye zérus. Ez önmagában még nem furcsa, hiszen számos olyan matematikai állítás van, melyre nem ismerjük, de sejtjük a választ. Brouwer kérdése azonban sokkal mélyebb, ugyanis itt nemcsak azt sejtjük, hogy mi a válasz, hanem azt is, hogy ezt a választ soha nem lehet bebizonyítani.
Ez azért megdöbbentő, mert ha sejtésünk igaz, akkor egy Gödel-típusú állítással állunk szemben. Ezekről, Gödel eredményét olvasva, könnyen az a kép alakul ki, hogy ellentmondanak a hétköznapi intuíciónknak, hiszen matematikai tételekről azt szoktuk gondolni, hogy bizonyíthatóak vagy cáfolhatóak véges idő alatt. Brouwer tehát kérdésével „kézzelfoghatóvá” tette Gödel eredményét, és rámutatott az irracionális számok egyik legfurcsább sajátosságára. Bár az is elképzelhető, hogy Y nem zérus, és ebben az esetben az állítás véges idő alatt igazolható, azonban könnyen konstruálhatunk más, hasonló állításokat. Az intuicionizmus szerint a racionális és irracionális számok másként léteznek. Az előbbiekről beszélhetünk jelen időben, mint statikus objektumokról, az utóbbiakat azonban csak keletkezésük végtelen folyamata jellemzi egyértelműen. Ennek a felfogásnak megfelelően az intuicionizmus a kontinuum mint elemekből felépülő halmaz létét is tagadja, és ezzel a folytonos modellek diszkretizálásán alapuló mérnöki számítási eljárásokat alapjaiban kérdőjelezi meg. Bár Brouwer iskolája mellett nem kisebb nevek tettek hitet, mint Hermann Weyl vagy Neumann János, az intuicionizmusnak manapság többnyire sokkal inkább filozófiai, mint gyakorlati jelentőséget tulajdonítanak (ugyanis fizikai modellek leírásánál ezek a problémák nem kerültek előtérbe). Látni fogjuk azonban, hogy a kaotikus dinamikai rendszerek modellezése új fényben világítja meg az intuicionisták gondolatait.
Joggal hihetnénk, hogy Brouwer kimondta a végső szót az irracionális
számok „furcsaságainak” terén, azonban távolról sem ez a helyzet. Ötven
évvel ezelőtt egy magyar matematikus teljesen új felfogásban tárgyalta
az irracionális számokat, és közvetlen kapcsolatba hozta őket a matematika
egy másik nehezen érthető alapfogalmával, a véletlennel.
Rényi függvényei és a leveles tészta
Arkhimédész rekurzív algoritmusának célja a P értékének fokozatos közelítésen alapuló kiszámítása volt. A kezdeti (pontatlan, becsült) értékből – mely Arkhimédész esetén a körbe és kör köré írt hatszög kerülete volt – lépésenként közelített az eljárás a meghatározandó irracionális számhoz. A későbbi, gyorsabb algoritmusok elve ugyanez volt: olyan f(x) függvényt definiáltak, amely egy alkalmasan választott (becsült) x0 értékkel indítva egy konvergens xi+1=f(xi) sorozatot határozott meg. (Azt mondjuk, hogy az xi sorozat konvergens és határértéke x* , ha tetszőlegesőleges e>0 esetén létezik olyan i* index, hogy minden i> i* esetén |xi-x*|<e.)
