FIZIKA

1. ábra. Darryl O'Conorr, Darrell Jones és Greg Wallace gyôztes alkotása egy 1997 júniusi homokszobrászversenyen. Hasonló versenyeket szinte havonta rendeznek az amerikai kontinens homokos strandjain

JÁNOSI IMRE

A homok titkai

Minden kedves érdeklôdô olvasót megnyugtatok: a cím nem a népszerû (?) televíziós szappanoperára utal. Ebben az írásban tényleg a valódi homok rejtélyes viselkedésének néhány kérdésével foglalkozunk. Vajon miféle titkokat rejthet a tudomány számára a közönséges homok, gyermekkorunk kedvenc játékszere? Ha utánagondolunk, bizonyára belátjuk hogy szinte semmilyen természetes anyag sem versenyezhet a homok sokoldalúságával: ha száraz, folyadékként öntögethetjük, mégsem merülünk el benne, ha pedig nedves, az egyszerû gombóctól kezdve egészen a soktornyú várakig építhetünk belôle ezernyi formát.

A homok csak egy a környezetünkben található szemcsés (granuláris) anyagok közül. Az iparban óriási mennyiségben dolgoznak fel finomra ôrölt alapanyagokat, különösen a bányászat, élelmiszeripar, gyógyszergyártás és az építôipar területén. A granuláris anyagok viselkedésének megértése igen fontos még a geológia különbözô területein is, mert a sziklaomlások, eróziós folyamatok, hordaléklerakódások vagy a vulkáni tevékenység bizonyos fajtái döntô mértékben járultak/járulnak hozzá a földfelszín kialakulásához.

A granuláris anyagok nagyon nagyszámú szilárd, makroszkopikus szemcsébôl állnak. Ennél pontosabb definíció aligha adható, ugyanis például a jellemzô szemcseméret néhány mikrontól (finom festékporok), a milliméteres skálán át (homok) a méteresig (köomlások) legalább hat nagyságrendet fognak át, nem is beszélve a szemcsék alakjának, anyagának, felületi tulajdonságainak sokféleségérôl. Ha a szemcsék közti kohéziós kölcsönhatás elhanyagolható mértékû (pl. száraz granuláris anyagok), a sokaság alakját lényegében a gravitációs erô, az érintkezési pontokon ható taszító kontakterôk, illetve a külsô határolófalak határozzák meg. Ezért például a granuláris anyagok sztatikája elsô látásra nem tûnik bonyolultnak, de ez a benyomásunk bizony igen távol áll a valóságtól.

2. ábra. A száraz granuláris anyagokból épített dombok lejtôje egy anyagi minôségtôl függô a meredekséggel, az úgynevezett rézsûszöggel jellemezhetô

Kezdjük talán a legegyszerûbb esettel, építsünk száraz szemcsékbôl egy kupacot. Ha egy szûk nyíláson, pl. egy tölcsér száján keresztül öntjük az anyagot a rakás tetejére, jellegzetes kúp alakú dombot kapunk [1, 2]. Ha sík lapon kezdjük az építést, a dombocska meredeksége egy darabig növekszik, majd elér egy maximális értéket, amelynél meredekebb lejtôt nem tudunk létrehozni (2. ábra). Ez a szemcsék méretétôl, anyagi minôségétôl, alakjától, felületi érdességétôl, és nedvességétôl függô a meredekség, az ún. rézsûszög, látszólag jól jellemzi az adott anyagot. Ezen az észrevételen alapulva vezette be Charles Coulomb 1773-ban a homokrakásokkal kapcsolatos makroszkopikus súrlódási együttható fogalmát, amely a rézsûszöggel kifejezve m= tan (alfa). (Ez egyszerûen egy lejtôn nyugvó szemcse egyensúlyi feltételébôl adódik.) A rézsûszög vagy a makroszkopikus súrlódási együttható meghatározásának nagy a gyakorlati fontossága ipari méretekben, hiszen nem mindegy, hogy egy adott anyagból milyen magas rakás építhetô, mennyire terjed szét oldalra, és ez mekkora fajlagos terhelést jelent a tárolók padlózatára, illetve oldalfalaira. Talán meglepô, de ezidáig nem sikerült megfelelô elméleti eljárást kidolgozni a szemcsék egyedi tulajdonságain alapuló rézsûszög-becslésre. Az azonban, hogy még mérni sem lehet egyértelmûen, már a granuláris anyagok igen bonyolult viselkedésére utal.

