Az utóbbi évtizedben a káoszjelenség egyre gyakrabban fordul elõ társalgási témaként is. Spielberg filmjének, a “Jurassic Park”-nak egyik fõszereplõje káoszkutató. Tom Stoppard “Árkádia” címû, 1993-ban írt darabjában (a Katona József Színház nemrég mutatta be és jelenleg is játssza) egy fontos szál épül a káosztudomány és matematikája köré, elismerésre méltóan szakszerû ismeretekre alapozva, közérthetõen, a szakkifejezéseket mellõzve. A Fokasz Nikosz által szerkesztett “Rend és Káosz” címû kötet (Replika Könyvek, Bp.) az idén jelent meg, fõleg társadalmi vonatkozásokról. James Gleick, “Káosz: egy új tudomány születése” címû, tíz éve írt sikerkönyvének (ami a káosztudomány kialakulását mutatja be, a jelentõs kutatókkal készült riportok alapján is) magyar kiadása az év végére várható.

A káosz szó használata önmagában félreértésekre adhat okot, hiszen mint látni fogjuk, hétköznapi és tudományos értelme nem egészen azonos. A görög szó eredeti jelentése “üresség, semmi”. Csak Arisztotelész munkássága nyomán veszi fel az “összevisszaság” jelentést. Érdekes megjegyezni még, hogy a Biblia magyar (és sok más nyelvû) fordításában a “tohuvabohu” (héberül: zûrzavar) az üresség értelemben jelenik meg (Genesis 1.2).

A káosznak a 80-as évek óta elterjedt tudományos fogalma kapcsán elõször is azt kell leszögeznünk, hogy az nem egy pillanatnyi helyzetre, elrendezésre, állapotra vonatkozik, hanem az idõbeli viselkedésre. Mivel bármilyen mennyiség idõfejlõdése általános értelemben mozgásnak tekinthetõ, a káosz ebben a modern szóhasználatban a mozgás, a dinamika jellegére utal. Érdemes azt is hangsúlyozni, hogy a káosz elsõsorban a velünk azonos léptékû (makroszkopikus) világ sajátos mozgásformája.

A káosz kapcsán gyakran hallani az ún. pillangó-effektusról. Az elnevezés utalás arra, hogy egy brazíliai pillangó szárnycsapása is befolyásolhatja, vajon kialakul-e orkán New Yorkban. Ez a kaotikus viselkedés egy létezõ, fontos tulajdonságnak sarkított, újságírói túlzás szintû tálalása, amirõl a késõbbiekben látni fogjuk, hogy milyen feltételek mellett lehetne igaz. Az ilyen jellegû megfogalmazások nem ritkán misztikus, ezredvégi hangulatot sugalló, vagy a tudomány szerepét megkérdõjelezõ értelmezésre vezetnek.

E cikk célja, hogy rövid összefoglalását adja a káosz mint jelenség természetszemléletünket átformáló általános vonásainak, lehetõleg hétköznapi példákat használva, s a technikai részleteket mellõzve. Külön hangsúlyt helyezünk néhány olyan pont tisztázására, melyek a fent említetthez hasonló félreértések elkerülését segítik.

A modern értelemben kaotikusnak nevezett viselkedés lényegét három különbözõ oldalról lehet összefoglalni, a kaotikus mozgás három fõ tulajdonságának megfelelõen.

A káosz a körülöttünk lévõ rendszerek idõbeli viselkedésének általános formája, melyre elsõ ránézésre az is jellemzõ, hogy nem szabályos. A káosz önmagát nem ismétlõ állandósult mozgás. Önmagát nem ismétlõ mozgáson azt értjük, hogy a mozgás idõben nem periodikus, még közelítõleg sem. Ez egyben az egyetlen tulajdonság, ahol az arisztotelészi összevisszaság jelentés valamelyest megjelenik. Az állandósultság pedig hosszú ideig tartó, nem csillapodó mozgásra utal, ami valamilyen energiabefektetés hatására alakul ki.