Rényi Alfréd (1920–1972) gyökeresen eltérő módon szemlélte a rekurziót. Olyan, az egységintervallumot önmagára leképező F(x) függvényeket vizsgált, melyekbe egy irracionális x0 kezdőértéket helyettesítve a függvény által generált xi+1=F(xi) sorozatból az x0 irracionális szám jegyeire, illetve azok tulajdonságaira lehet következtetni (Rényi, 1957.). Nem kevesebbet állított, mint azt, hogy azon F függvények egy széles osztálya, melyek alkalmasak irracionális számok jegyeinek tanulmányozására, ergodikus tulajdonságokkal rendelkezik. Az ergodelmélet a valószínűségszámítás egyik ága; az ergodikus tulajdonságok felbukkanása egy jelenség véletlen jellegére mutat rá. Az ergodicitásra mutató egyik jel az abszolút folytonos invariáns mérték (pl. valószínűségeloszlás) létezése, fontos ismérv a kezdeti feltételekre való érzékenység.
A bennünket elsősorban érdeklő xi+1=F(xi) sorozat szempontjából az invariáns mérték létezése azt jelenti, hogy ha a sorozat elemeiből statisztikát készítünk, akkor ahhoz folytonos eloszlás- és sűrűségfüggvény rendelhető, és ez „majdnem minden” kezdeti érték esetén azonos. A kezdeti feltételekre való érzékenységből pedig az következik, hogy egymáshoz tetszőlegesen közeli x01, x02 kezdeti értékekből indított sorozatok exponenciális sebességgel távolodnak el egymástól. A „majdnem minden” kezdeti érték a legegyszerűbb, részletesen tárgyalandó leképezések esetében azt jelenti, hogy x0 irracionális szám.
2. ábra. A diadikus leképezés és két trajektóriája
Rényi ötletének voltak előzményei: irracionális számokat leíró lánctörtek tulajdonságait már a nagy Karl Friedrich Gauss is vizsgálta, és tapasztalt véletlenszerű jelenségeket. Rényi nagyot lépett előre, mert a szakaszosan folytonos leképezések egy széles osztályára bizonyított alapvető tételeket; 1957-ben írt cikkére a mai napig gyakran hivatkozik a szakirodalom. Itt természetesen nem vállalkozhatunk Rényi eredményeink átfogó ismertetésére, azonban egy egyszerű példával megpróbáljuk szemléltetni az alapgondolat lényegét. Az F(x) leképezéstől megkövetelt legfontosabb tulajdonság a tágító jelleg, amely azt jelenti, hogy a leképezés deriváltja (illetve grafikonjának meredeksége) mindenütt meghaladja az 1-et. Legegyszerűbb példaként a diadikus leképezést említhetjük:
F(x) = 2x mod 1,
melynek grafikonját a 2. ábra mutatja és amely az
xi+1 = 2 xi mod 1
rekurziót definiálja. Az ábrán két racionális kezdeti értékből (x01=1/8,x02 =1/12) indított rekurzió által meghatározott pontsorozatot (trajektóriát) is feltüntettük. A trajektóriák pontjai vagy a jobb oldali, vagy a bal oldali függvényágon helyezkednek el. Előbbit 1-gyel, utóbbit 0-val kódolva mindkét kezdeti feltételhez egy bináris jegyekből álló sorozatot rendelhetünk. Vegyük észre, hogy ez a sorozat éppen az adott kezdeti érték kettes számrendszerben felírt alakjának felel meg: 1/8=0,001, 1/12=0.00010101. Tudjuk, hogy az irracionális számok (bármely számrendszerben) aperiodikus, végtelen számsorozattal írhatók le, és ezáltal érzékelhetjük, hogy irracionális kezdeti értékből indítva végtelen hosszú, aperiodikus trajektóriát kapunk. Ez a trajektória „bejárja” az egységintervallumot, annak tetszőleges részintervallumán a részintervallum hosszával arányos valószínűséggel fordul elő, vagyis a diadikus leképezés esetén a Rényi által bizonyított invariáns mérték éppen az egyenletes valószínűségeloszlásnak felel meg. A most bevezetett, meglehetősen absztrakt fogalmakat ismét egy Mórickáról szóló történettel illusztráljuk.
