MATEMATIKA

A budapesi Ludwig Múzweum és a grazi Neue Galerie az osztrák millennium és a magyar millecentenárium alkalmábôl "A mûvészeten túl" címmel kiállítást szervezett. A kiállítás jól kiválasztott példákkal igyekezett megmutatni Ausztria és Magyarország közös kultúr- és szellemtörténetét. Része volt ennek matematikánk kiemelkedô egyéniségeinek bemutatása. A kiállítás szervezôi 1996 nyarán arra kérték Erdôs Pált, írjon magáról, hogyan lett matematikus. A mûvészettörténész hölgyek kérésére Pali bácsi tollat fogott, és vonalas füzetében írni kezdett magáról. Sajnos, az utolsó alkalommal...
Ezt az írást adjuk most közre, a Ludwig Múzeum szíves engedélyével. Az eredeti szövegen nem akartunk szerkesztéssel változtatni.

A világyegyetemi tanár (Fekete Géza rajza)

1913. március 26-án születtem, szüleim matematikatanárok voltak, az egyetemen ismerkedtek meg. Szüleimet születésemkor szörnyû csapás érte. Két testvérem volt, 3 és 5 évesek, és mialatt Anyuka a kórházban volt, születésem közben, 24 óra alatt mindkét nôvérem szeptikus skarlátban meghalt. Akkor még persze sem szulfa, sem penicillin nem volt. Anyuka késôbb sokszor említette, szerencse, hogy tanítania kellett és így kénytelen volt összeszednie magát, de sohase tudta e szörnyû csapást elfelejteni.

1914. augusztus elején édesapámat behívták katonának. Az orosz frontra vitték és hamarosan hadifogoly lett, még 1914 augusztusában. Hat évet töltött szibériában. Mint tisztnek nem volt túl rossz dolga, és a hadifogságban jól megtanult angolul és franciául. Anyuka tanított és én sokszor voltam egyedül a német (osztrák) kisasszonnyal, így már 3 éves koromban megtanultam németül, szüleim is jól tudtak németül. Anyuka Vágbesztercén született, anyanyelve szlovák és német volt, de perfektül beszélt magyarul. Édesapám Hódmezôvásárhelyen született. Három-négy éves koromban már jól tudtam számolni, ugyanis akartam tudni, mikor lesz vakáció, és mikor nem kell Anyukának iskolába mennie. Igen sokat játszottam a naptárral és hamarosan jól tudtam fejben számolni. Legnagyobb felfedezésem az volt, hogy négyéves koromban Anyukával közöltem: ha 100-ból kivonunk 250-et, 0 alatt 150-et kapunk, ezután Anyuka persze elmondta, hogy vannak negatív számok. Elemibe nem jártam, Anyukával tanultam, és mikor vizsgáztam elsô elemibôl, mindjárt a második elemibôl is levizsgáztattak, így nyertem egy évet. 1920-ban édesapám hazajött Vlagyivosztokból egy francia hajóval, hamarosan elkezdtünk angolul tanulni, és 10 éves koromban édesapám elmondta annak bizonyítását, hogy végtelen sok prímszám van, és hogy a prímszámok között tetszôlegesen nagy hézagok vannak, így barátságom a prímszámokkal korán kezdôdött. Sok matematikát tanultam szüleimtôl, fôleg az elemi magasabb matematikát édesapámtól. Tízéves koromban még magyar nacionalista voltam, de édesapám sokat vitatkozott velem, és 12 éves koromban már internacionalista lettem. Sajonos Magyarország félig fasiszta és antiszemita volt, és tudtam, ha lehet, Nyugat-Európába kell mennem. Elég korán kezdtem komolyan matematikával foglalkozni, de nem voltam olyan szenzációs csodagyerek, mint késôbbi tanítványaim, Pósa és Lovász.

Talán még egy korai történetet szeretnék elmondani, ami talán megmagyarázza függetlenségemet. 1919 végén és 1920-ban sokszor lehetett látni, hogy zsidókat megvernek az utcán (fôleg ha még azzal gyanúsították ôket, hogy kommunisták). Anyuka egyszer kérdezte, nem kellene-e kikeresztelkednünk? Azt válaszoltam: "te tehetsz, amit akarsz, de én maradok annak, aminek születtem". Zsidó voltom tulajdonképpen nem jelentett nekem semmit, de talán ösztönszerûleg nem szerettem, ha külsô hatalmak dirigálnak. Talán ez magyarázza késôbbi mondásomat: sem Samu, sem József nem határozhatják meg, hogy mikor és hova utazhatom. (Samu = Uncle Sam = USA, József = Szovjetunió, Sztálin). Talán elég magamról ennyi, több részlet van még Babai és Bollobás cikkeiben egy emlékemre (80. születésnapomra) írt kötetben.

