NÉZÔPONT

Reuben Hersh “What is mathematics, really?” (Oxford University Press) címû könyvének véleményezése gyötrelmes feladat. Amilyen nagyra értékelem a szerzõt, mint matematikust, olyan kevésre becsülöm a matematikáról alkotott filozófiai nézeteit. Most, hogy nyugdíjba vonult, Hersh a modern matematikusoknak ahhoz a kis csoportjához csatlakozott, akik tagadják a matematikai objektumok és tételek emberi agyon kívüli realitását. A saját szavait idézve: a matematika “emberi tevékenység, egy társadalmi jelenség, része az emberiség kultúrájának, történetileg fejlõdött ki és csak társadalmi kapcsolataiban érthetõ meg. Én ezt a nézõpontot 'humanistának' nevezem.”

Késõbb azt írja: “ a matematika olyan, mint a pénz, a háború vagy a vallás – nem fizikai, nem szellemi, hanem társadalmi természetû.” Vagy: “társadalmi történetiség, ez minden, amire a matematikának szüksége van, felejtsük el a lényegtelen, embertelen realitásokat.”

Senki nem tagadja, hogy a matematika része az emberi kultúrának. Minden, amit emberek csinálnak, az emberi cselekvés része. A kijelentés tehát olyan üres lenne, mint a vákuum, azonban Hersh ennél sokkal többet ért ezen. Hersh tagadja, hogy a matematikának az emberi elmétõl független valóságtartalma van. A csillagászat az emberi kultúra része, de a csillagok nem. Az igazán mély kérdés az, hogy valamilyen értelemben a matematika objektumai, akár a csillagok, függetlenek-e az emberi elmétõl.

Hersh elfogadja, hogy más égitesteken lehetnek élõlények, akik foglalkoznak matematikával, de az õ matematikájuk teljesen különbözõ lehet a miénktõl. Szerinte a matematika “univerzalitása” csupán “mítosz”. “Ha az X9 kvazár kis zöld emberei megmutatnák matematika tankönyveiket”, akkor Hersh szerint igen kétséges lenne, hogy azok a könyvek tartalmaznák-e a tételt, miszerint a kör területe: sugarának négyzete szorozva a p számmal. A Szíriusz bolygó matematikusainak esetleg nincs is elképzelésük a végtelenrõl, mivel ez teljességében az agyunkban létezõ fogalom. Hersh azt írja, hogy egyformán abszurd Földön kívüli matematikáról, vagy Földön kívüli mûvészetrõl és irodalomról beszélni.

Kevés kivételtõl eltekintve a matematikusok ezeket a megjegyzéseket hihetetlennek tartják. Ha az Andromédában léteznek érzõ lények, akiknek van szemük, hogyan nézhetnek fel a csillagokra úgy, hogy ne gondoljanak a végtelenre. Hogyan tudnák megszámolni a csillagokat, a kavicsokat, vagy sajátmagukat, anélkül, hogy tudnák: kettõ meg kettõ az négy? Hogyan tanulmányozhatnák a kört, ha egyáltalán van agyuk, anélkül, hogy felfedeznék: területe a sugár négyzete szorozva a p számmal?

Hogyan lehetséges az, hogy a matematika, amely nyilvánvalóan az emberek agyának terméke, olyan meglepõ alkalmazásokra lel a fizikai világban, még az emberi tapasztalattól annyira távol esõ területeken is, mint a relativitáselmélet vagy a kvantummechanika. A legegyszerûbb válasz az, hogy a világ “ott kinn”, amelyet nem mi hoztunk létre, nem egy szerkezet nélküli ködféleség. Ez a világ az erõterek és részecskéik szerkezetétõl kezdve egészen a galaxisok spirálkarjaiig rendkívül bonyolult és szép matematikai struktúrákat tartalmaz. Rendkívüli arrogancia kell annak feltételezéséhez, hogy ezeknek a struktúráknak nem létezik matematikai szerkezetük, míg az ember fel nem találja a matematikát és nem alkalmazza a külsõ világra!

Vegyük a 2^1398269 – 1 számot. Errõl a 420921 számjegybõl álló óriási egész számról csak 1996-ban sikerült bebizonyítani, hogy prímszám (vagyis az egységen és sajátmagán kívül nincs osztója). A realista habozás nélkül kimondja, hogy ez a szám akkor is prímszám volt, amikor az emberek még nem léteztek, és akkor is az lesz, amikor az emberi kultúra már megszûnik létezni. És ezt a számot minden, elég nagy számítógéppel rendelkezõ Földön kívüli kultúra prímszámnak fogja találni.