Az ilyen szabálytalan, kiszámíthatatlan dinamika számos hétköznapi jelenségben megfigyelhetõ, gondoljunk például hulló falevelek libegõ esésére. Bármennyi ideig követjük is az ilyen mozgást, nem tudjuk megbecsülni sem, hogy miként folytatódik. Ez éles ellentétben áll az életünk ritmusát megadó (s az élet kialakulásához oly fontos) szigorú szabályossággal, a periodikus dinamikával, mely a Föld Nap körüli, vagy a Hold Föld körüli mozgására jellemzõ. A legkülsõ bolygók, pl. a Plútó mozgása viszont már kaotikus. Így van ez a kisbolygókkal is, melyek meteoritokként kiszámíthatatlan idõközönként érkeznek a Föld légkörébe, s elégésük vezet a hullócsillag jelenséghez.

Az utóbbi húsz évben elterjedt szóhasználat szerint a káosz a kevés összetevõbõl álló rendszerek összetett mozgása. A káosz tudományos forradalmának alapja az a felismerés, hogy egyszerû törvények is vezethetnek igen bonyolult viselkedésre. Lehet persze bonyolult egy sokrészecske-rendszer mozgása is, de az, hogy ilyen összetett rendszer mozgása bonyolult, nem meglepõ. Ez utóbbi kifejezésére ezért a molekuláris káosz szóhasználat terjedt el, ami gyakran szinonimája a zajnak. A legegyszerûbb példa a zajra egy pollenszem mikroszkóp alatt jól megfigyelhetõ összevissza bolyongása (a Brown-mozgás), ami számtalan folyadékrészecske lökdösésének a következménye. Az általunk használt káosz fogalmat pedig a determinisztikus jelzõ illeti meg, ugyanis a körülmények és törvények által egyértelmûen meghatározott. Ezzel arra is utalunk, hogy külsõ zaj a jelenségben nem játszik szerepet, a bonyolult viselkedés a dinamika belsõ sajátossága.

A káosz végsõ soron azon a matematikai tulajdonságon alapszik, hogy egyszerû egyenleteknek is lehet igen bonyolult megoldása. Bár a káosz természettudományos következményei alapvetõen újak és fontosak, nem sajátíthatja ki emiatt egyetlen tudomány sem. A káosz minden természettudomány, sõt minden olyan tudomány sajátja, melyben a matematikai leírás hasznosnak bizonyul (például közgazdaságtan). Lehet viszont beszélni a káosztudományról, mely új interdiszciplináris terület, s a kaotikus jelenségek általános vonásait kutatja. Sokszor használatos a “káoszelmélet” elnevezés is, de ez kizárja a káosz kísérleti vizsgálatát, ami pedig alapvetõ fontosságú. Nem nevezhetõ a káosz a fizika harmadik forradalmának sem – bár néhol szokás –, már csak azért sem, mert új törvények felfedezése nem kapcsolódik hozzá (mint pl. a relativitás elmélete az univerzum, vagy a kvantummechanikáé a mikrorészecskék világában), hanem az ismert törvények eddig el sem képzelt bonyolultságú megnyilvánulásának felismerésérõl van szó.

A fentiekbõl az is következik, hogy olyan jelenségek kapcsán nem beszélhetünk determinisztikus káoszról, melyek mögött bonyolult törvények állnak, vagy melyekben esetleg nem is tudjuk biztosan, hogy a törvények matematikai formába önthetõek-e (pl. a történelem esetén). Másrészt viszont vannak olyan matematikai struktúrák, amelyek kaotikus dinamikát produkálnak a számítógép képernyõjén (pl. a Julia-halmazokra vezetõ ismételt mûveletek, iterációk, s a velük kapcsolatos Mandelbrot-halmaz), de biztosan tudható, hogy természeti jelenséget nem modellezhetnek, mert az idõben fordított irányú mozgás állapot-meghatározása nem egyértelmû. (Az egyértelmûségnek pedig valós természeti folyamatokra fenn kell állnia.)

Megadható egy egyszerû feltétel, mely a bonyolult mozgás létrejöttéhez szükséges. Ez a rendszer nemlinearitása. Lineáris rendszerben a következmények egyenesen arányosak a kiváltó okkal. Általában azonban a következmény nem egyenesen arányos a kiváltó okával, hanem annak bonyolultabb függvénye. A rugóban ébredõ erõ pl. arányos a megnyúlással, ha az kicsi, de nagyobb megnyúlás esetén az egyenes arányosnál gyorsabban nõ.