3. ábra. Négy gyakran használt módszer a rézsûszög meghatározására: (A) Hengeres tartályba felfüggesztett kör alakú lemezen kúpos rakás marad, ha az anyagot alul kiürítjük. (B) Egyenes falú tartály egyik alsó éle mentén kiürítve megmérhetô a visszamaradó lejtô meredeksége. (C) Alulról sík körlappal lezárt hengeres konténert kis nyíláson át kiürítünk, a kúp alakú kráter meredeksége adja a rézsûszöget. (D) Majdnem félig töltött forgódobban lassú forgatás mellett kialakuló lejtô meredeksége az ún. dinamikus rézsûszög

A rézsûszög definíciója azon alapul, hogy a száraz szemcsékbôl épített dombok lejtôje egyenessel közelíthetô. Ez sok esetben többé-kevésbé teljesül is, bár a rakások lábazata például jellegzetes eltérést mutat az egyenestôl. Nagyobb problémát okoz, hogy a mérési eredmény erôsen függhet magától a mérési módszertôl. Ennek illusztrálására a 3. ábrán feltüntettünk négy különbözô eljárást, melyeket ipari alkalmazásokra fejlesztettek ki, a 4. ábrán pedig néhány mérési eredményt egy sor eltérô szemcsével. (Megjegyzendô, hogy a 4. ábra adatai nem egyedi méréseket, hanem sok mérés átlagértékeit szemléltetik.) Igen figyelemre méltó, hogy a rézsûszögek nem szisztematikusan változnak módszerrôl módszerre, mindenfajta szemcse egyedi arculatot mutat. Ezért aztán a mérnöki gyakorlatban jobb híján vaskos táblázatokat használnak, amelyben a leggyakoribb anyagfajtákra mért meredekségeket tüntetik fel - a mérési módszer pontos leírásával együtt. A jelenség részletes megértésétôl még igen messze vagyunk, mindenesetre az biztos, hogy egy sajátos "memóriaeffektussal" állunk szemben. Ez röviden annyit jelent, hogy a pakolás alakját, a szemcsék közti kontakterôk hálózatát és magát a mikroszerkezetet sem tudjuk anélkül megadni, hogy ismernénk a rakás "elôtörténetét", azaz a dinamikai folyamatok összes részletét, melyek a felépítésben szerepet játszottak.

4. ábra. Rézsûszögmérési eredmények különbözô szemcsékre, a 3. ábrán vázolt módszerekkel. 1: kétféle üveggyöngy, 2: gömbölyû szemcsés homok, 3: tápiókamagok, 4: háromféle durvaszemcsés homok, 5: darabos szén (Adatok [3]-ból)

A fent említett memóriajelenség rávilágít a granuláris anyagok egyik alapvetô tulajdonságára, amelyet a szaknyelv "atermikus" viselkedésnek nevez. Ez annyit jelent, hogy a szemcsék makroszkopikus mérete miatt normálhômérsékleten a termikus gerjesztések nem játszanak szerepet. Így aztán ha a mozgást kiváltó külsô mechanikai hatás megszûnik, a súrlódási erôk és rugalmatlan ütközések miatt a mozgási energia elôbb-utóbb nullára csökken, és a rendszer egyensúlyi állapotba kerül. Ám ez az egyensúly nem egyértelmû, sok esetben még csak nem is stabil, a statisztikus fizikai fogalmakat használva inkább valamiféle befagyott fluktuációval van dolgunk. Ez viszont jelentôsen megnehezíti a mérések kiértékelését, nem is beszélve a megfelelô elméleti modellek kidolgozásáról. A gázokban vagy folyadékokban ragyogóan mûködô "termikus önátlagolás" hiányában még az átlagérték fogalma is nehezen definiálható egy granuláris rendszerben. (A termikus önátlagolás lényege egy példán keresztül: mérjük meg a nyomást egy gáztartály falának kis felületdarabján. Minthogy szobahômérsékleten az atomok vagy molekulák mozgása soha nem áll le, a tartály falán rövid idô alatt is milliárdnyi ütközés következik be, melyeknek együttes hatását definiáljuk nyomásként. Érzékeny mûszerrel a stabil átlagérték körüli pici ingadozások is kimutathatók. A szemcsés anyagokban azonban nincs mozgás, így a mért nyomás betöltésrôl betöltésre változik, néha óriási eltéréseket mutatva. Egy stabil átlagérték meghatározásához elvileg olyan hatalmas számú mérés lenne szükséges, ami a gyakorlatban semmiképpen sem végrehajtható.)