Mórickáék vasárnap ebédre vendéget várnak: a család jóakarója, Lajos bácsi látogatja meg őket. Móricka anyukája természetesen Lajos bácsi kedvencét, leveles tésztát süt, és már kora reggel a konyhában sürög-forog, kikészíti a tésztát és a vajat. Szól a telefon, ezért egy pillanatra kiszalad, eközben Móricka (aki Lajos bácsit közel sem értékeli olyan nagyra, mint szülei, sőt kifejezetten utálja) kisurran a konyhába, és két szem borsot nyom bele a tésztába közvetlenül egymás mellé, majd a tésztát gondosan elsimítja a borsszemek felett, végül visszasurran szobájába, és a jól végzett munka utáni elégedettség érzésével álomra szenderül. Anyukája visszatér, majd a Horváth Ilona szakácskönyvében közölt (Horváth, 2001.), és a 3. ábránkon illusztrált algoritmus szerint elkészíti a tésztát, tepsibe helyezi, feldarabolja, és kisüti. Sütés után döbbenten észleli, hogy az egyik sütemény közepén egy fekete pont éktelenkedik. Döbbenete csak fokozódik, amikor az idegen tárgyról kiderül, hogy egy borsszem. Összeül a családi kupaktanács, a gyanú Mórickára terelődik, aki hatalmas nyomás alatt beismerő vallomást tesz, melyből kiderül, hogy valamelyik süteményben még rejtezik egy szem bors. A helyzet válságos: Lajos bácsit nem lehet leveles sütemény nélkül várni, új sütésre már nincs idő, azt a kockázatot viszont senki sem vállalja, hogy Lajos bácsi borsszemre harapjon. Móricka kapja a feladatot, hogy azonosítsa az inkriminált süteményt a két tepsiben elhelyezkedő, mintegy száz darab közül. Mórickát motiválandó, édesapja bejelenti, hogy minden szétcincált sütemény ezer forintjába fog kerülni Lajos bácsi fiatal ellenlábasának.
3. ábra. A leveles tészta készítésének algoritmusa és a diadikus leképezés
Bizonyára érzékeljük, hogy Móricka helyzete elég kilátástalan: tudja ugyan, hogy a két szem bors kezdetben nagyon közel volt egymáshoz, azonban a 3. ábrán bemutatott algoritmus szerint a leveles tészta készítése közvetlenül megfeleltethető a diadikus leképezésen végzett iterációnak: a nyújtás a kettővel való szorzásnak, a hajtás a „mod 1” műveletnek, vagyis az 1 feletti rész megtartásának feleltethető meg. (Geometriailag még szorosabbá tehető az analógia, ha a diadikus leképezés helyett az Fs(x) „sátor” leképezést használjuk, mely a (0,1/2) intervallumon megegyezik a diadikussal, de az (1/2,1) intervallumon Fs(x)=2–2x. Ekkor a tészta hajtásának a függvénygrafikon „visszahajtása” feleltethető meg. A sátor és a diadiukus leképezés ergodikus tulajdonságok szempontjából igen hasonlóan viselkedik.) Mivel a tésztakészítés analóg a diadikus leképezéssel, érthető, hogy Móricka fő problémáját az ergodikus tulajdonságok okozzák: a kezdeti feltétételekre való érzékenység miatt az egyik bors helyzetéből nehány iteráció (vagyis nyújtás-hajtás) után gyakorlatilag nem lehet következtetni a másik borsszem helyzetére. Az invariáns (esetünkben egyenletes) mérték létezése pedig azt garantálja, hogy a borsszem közel azonos valószínűséggel található bármely süteményben. Rényi eredményei alapján tehát Mórickának legfeljebb azt tanácsolhatjuk, hogy vegyen fel diákhitelt. (A leveles tészta és a folytonos dinamikai rendszerek analógiájára mutat rá Gruiz (Gruiz, 1998.).)