A káosz tehát a nemlineáris rendszerek idõbeli viselkedése. Mivel szinte minden rendszer ilyen, a káosz megjelenése tipikus. Ezen azt értjük, hogy a káosz lehetõsége szinte minden nemlineáris rendszerben megvan. Az azonban, hogy ténylegesen megvalósul-e, a rendszer konkrét tulajdonságaitól és kezdeti helyzetétõl is függ. Úgy tûnik, hogy mind a biológiai, mind a technikai evolúció fõleg a periodikus viselkedésnek megfelelõ paramétereket választotta ki, s ezért élhettünk sokáig abban a tévhitben, hogy nincs lényegesen különbözõ másik mozgásforma. (Poincaré már a múlt század végén tudta, hogy a bolygók rendkívül bonyolult pályákon is mozoghatnak, de ezt sokáig matematikai kuriózumnak tekintették. A hetvenes években azután, a meteorológiai jelenségek elõre jelezhetõsége mellett, éppen bizonyos állatfajok évi populáció-számának szabálytalan ingadozása – pl. a sáskajárás – volt az egyik fontos vonal, mely a káosztudomány kialakulásához vezetett.) A számítógépek elterjedésével az utóbbi két évtizedben hirtelen megfoghatóvá és könnyen szimulálhatóvá váltak a kaotikus mozgás szokatlan sajátságai.

A kaotikus mozgás részletesebb megfigyelése egy alapvetõen új tulajdonságot tár fel, a határozatlanság felerõsödését. Ez azt jelenti, hogy a jelenségek alakulása rendkívül érzékeny a kiinduló helyzetre. Nevezik ezt a kezdõfeltételekre mutatott érzékenységnek is, s a pillangó-effektus is ennek egy megfogalmazása. Hiába igyekezünk két azonos falevelet azonos helyzetbõl leejteni, mozgásuk rövid idõ után különbözõ lesz.

Ha a jelen állapot megadásában való apró pontatlanság következményei idõben gyorsan növekednek, akkor a mozgás gyakorlatilag megjósolhatatlan. A kaotikus mozgás nem jelezhetõ elõre. Ezzel minden olyan tudományban, ahol káosz elõfordulhat, megjelenik az elõrejelezhetõség problémája. A meteorológiában ez eddig is természetes volt, hiszen mindig várható még szélsõségesebb viselkedés, idõjárási csúcsok megdöntése. Egy hosszú távon pontosan elõre jelezhetõ rendszerben nem ez a helyzet.

A határozatlanság felerõsödése rokon azzal a jelenséggel, amit instabilitásnak nevezünk. Az instabilitás azonban elõfordul úgy is, hogy mozgások kivételes helyzeteit jellemzi csak. Ilyen például a hegyére állított ceruza helyzete, hiszen feldõlésének iránya leheletnyi finom hatásokon múlik. A mozgás további folyamán azonban az irány már nem változhat, instabilitás többé nem lép föl. Ezzel szemben a kaotikus mozgás során végig instabil állapotok között mozog a test. A káosz állandósult instabilitás. Végsõ soron ez a dinamikai instabilitás az elõrejelezhetetlenség alapja.

Mivel a kiinduló helyzetbeli kis bizonytalanság mérési hibának is tekinthetõ (egy test helyét hétköznapi eszközökkel nem tudjuk tizedmilliméternél pontosabban meghatározni), azt mondhatjuk, hogy a kaotikus mozgás hibaerõsítõ. A természettudományban ez új helyzetet teremt, hiszen korábban mindenki feltette, hogy a kis kezdeti hibák kicsik is maradnak. A káosz forradalma azt a felismerést (is) jelenti, hogy ez általában nem igaz.

Ha a hibák rövid idõ alatt ugyanakkorára nõnek, mint maguk a mérendõ mennyiségek, akkor e rövid kezdeti idõ után a mozgás véletlenszerûnek tûnik. Ezért a szokásos mozgáskövetési módszerek nem használhatók! Ebben a vonatkozásban tehát a káosz hasonlóvá válik a zajhoz. Ezért egyetlen mozgás pontos megfigyelése helyett érdemes mozgássokaságot vizsgálni: át kell térni valószínûségi leírásra.