Egy granuláris sokaság szemcséinek mozgását persze tetszôlegesen hosszú ideig fenntarthatjuk, ha gondoskodunk a rendszerbôl elveszô, fôleg hôvé alakuló energia utánpótlásáról, azaz a külsô mechanikai gerjesztés folyamatosságáról. Ezt igen sokféle módon megvalósíthatjuk a gyakorlatban, lehet az anyagot zötykölni, keverni, rázni, öntögetni stb. A sztatikai tulajdonságok bonyolultságából esetleg arra gondolhatunk, hogy a dinamikai viselkedés is meglepôen összetett sajátosságokat mutathat: ez esetben nem tévedtünk, de megérzéseink a részletek tekintetében sokszor félrevezetôk lehetnek.

Azt hihetnénk például, hogy kétféle méretû, fajsúlyú vagy felületi érdességû szemcsébôl álló keverék homogenizáláshoz a legcélszerûbb módszer egy jó erôs összerázás, vagy egy forgódobban történô alapos átforgatás. A témában érintett mérnökök azonban már generációk óta tisztában vannak vele, hogy éppen ellenkezôleg: a granuláris keverékek szinte minden mechanikai behatásra spontán elkülönüléssel, azaz szegregációval válaszolnak. Ez annyit jelent, hogy az eltérô tulajdonságú szemcsék eltérô térrészben gyûlnek össze. A szegregációval kapcsolatban egy nemrég felfedezett érdekes jelenségre térnénk ki.

5. ábra. Méretszegregáció és spontán rétegzôdés barnacukor (sötétebb) valamint kisméretû üveggyöngy (világosabb) keverékében. Az anyagot két darab 20x30 cm-es párhuzamos üveglap közé töltötték egy tölcséren keresztül a baloldali lezárt élhez közel, az üveglapok közti távolság itt 5 mm-es. A barnacukor rézsûszöge alfa=39 fok volt, míg az üveggyönggyé alfa=26 fok ([4] nyomán)

Ha két különbözô méretû szemcse keverékébôl építünk egy kupacot, akkor a nagyobb szemcsék a lejtô alján gyûlnek össze, míg a domb tetején inkább a kisebbeket találjuk meg. (Ezt mindenki ismeri, aki egyszer is lapátolt homokot vagy sódert.) Kapcsolódó kísérletek közben észlelték amerikai fizikusok [4], hogy ha a nagyobb szemcséknek ráadásul nagyobb a rézsûszöge is, akkor bizonyos körülmények között a méretszegregáció mellett még spontán rétegzôdés is megfigyelhetô (5. ábra). E jelenséget a lejtôn legördülô lavinák tulajdonságainak részletes vizsgálatával érthetjük meg [5]. Röviden, a lejtô alját elérô szemcsék egy sajátos könyököt formálnak, amelyen a további szemcsék fennakadnak, és bekövetkezik egy lokális szegregáció: a kisebb szemcsék alulra, a nagyobbak felülre kerülnek. Ez a könyök aztán a lejtôn felfelé mozogva egy kettôs réteget hagy maga után, azaz egy sötét-világos csíkpár egyszerre képzôdik. Ha a könyök eléri a rakás tetejét, nincs ami a következô lavinát megakassza, ezért egy új ciklus kezdôdik.

Az így formálódó rétegzett szerkezet igen nagy hasonlóságot mutat bizonyos üledékes homokkôzetekben található csíkos mintázatokkal. A hipotézis kézenfekvônek tûnik [6]: lehetséges, hogy e kôzetek periodikus mintázottsága az üledékképzôdést kísérô lavinafolyásoknál kialakuló spontán rétegzôdés miatt alakult ki? Amellett, hogy számos geológus kétségeit fejezte ki a feltevéssel kapcsolatban, egy újabb kísérleti beszámoló is arra figyelmeztet, hogy ne bízzunk megérzéseinkben, ha granuláris anyagokról van szó. Részletes ellenôrzô vizsgálatok kiderítették, hogy ha a kísérleti összeállításnál a párhuzamos üveglapok távolságát fokozatosan növeljük, a rétegzôdés egyre gyengébben észlelhetô, majd teljesen el is tûnik [7]. Hasonlóan, a keverék betöltési sebességét is egy kritikus paraméternek találták, azaz túl lassú, vagy túl gyors lavinák sem kedveznek a csíkosodásnak.