A szociálkonstruktivisták más nyelvet szeretnek használni. Szerintük a prímszám tulajdonságnak nincs értelme az emberi elmén kívül. Amíg az emberek nem fedezték fel, hogyan kell számolni a külvilág egységeiben, nem volt lehetséges annak megállapítása, hogy a számok prímek vagy összetett számok-e. Ennélfogva, bizonyos értelemben, a 2^1398269 – 1 szám prím tulajdonságát a számítógép fedezte fel, annak ellenére, hogy az a szám nem volt “valóságos”, míg a társadalom létre nem hozta. Mindez természetesen igaz, de mennyivel könnyebb ezt a realizmus nyelvén kifejezni!

Egyetlen realista sem gondolja, hogy az absztrakt matematika objektumai és tételei valahol az ûrben keringenek. Az istenhívõk, mint például a fizikus Paul Dirac vagy a csillagász James Jeans, a matematikát egy transzcendens Nagy Matematikus agyából szerették származtatni. Nem kell Istenben hinni annak a feltételezéséhez – amint azt a matematikusok túlnyomó többsége teszi –, hogy a tökéletes körök és kockák valamilyen furcsa és objektív valóságtartalommal rendelkeznek. Jóval többek tehát annál, mint amit Hersh a matematikusok “közmegegyezése” részének tekint.

Becsületére legyen mondva, Hersh elismeri, hogy érdektelen kívülállóként, “felforgató támadást” intéz a hagyományos matematika ellen. Híres matematikusok – G.H. Hardy, Kurt Gödel, René Thom, Roger Penrose és mások – mondásainak egész tárházát is felvonultatja, amelyek arról szólnak, hogy a matematikai igazságot ahhoz hasonlatosan tárják fel, miként egykor a folyókat és hegyeket felfedezték. Még a sok évvel ezelõtti recenziómból is idéz, amelyben a Philip J. Davis-szel és Elena A. Marchisotto-val közösen írt “A matematika élménye” c. könyvérõl írtam. Ebben az írásomban kifejtettem, hogy ha két dinoszaurusz másik két dinoszaurusszal találkozott, akkor összesen négy volt belõlük, még akkor is, ha õk ezt nem tudták, és mindezt senki sem tudta megfigyelni.

Egy kislány papírból Möbius-szalagot csinál, majd ollóval félbevágja. Nagy meglepetésére az eredmény egyetlen nagy szalag lesz. Micsoda bizarr használata a nyelvnek az az állítás, hogy a kislány csupán a topológusok agyában és írásaiban létezõ struktúrán vizsgálódott! A papírmodell nyilvánvalóan nem a kislány agyában van, amit feltehetõen Hersh is elismer. Akkor viszont miért ragaszkodik ahhoz, hogy a topológiai struktúrák nem létezhetnek “odakinn”, mint ahogy Arisztotelész azt a papírmodell “formájának” nevezte volna? Ha egy hottentotta készítene Möbius-szalagot, ugyanazt az idõtlen tulajdonságot találná, mint ahogy egy távoli galaxisban egy Földön kívüli.

Az a tény, hogy a világmindenség olyan finom matematikai struktúrával rendelkezik, igen erõs bizonyíték arra nézve, hogy bizonyos értelemben a matematikai tulajdonságok megelõzték az emberiség keletkezését. Az agyunk matematikai objektumokat és tételeket hoz létre, mivel ilyen világban élünk, és a matematikai alkotás képessége a túlélés szempontjából értékes tulajdonság.

Amennyiben a matematika társadalmi konstrukció, akárcsak a közlekedési szabályok és a zene, akkor Hersh szerint ostobaság a tételekrõl úgy beszélni, mintha azok igazsága idõtlen lenne. Ezért aztán õ nagyon nagy súlyt helyez a matematika bizonytalanságára, de nem abban az értelemben, hogy a matematikusok gyakran követnek el hibákat. Az a tény, hogy az ember elszámolja magát takarékkönyvében, még nem rendíti meg az aritmetika törvényeit. Hersh azt állítja, hogy a matematikában egyetlen bizonyítás sem lehet abszolút biztos. Az a kijelentés, hogy kettõ meg kettõ négy, szerinte “kétségbevonható”, mivel “elképzelhetõ a tagadása”. Semmiféle bizonyítás, bármennyire szigorú is, akármennyire igazak is a premisszák abban a rendszerben, amelyre vonatkozik, “nem vezethet abszolút bizonyos következtetéshez”. Az ilyen bizonyítások “semmivel nem objektívebbek, mint a mûvészetre vagy a zenére vonatkozó esztétikai ítélet”– írja.

Döbbenetesnek tartom, hogy egy jó matematikus ennyire félreértse a bizonyítás természetét. Benjamin Peirce szerint a matematika “az a tudomány, amely levonja a szükséges következtetéseket”. Csak a matematikában (és a formális logikában) abszolút biztosak a bizonyítások. A kettõ meg kettõ az négy állítás ekvivalens azzal, hogy 12 tojás egy tucat. Ha a 4 számot bármely más egész számmal helyettesítjük, ez olyan ellentmondáshoz vezet, amely összeroppantja az aritmetika egész formális rendszerét.