Abban a tartományban tehát, ahol a kiinduló helyzetre való érzékenység fennáll, a mozgás helyes elõrejelzése annyit jelent, hogy megadjuk, adott idõ után, milyen valószínûséggel lesz adott helyen a test. Meglepõ, de igaz, hogy ezzel a statisztikus szemlélet óhatatlanul bekerül pl. a mechanika eszköztárába is, ahol pedig Newton óta úgy tûnt, rá nem lesz sohasem szükség.

Fontos hangsúlyozni, hogy a valószínûségi leírás nem jelent bizonytalanságot, indeterminizmust. Sõt, az egyedi mozgásokkal szemben, a valószínûségek idõfejlõdése elõre jelezhetõ. E leírással is nagyon pontos kijelentések tehetõk, az átlagértékek például egzaktul megadhatók. A valószínûségi leírás elkerülhetetlensége a húszas évek óta nyilvánvaló a mikrorészecskék világában. A szokatlansága ellenére a valószínûségi módszer éppoly hatékony, mint a hagyományos, s elvezetett olyan alapvetõ új felfedezésekre, mint a tranzisztor, a mikrochip, a lézer vagy a szupravezetés.

Az eddigieket összefoglalva tehát a káosz olyan megjósolhatatlan mozgás, ami determinisztikus, azaz a körülmények által egyértelmûen megszabott. A megjósolhatatlanság itt gyakorlati szempontból értendõ: minden, tetszõlegesen kicsi kezdeti bizonytalanság a mérendõ mennyiséggel azonos nagyságúra, sõt nagyobbra felerõsödhet, s így a hiba több mint 100%-os lehet. Ugyanakkor a mozgás elvi szempontból determinisztikus (amit bizonyít a törvények [egyenletek] jellege is), azaz végtelenül pontos kezdeti adatok esetén a mozgás tetszõlegesen pontosan elõre jelezhetõ lenne. A bonyodalmat az okozza, hogy az ilyen végtelenül pontos kezdeti meghatározás irreális absztrakció, s ennek lehetõ legjobb gyakorlati megvalósításai is drasztikusan különbözõ végkifejletre vezetnek. A káosz egyszerre fejezi ki az elvi determinizmust, s annak gyakorlati korlátait.

A kaotikus mozgáshoz határozott geometriai szerkezet tartozik. A hiba fölerõsödése ugyanis nem igaz minden kiinduló állapotra, ill. mindenfajta állandósult mozgásra. A részletes megfigyelés azt mutatja, hogy az elõrejelezhetetlenség a mozgásnak csak egyértelmûen meghatározott tartományain belül áll fenn. Ezen tartományokon kívül a mozgás periodikus, vagy közelítõleg az, tehát olyan, mint amit hagyományosan megszoktunk. A kaotikus és nem kaotikus tartományok elrendezõdésérõl szabad szemmel általában nem szerezhetünk tudomást.

Ahhoz, hogy a mozgás geometriájáról áttekintést kapjunk, egyfajta képszerû ábrázolást kell végrehajtanunk, egy mesterséges teret, az ún. állapotteret vagy fázisteret kell megalkotnunk, s a mozgást abban követnünk. Ez egyszerûen megtehetõ úgy, hogy a mozgás különbözõ jellemzõit ábrázoljuk egy koordinátarendszer különbözõ tengelyein bármelyik idõpillanatban. A legegyszerûbb eset az, amikor pl. a kitérést és a sebességet ábrázoljuk a sík vízszintes és függõleges tengelyén. Általában azt látjuk, hogy a mozgás követése során az állapottéren egy érdekesen bonyolult alakzat rajzolódik ki.

A mindenkor jelen levõ súrlódás miatt ez leggyakrabban a hosszú idõ után beálló kaotikus mozgás képe. Ezt az alakzatot, mivel vonzó halmazként jelenik meg a fázistérben, kaotikus attraktornak nevezzük. Súrlódásos esetben az elõrejelezhetetlenség a kaotikus attraktoron érvényes. A mozgás tehát itt véletlenszerû. Az ezt megelõzõ mozgás azonban nem az! Egyáltalán nem véletlen, hanem biztos, hogy a kaotikus attraktorra elegendõ hosszú idõ után rákerülünk. Ez a meghatározottság egyik fontos megnyilvánulása.