A fenti jelenségek jól illusztrálják, de általában is igaz, hogy granuláris anyagok viselkedésénél meghatározó jelentôsége van a szemcsék felületi tulajdonságainak. Ezen felületi tulajdonságok beható vizsgálata néha még régi legendákra is természettudományos magyarázatot adhat, példaként álljon itt a "zajongó homokdombok" esete.

Jó 1500 évvel ezelôtt számoltak be elôször bátor sivatagi utazók rejtélyes homokdombokról, amelyek enyhe légmozgások hatására is hihetetlen erejû zajt hallattak.

A hanghatást mély búgásként, zengés-bongásként, vagy milliónyi darázs zümmögéseként írták le, e századi megfigyelôk szerint a hangerôsség néha még a lökhajtásos repülôgép landolásánál észlelhetô zajszintet is eléri. Egy ôsi legenda a homokdombok zenéjét a sivatag mélyén eltemetett kolostorok harangjainak tulajdonította, egy másik monda szerint a hang sivatagi szirének éneke, akik az utazókat igyekeznek biztos halálba csábítani.

Az észlelések, feljegyzések az idôk során egyre szaporodtak, de csak századunk ötvenes éveiben sikerült az elsô lépést megtenni a rejtély megfejtésének irányában. Ralph A. Bagnold, a granuláris anyagok fizikai kutatásának egyik megalapozója, maga is számos expedíciót vezetett a Szaharába, és a helyszínen tanulmányozta többek közt a zajongó homokdombokat is. A szemcsék mikroszkóp alatti szemrevételezése után jegyezte fel, hogy az éneklô homokban nagyon kevés por vagy egyéb szennyezôdés található. Arról is beszámolt, hogy néhány esetben a legerôsebb hanghatás akkor volt észlelhetô, mikor a domb egy könnyû esôt követôen éppen megszáradt. Egy késôbb elvégzett kísérletben közönséges és zajongó homokba szúrtak sima fémrudakat, és a felületi sérüléseket hasonlították össze. A észlelések szerint a "néma" homok a felületet összevissza karcolta, ami a szemcsék véletlenszerû elmozdulásaira utal. A zajongó homok azonban a fém felületébe közel párhuzamos, igen mély rovásokat vésett. Ebbôl arra következtettek, hogy a szemcsék között anomálisan nagy a tapadási súrlódás, mert a mély rovátkákat csak több szemcsébôl összetapadt csomócskák rendezett elmozdulása hozhatta létre.

A felületi tulajdonságok még pontosabb jellemzéséhez a legkorszerûbb labortechnikát vetették be [8]. A mérések szerint a szemcsék anyaga nem meghatározó (a Szaharában fôleg kvarchomokból, de pl. Hawaii szigetein mészkô-ásványokból álló rakások zajonganak), annál inkább a felületen kötött vízmolekulák jelenléte. A szemcsék felületi anyaga és a víz egy szilikagélszerû bevonatot hoz létre, amely nagyon jó tapadási tulajdonságokkal rendelkezik. Az ötlet ellenôrzésére laborban is elôállítottak zajongó homokot. Közönséges szemcséket gömbölyded alakúra csiszoltak, eközben folyamatosan kiszitálták a törmeléket, és idôrôl idôre nedvesítéssel pótolták a felületrôl lekopó bevonathoz szükséges vizet. Az utolsó lépés azért még hátravan, ugyanis nem ismert a hangkeltés pontos mechanizmusa. Valószínûleg a szél által megmozgatott zajongó homokban a szemcsék nem külön-külön, hanem összetapadva gördülnek le a dombok oldalán, és esetleg olyan rezgési mintázatok jöhetnek létre, amely az észlelt hanghatásokat eredményezi.

6. ábra. Kísérleti összeállítás függôlegesen rezgetett granuláris rétegek mintázatképzôdésének tanulmányozására

A granuláris anyagok fizikájának egy másik, intenzíven kutatott ága különbözô mintázatképzôdési jelenségekkel kapcsolatos. Errôl a témáról is köteteket lehetne írni, itt ismét csak egy egyszerû kísérleti összeállításból kiindulva szeretnénk érzékeltetni a homok viselkedésének kifogyhatatlan gazdaságát: vegyünk egy maroknyi szemcsés anyagot, tegyük egy vízszintes fenekû edénybe, és kezdjük el az edényt függôlegesen rezgetni (6. ábra). Ezt a gyakorlatban hangszóró membránnal, vagy egyéb periodikus mozgást elôállító rázószerkezettel valósíthatjuk meg. A kísérlet kontrollparaméterei a szemcsék tulajdonságain kívül a d rétegvastagság, a (rendszerint szinuszos) rezgetés A amplitúdója és f frekvenciája, vagy az ezekbôl meghatározható = 4p²pi²A maximális gyorsulás.