A vonalas füzetbe írni kezdett...	...majd problémákon töprengett

Most rátérek a matematikára. Elôször a prímszámokról szeretnék beszélni. Elsô cikkemben egy új bizonyítást csináltam Csebisev tételére, ami szerint minden n-re van prímszám n és 2n között. Jelölje p_n az n-edik prímszámot, még 1933 végén bebizonyítottam, hogy végtelen sok n-re

(1)                    p_n+1 - p_n > c logn log logn / (log log logn)²

1938-ban Rankin kissé élesítette e tételt. A számlálóhoz még egy loglogloglog n faktort hozzátett. Ezt eddig senki se javította meg lényegesen. Tehát senki se bizonyította be, hogy van olyan f(n), mely n-nel együtt végtelenhez tart és melyre végtelen sok n-re

(2)                    p_n+1 - p_n > logn log logn log log log logn · f(n) / (log log logn)²

A (2) bizonyításáért legalább 3000 dollárt adnék. Bizonyára p_n+1 - p_n maximumának valódi nagyságrendje kb. (logn)² lesz, de e kérdés talán sok ezer évig eldönthetetlen lesz. A számelmélet tele van rendkívül egyszerû és majdnem megoldhatatlannak látszó problémákkal, 1912-ben a cambridge-i nemzetközi konferencián Edmund Landau 4 problémát mondott, melyek "a tudomány mai állása mellett elérhetetlenek". Ezek a problémák még mindig megoldatlanok:

I. minden páros szám két prímszám összege,

II. végtelen sok ikerprímszám van, azaz végetelen sok prímszám p_n, melyben p_n+2 is prímszám,

III. két négyzetszám között mindig van prímszám,

IV. végtelen sok n²+1 alakú prímszám van.

Annyit már tudunk, hogy minden elegendô nagy szám három prímszám összege, és ha n elég nagy, akkor n³ és (n+1)³ között van prímszám.

Talán még elmondanám elsô komoly problémámat 1931-bôl. 500 dollárt ígértek a válaszért. Legyen
1 <= a₁ < a₂ < ... < a_k <= n és az összes részösszegek mind különbözôek, például 2 hatványainak megvan ez a tulajdonsága.

Igaz-e, hogy

max k < (logn / log2) + c,

ahol c egy n-tôl nem függô konstans. Talán k legfeljebb r + 2, ha n = 2^r.

Igen sok más eredményem is van számelméletbôl, talán egyik legjelentôsebb eredményem a közös munkánk Kaccal, mely talán egyik elindítója volt a valószínûségszámítás alkalmazásának számelméletben és mely remélem a szerzôket századokkal fogja túlélni. Munkánk 1935 márciusában kezdôdött, és nem tudtuk volna egyedül megcsinálni, ugyanis én nem tudtam elég valószínûségszámítást és Kac nem tudott elég számelméletet, Jó példa volt a közös munka hasznára. E cikk rövidsége miatt nem említem Turánnal való cikkemet az interpolációról és a statisztikus csoportelméletrôl, Hajnallal és másokkal való halmazelméleti eredményeinket, és Sárközy és Szemerédivel való számelméleti eredményeinket. T. Sós Verával (Turán Pál felesége és munkatársa) való számelméleti és gráfelméleti sok cikkemet is kihagyom. Még csak egy számelméleti és geometriai tételt akarok említeni. Selfridge és én bebizonyítottuk, hogy egymás után következô számok szorzata sohase lehet hatványszám. 1932-ben Klein Eszter (késôbb Szekeres felesége) kérdezte: legyen f(n) a legkisebb szám, melyre bármely f(n) pont a síkban, melyek között nincs három egy egyenesen, mindig meghatároznak egy konvex n-szöget. f(4)=5 az ô megjegyzése volt, f(5)=9 Makai (az idôsebb) és Turán eredménye. Szekeres és én bebizonyítottuk, hogy

Valószínûleg f(n)=2^n-2+1, de már f(6)=17 nincs meg.

Valószínûleg több cikkem van, mint bárki másnak, és több emberrel közös cikkem, de a régi magyar parlamentben, melyben csak nemesek voltak, mondták, nem számolni, de mérlegelni kell a szavazatokat. Ez a politikában nem volt helyes és demokratikus, de biztosan helyes a tudományban.

Vissza a tartalomjegyzékhez