Természetesen két csepp vízhez két csepp vizet adva egyetlen vízcseppet kapunk. De ez csak azért van, mert az aritmetika törvényei nem érvényesek a vízcseppekre. Kettõ meg kettõ mindig pontosan négy, mert független bármilyen empirikus tartalomtól. Tehenekre csak akkor lesz érvényes, ha hozzáadunk egy megfeleltetési szabályt, miszerint minden tehénhez az egy számot rendeljük. Pitagorasz tétele is idõtlenül igaz minden lehetséges világban, mivel a síkgeometria formális rendszerének szabályaiból és szimbólumaiból teljes bizonyossággal következik.

Az aritmetika örökérvénye elleni legvadabb támadásában Hersh annak az épületnek az analógiáját használja, amelyben nincs 13. emelet. Ha beszállunk a liftbe és megyünk felfelé nyolc emeletet, majd további öt emeletet, akkor a 14. emeleten találjuk magunkat. Hersh úgy gondolja, hogy ez a tapasztalat egyenértékû azzal, hogy nyolc meg öt az tizennégy, vagyis kétségbe vonja az aritmetika összeadási szabályát. Ezen az alapon én is megtehetem, hogy a 2 + 2 = 4 kifejezés érvényét azzal vonom kétségbe, hogy abban a 4 számjegyet az 5-tel helyettesítem.

Hersh azt képzeli, hogy mivel a “szám” fogalmát az évszázadok során folyamatosan általánosították, elõször a negatív számok, aztán a képzetes és komplex számok, kvaterniók, mátrixok, transzfinit számok stb. bevezetésével, ez a körülmény valahogyan vitathatóvá teszi a 2 + 2 = 4 érvényét. Nos, ez éppenhogy nem vitatható, mivel kizárólag az egész számokra érvényes. Ahogy Hersh kioktat bennünket: “a bizonyosság és a kétségbevonhatatlanság követelményének elejtése olyan, mintha a számegyenesrõl lemennénk a komplex számsíkra”. Ez egyszerûen hülyeség! A komplex számok másféle képzõdmények. A rájuk vonatkozó szabályoknak nincs semmi közük az egész számok összeadásához. Sõt, a komplex számokkal való számolás törvényei ugyanolyan megcáfolhatatlanok, mint az aritmetika törvényei!

Az euklideszi geometria formális rendszerén belül – ahogyan azt a nagy német matematikus, David Hilbert és mások precízen kidolgozták – a háromszögek belsõ szögeinek összege 180^o. Ahogy Hersh emlékeztet bennünket rá, ez volt Spinoza kedvenc példája a kétségbevonhatatlan állításra. Döbbenten fedeztem fel azokat az oldalakat, amelyeken Hersh ezt a tételt is kétségesnek minõsíti, mivel a nem-euklideszi geometriákban a háromszög szögeinek összege több is, meg kevesebb is lehet 180^o-nál.

A nem-euklideszi geometriák semmiképpen nem érvénytelenítik az euklideszi geometriát, mivel teljesen különbözõ formális rendszerek. Az euklideszi geometria semmit nem mond arról, hogy a téridõ euklideszi vagy nem-euklideszi szerkezetû. Hersh kijelentése – amely a háromszög szögeinek összegére vonatkozó állítást kérdõjelezi meg – olyan, mintha azt mondanánk, a kör sugarai nem egyenlõ hosszúságúak, mivel az ellipszisnél nem azok.

Hersh két fejezetet szentel azoknak a nagy gondolkodóknak, akiket “humanistáknak” (szociálkonstruktivistáknak) hisz matematika-filozófiájuk alapján. Furcsa egy lista, az biztos! Arisztotelész ott van, mivel a számokat és geometriai objektumokat Platón transzcendens világából származtatta, hogy a dolgok tulajdonságaivá tegye azokat. De azt feltételezni róla, hogy azt gondolta, ezek csupán az emberek agyában léteznek, teljes és menthetetlen félreértés. Eukliedész is humanistának minõsül – minden alap nélkül. (Az a személy, aki leginkább kiérdemli, hogy Hersh antirealista listáján szerepeljen, természetesen Raymond Wilder matematikus. Õ és antropológus barátja, Leslie White a fõ propagálói annak a véleménynek, hogy a matematikai objektumoknak az emberi kultúrán kívül nincs semmiféle realitásuk. White “A matematikai realitás helyszíne” c. esszéjét Hersch a szociálkonstruktivizmus “gyönyörû kifejtésének” nevezi.)