7. ábra. 0,17 mm átmérôjû bronzgolyócskákból álló, 1,2 mm vastag rétegben kialakuló felületi mintázatok különbözô rezgési paramétereknél ([8] nyomán)

8. ábra. 0,17 mm átmérôjû bronzgolyócskákból álló, 2,2 mm vastag réteg morfológiai fázisdiagramja az f frekvencia és a maximális gyorsulás függvényében, ez utóbbi g-egységekben mérve. (g=9,81 m/s2, a nehézségi gyorsulás.) A fázisok; (a) négyzetrács, (b) négyzetek-csíkok, (c) csíkok, (s) sík felület, (o) oszcillonok (Adatok [8] nyomán)

Jelenségek egész sorát figyeljük meg. Konvektív örvények, spontán dombképzôdés, szegregáció, haladó felületi hullámok, buborékosodás, csak hogy néhányat említsünk. Ha a szemcsék rétegvastagsága nem túl nagy, a felületen állóhullámok alakulhatnak ki, melyek változatos mintázatokba rendezôdnek (7. ábra). Négyzetrács, hatszöges szerkezet, lépcsôzött sík felületek, furcsa vonalas struktúrák, rendezetlen mintázatok stb., még szavakat is nehéz találni a sokféle formáció leírására. Ha valaki veszi a fáradságot, és a paraméterek finom változtatásával módszeresen feltérképezi a mintázatokat, egy a 8. ábrához hasonló ún. morfológiai fázisdiagramot kaphat eredményül [9]. A diagram közepén (o)val jelölt tartományban egy sajátos, oszcillonnak nevezett mintázat elôfordulása a jellemzô (8. ábra). Ez az oszcillon egy lokalizált, köralapú, tengelyszimmetrikus gerjesztés, amely f/2 frekvenciával oszcillál. Az edény egy teljes rezgési periódusa alatt csúcsként jelentkezik (9. ábra), a következô periódusban pedig kúp alakú kráterként. Csak akkor található meg, ha (bronzgolyók esetén) a rétegvastagság legalább 13 szemcseátmérô, egyébként növekvô vastagságnál az oszcillonoknak kedvezô frekvenciatartomány is kiszélesedik [9]. Érdekes még az is, hogy oszcillonok nem keletkeznek maguktól a sík felületbôl, kísérletileg általában a nagy G értékekhez tartozó mintázott fázisból érhetôk el a rezgetési amplitúdó fokozatos csökkentésével.

9. ábra. Az "oszcillon" nevû rezgetési gerjesztés maximális pozitív amplitúdójú fázisban ([8] nyomán)

A félreértések elkerülése végett megemlítjük, hogy a 7. ábrán is látható felületi mintázatoknak nincsen semmi közük a Chladni-féle hangábrákhoz, hacsak az nem, hogy mindkét esetben finom, szemcsés homok használatos a kísérletekben. (Emlékeztetôül: Chladni 1787-ben végzett kísérleteivel különbözô alakú rugalmas membránok sajátrezgési módusait tette láthatóvá úgy, hogy finom port szórt a membránokra, amely rezgetéskor a csomóvonalakban gyûlt össze.) A merev falú edényben rezgetett granuláris rétegek felületi mintázatai a szemcsék közti ütközések bonyolult láncolatait tartalmazó kollektív jelenségek, melyek megértése még szintén gyermekcipôben jár.

Ha már a granuláris anyagok elméleti megértése került szóba, errôl annyit jegyeznénk meg, hogy a jelenlegi próbálkozások két fô irányból közelítik meg a problémakört. Az egyik, kihasználva a számítástechnika fejlettségébôl adódó lehetôségeket, a sokaság "mikroszkopikus", minden egyes szemcsét nyomon követô szimulációin alapul. E kutatások igen ígéretesek, számos jelenséget sikerült már kielégítôen reprodukálni. A szimulációs módszerek fejlesztésének egy igen fontos eredménye, hogy az egyedi szemcsék, illetve a súrlódási/ütközési folyamatok mikroszintû leírását nagymértékben sikerült pontosítani - ezek egyike sem magától értetôdô kérdés. A másik irányzat a hidrodinamikai mozgásegyenletekhez hasonló kontinuumleírással kísérletezik, sûrûségjellegû mennyiségek bevezetésén keresztül. Ezt nagy mértékben megnehezíti a már említett atermikus tulajdonság, vagy az, hogy a granuláris áramlás a szemcsemérethez képest nagyon rövid hosszúságskálákon is jelentôsen megváltozhat (pl. a granuláris hullámok jellemzô hullámhossza mindössze néhány szemcseátmérô is lehet).