Mint említettük, az ergodelmélet a valószínűségszámítás egyik ága, az ergodikus tulajdonságok a véletlen (sztochasztikus) folyamatokat szokták jellemezni. Érzékelhető tehát Rényi eredményének mélysége és súlya: egy teljesen determinisztikus rendszerben (példánkban a diadikus leképezésben) bizonyította a véletlenszerű viselkedést. Ez azt jelenti, hogy vannak olyan rendszerek, melyek determinisztikusak ugyan (az F(x) függvény egyértelműen meghatározza az xi sorozat következő elemét), mégsem jósolható meg a viselkedésük (hiszen közeli kezdeti feltételek esetén is gyorsan „szétverődnek” a trajektóriák): ezeket a rendszereket nevezzük kaotikus dinamikai rendszereknek. Láthattuk, hogy Rényi megdöbbentő eredményének kulcsa az irracionális szám volt, hiszen csak az irracionális kezdeti feltétel esetén viselkedik a trajektória véletlenszerűen.
Bármennyire is elgondolkoztató az eddigi történet, talán hajlamosak
volnánk matematikai, esetleg filozófiai érdekességnek tekinteni, hiszen
az elmondottaknak (talán a leveles tészta kivételével) a fizikai világhoz
vajmi kevés köze volt. A következő részben azt vizsgáljuk, hogy fizikai
rendszereket is jellemezhet-e kaotikus dinamika, és vajon ezek a rendszerek
mindennapi életünket befolyásolhatják-e. Ha vannak ilyen fizikai rendszerek,
akkor Laplace álma nemcsak a mikrovilágban, a kvantummechanikán belül,
hanem a makroszintű, számunkra jól érzékelhető folyamatokban is irreális
ábrándnak bizonyul. Bár mindkét esetben egy-egy „ismeretelméleti küszöb”
választja el a megfigyelőt a valóság pontos és teljes leírásától, mégis
alapvetően eltérő jelenségekről van szó: a kvantummechanikai folyamatokat
nem tudjuk teljesen kauzális nyelven leírni, míg a kaotikus rendszereknél
erre lehetőség nyílik, ha megengedjük az irracionális számok használatát.
Kaotikus dinamikára vonatkozó első példánkat a cikk második részében az
állatvilágból fogjuk meríteni.
Köszönetnyilvánítás
A szerző Scheuring Istvánnak, Szász Domokosnak, Tél Tamásnak
és Tóth Rékának mond köszönetet értékes javaslataikért és megjegyzéseikért.
A munka az OTKA 031744 témája és a Bolyai Ösztöndíj támogatásával készült.
Irodalom
Brouwer, L. E. J: Collected works, Vol. 1. Ed. A. Heyting,
North Holland/American Elsevier, 1975.
Gruiz M.: A koatikus mechanika kapcsolata Platónnal és a
leveles tésztával. Természet Világa, 129. évf. p. 389. (1998.)
Horváth I.: Szakácskönyv. Vince Kiadó, Budapest, 2001.
Jánossy L. (szerk.): Kvantummechanika. Akadémiai Kiadó,
Budapest, 1971.
Kanada, Y.: https://www.lupi.ch/PiSites/Pi-Rekord.html
(1999.)
Kolmogorov, A. N.: A valószínűségszámítás alapfogalmai.
Gondolat, Budapest, 1982.
Laplace (P. Simon): A philosophical essay on probabilities.
Dover Publications, Inc. New York, 1995.
Rényi A.: Real numbers and their ergodic properties.
Acta Math. Acad. Sci. Hung. Vol. 8., pp 477–493, 1957.
Singh, S: A nagy Fermat-sejtés. Park Kiadó, Budapest,
1999.
Ruzsa I.: Klasszikus, modális és intenzionális logika.
Akadémiai Kiadó, Budapest, 1984.
| Természet Világa, | 133. évfolyam, 9. szám, 2002. szeptember
https://www.chemonet.hu/TermVil/ https://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/ |
Vissza a tartalomjegyzékhez