John Locke a listán van, mivel felismerte azt a tényt, hogy a matematikai objektumok az agyunkban léteznek. De Locke abban is hitt – és Hersh ezt is idézi! –, hogy “a matematikai igazságra vonatkozó tudás nem csak biztos, hanem valódi tudás is, nemcsak az agy hiú és jelentéktelen kiméráinak üres látomása”. Tehát a szögek, vagyis a mentális háromszög szögeinek összege 180^o. Locke hozzáteszi, hogy ez olyan háromszögre is igaz, amely “akárhol is ténylegesen létezik”. Az elkötelezett hívõ Locke legalább annyira fel lenne zaklatva, mint Arisztotelész, ha megtudná, hogy a matematika fogalma az emberi agyon kívül nem létezik.

Peirce, mint szociálkonstruktivista, szerepeltetése a listán még nehezebben indokolható. “Én magam egy kissé extrém színezetû skolasztikus realista vagyok” írta Peirce összegyüjtött mûvei 5. kötetében. (Mellesleg Hersh összes, a realizmus elleni érveit a középkori antirealisták már ellocsogták.) A 4. kötetben Peirce hivatkozik “a tiszta formák plátói világára, amellyel a matematika mindig is foglalkozott”. A 1. kötetben található a következõ bekezdés:

“Ha az ember abban a ritka szerencsében részesül, hogy kiemelkedõ matematikusokkal beszélgethet, azt találja, hogy a tipikus matematikus valamiféle platónista. …Számára az a világ az, a kozmosz az örök, amelyben a tényleges létezés univerzuma csupán egy tetszõleges helyszín. A tiszta matematika célja a lehetséges valóságos világ felfedezése.”

Hersh több kiváló fejezetet szentel a matematika története összegzésének, és a könyvét híres matematikai bizonyítások kiváló és szakértõ leírásával fejezi be. Ebben az utolsó fejezetben az a furcsa, hogy Hersh úgy ír, mintha realista lenne. Ez persze csak kevéssé meglepõ, mivel a realizmus nyelve messze a legegyszerûbb, ha matematikáról beszélünk.

Hersh újra meg újra azt mondja, hogy “felfedezünk” matematikai objektumokat, amelyek “léteznek”. Például 2 négyzetgyöke nem létezik, mint racionális szám, azonban létezik, mint irracionális szám, és az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza. A matematikusok “megtalálják” a komplex számokat, amelyek “ott vannak” a komplex számsíkon. Miután azt mondja, hogy Sir William Rowan Hamilton egy hídon áthaladva “találta meg” a kvaterniókat, Hersh emlékeztet arra, hogy a kvaterniók nem léteztek addig, míg Hamilton “fel nem fedezte” azokat. Természetesen ezen azt akarja érteni, hogy amíg Hamilton “meg nem alkotta” azokat a gondolatok társadalmi konszenzusa alapján, azonban amint a példák illusztrálják, Hersh állandóan vissza-vissza zökken a realizmus nyelvébe.

Állandóan fejben kell tartanunk, hogy míg Hersh úgy fogalmaz, mint egy realista, a szavaknak nála más a jelentésük. Ha az emberek egyszer megalkottak egy olyan formális rendszert, mint a síkgeometria vagy a topológia, a rendszer olyan tételekhez vezet, amelyeket elõzõleg nehéz volt “felfedezni”. A felfedezés tehát olyan tételek felfedezése, amelyek “léteztek” bármely egyén agyán kívül is, azonban a matematikusok kollektív agyán kívül mégsem létezik realitásuk.

Hersh a fejezetet Gödel híres tételének – amely szerint eléggé bonyolult formális rendszerekben léteznek olyan igaz állítások, amelyeket a rendszeren belül nem lehet bizonyítani – egy gyönyörû, új bizonyításával fejezi be, amely George Boolostól származik. Boolos bizonyítása tökéletes iskolapéldája a matematikai bizonyosságnak, ahogy a fejezetben szereplõ összes többi bizonyítás is az.

A végsõ szó legyen a híres brit matematikus G.H.Hardy-é: “Hiszem, hogy a matematikai valóság rajtunk kívül van, hogy a mi feladatunk felfedezni vagy megfigyelni azt, és hogy a tételek, amelyeket bebizonyítunk, vagy nagyképûen fogalmazva “megalkotunk”, egyszerûen megfigyeléseink jegyzõkönyvei. Platóntól kezdve nagy filozófusok egész sora fejezte ki ezt a véleményét ilyen vagy olyan formában, és én is ezt a nyelvet használom, amely természetes az ilyen emberek számára. Ha az olvasónak nem tetszik a filozófia, megváltoztathatja a nyelvet, de ez a következtetéseimet a legcsekélyebb mértékben sem befolyásolja.”

Vissza a tartalomjegyzékhez