Ezt a rövid áttekintést azzal zárnánk, hogy az itt felvillantott jelenségek a témakör csak egy nagyon szûk keresztmetszetét nyújthatták. Számtalan egyéb elméleti és gyakorlati kérdés vár még megoldásra, néhányat említenénk ezek közül. Egy gyakorlati példa: a granuláris anyagok nagy tömegû tárolására használt silók minden egyéb mérnöki szerkezetnél "megbízhatatlanabbak". Egy friss német statisztikai adat szerint az átlagosnál mintegy nyolcszázszor (!) gyakrabban következnek be meghibásodások szemcsés anyagok tárolóiban. Emlékezetes baleset pl. a közelmúltból egy németországi cementgyárban álló siló teljesen váratlan összeomlása, melynek következtében a gyár területét vastagon borította be a cement. Mire a kármentést elkezdhették volna, eleredt egy kiadós esô. A gyakori problémák oka nem nagyon érthetô, valószínûleg egyszerûen keveset tudunk még arról, hogy miféle dinamikai folyamatok, instabilitást okozó áramlások zajlanak a granuláris anyagok belsejében.

Nem érintettünk itt egy másik fontos kérdést sem, amely a szemcsék közti üregeket kitöltô közeggel kapcsolatos. Valójában a granuláris anyagok kétfázisú keveréknek számítanak, és számos esetben a szemcseközi levegô vagy folyadék áramlása döntôen befolyásolja a jelenségek lefolyását. Ha pl. egy homokóra alsó edényét kinyitjuk, az óra "ketyegni" kezd, azaz a homok nem folytonosan, hanem periodikusan ingadozó intenzitással folyik át a torkolaton. Ez megérthetô, ha figyelembe vesszük a levegô ellenáramának és a szemcséknek a kölcsönhatását. Aztán nem esett szó még a természeti folyamatokról sem, melyekben granuláris anyagok játsszák a fôszerepet: a szélfútta dûnék kialakulásáról, a hegyomlások, lavinák, vagy földcsuszamlások sajátosságairól, és még egy sor egyéb érdekességrôl.

Egy biztos, a szemcsés anyagokkal kapcsolatos kutatások még hosszú ideig bôvelkednek majd újabb és újabb témákban, a jelenségek gazdagságát még csak mostanában kezdjük feltérképezni. Tanulságként talán annyit illene mondanom, hogy a granuláris anyagokkal kapcsolatban ne nagyon hagyatkozzunk benyomásainkra.

IRODALOM

[1] Horváth Gábor: A lejtôn nincs megállás? Élet és Tudomány, XLIII, 616 (1988).

[2] Jánosi Imre: Zajongó homokdombok és egyéb furcsaságok. Fizikai Szemle XLV 78, (1995).

[3] R. L Brown, J. C. Richards, Principles of Powder Mechanics, (Pergamon, Oxford, 1970).

[4] H. A. Makse, S. Havlin, P R. King, H. E. Stanley: Spontaneous stratification in granular mixtures. Nature 386, 379 (1997).

(5] H. A. Makse, P Cizeau, H. E. Stanley: Possible stratification mechanism in granular mixtures. Phys. Rev. Lett. 78, 3298 (1997).

[6] H. A. Makse et al.: Pattern formation in sedimentary rocks. Physica (Amsterdam) A 233, 587 (1996).

[7] J. Koeppe, M. Enz, J. Kakalios: Avalanche segregation of granular media. In Powders Grains `97, eds. Behringer and Jenkins (Balkema, Rotterdam, 1997), p. 443.

[8] D. E. Goldsack, M. F Leach, C. Kilkenny: Natural and artificial `singing' sand. Nature, 386, 29 (1997).

[9] P B. Umbanhowar, F Melo, H. L. Swinney: Localized excitations in a vertically vibrated granular layer. Nature 382, 793 (1996).

Vissza a tartalomjegyzékhez