Az attraktornak, noha bonyolult alakzat, nincsen térfogata. A nulla térfogatú, de véges kiterjedésû és ezért bonyolult elrendezésû ponthalmazokat fraktáloknak nevezzük. A fraktálok olyan alakzatok, melyek minden részletükben a fraktál egészéhez hasonlóak. A kaotikus mozgás kapcsolata a fraktálokkal azt mutatja, hogy a periodikus mozgástól való eltérés minden léptékben jelen van.

Az attraktor egyértelmû geometriai szerkezete is a mozgás determinisztikusságának következménye. A káosz idõbeli kiszámíthatatlanság és állapottérbeli rend egyszerre történõ megjelenése. A mozgás és a szerkezet (dinamika és geometria) egysége világosan mutatja, hogy a determinisztikus káosz nem zaj (nem molekuláris káosz)!

Az egyetlen olyan jelenség, amelyben szabad szemmel is láthatóak a kaotikus mozgással kapcsolatos fraktál struktúrák, az a folyadékbeli keveredés dinamikája, pl. szennyezõdés szétterjedése egy áramlásban. Ebben az esetben ugyanis az állapottér éppen egybeesik a fizikai térrel. Ezért a keveredés az egyetlen példa olyan kaotikus mozgásra, amelyben mindhárom alapvetõ tulajdonság hétköznapi módszerekkel is egyszerûen megfigyelhetõ.

A keveredés kaotikussága kapcsolatos az egyik általános természettörvény, az idõ kitüntetett iránya, a megfordíthatatlanság, az irreverzibilitás kérdésével. Hiába keverjük ugyanis a tejszínt a kávéban adott irányban egy ideig, ha a keverést megfordítjuk, vagyis az eredeti keverõ mozdulatokat idõben visszafelé végezzük el, a tejszín nem veszi fel a beöntéskor megfigyelt alakját. Tovább oszlik szét a kávéban. Ennek oka az, hogy – noha az elvi determinizmus miatt súrlódásmentes esetben az eredeti alaknak vissza kellett volna állnia – kezünk nem irányítható végtelenül pontosan, s így lehetetlen, hogy a megfordított keverés annyira hû mása legyen az eredetinek, hogy az egész fraktál tejszín-alakzatot a kiindulásiba vigye át. Végsõ soron tehát mondhatjuk, hogy az irreverzibilitás a káosz következménye. Ez a determinizmus gyakorlati hiányának, s a hibák felerõsödésének egy másik megnyilvánulása.

A keveredés esetén kívül, a valódi térben fellépõ fraktálstruktúrák (pl. a hegy, a fa, a karfiol alakja, a Hold felszíne) ugyan valamilyen lassú növekedési folyamat végtermékei, de közvetlenül nem kapcsolatosak mozgással. A környezetünkben fellépõ fraktálok tehát általában nem kaotikus mozgás eredményei (még akkor sem, ha bizonyos matematikai iterációk kaotikus attraktorain az ugráló pont meglepõen hû mását rajzolja ki pl. egy levélnek). Az viszont mindig igaz, hogy a kaotikus mozgás mindig fraktálszerkezetekkel kapcsolatos, mely a képszerû ábrázoláshoz használt állapottérben jelenik meg.

1. A káosz új mozgásforma

A determinisztikus káosz újfajta mozgástípust jelent. Bonyolultabb a szokásos szabályos mozgásoknál, melyek állandósult formája lényegében periodikus lehet csak. Ugyanakkor bonyolultabb a molekuláris káoszból eredõ zajnál is, mivel a valószínûségi leírásban az, hogy a résztvevõ elemek száma nagy, egyszerûsítési lehetõséget teremt.

A káosz átmenet a szabályos mozgás és a zaj között. Az összekötõ szerep megmutatkozik abban, hogy a káosz már valószínûségi jellegû, mint a zaj (hívják ezért néha determinisztikus zajnak is), de a káosznak ugyanakkor még jól strukturált fraktálszerkezete van, míg a zaj az egész rendelkezésre álló állapotteret kitöltené. Ez az újfajta mozgásforma tehát komplexebb a két szélsõséget jelentõ szabályos és zajos mozgásnál. Egyben szintézise a két pólusnak: köztük folytonos átmenetet teremt.

2. A pillangó-effektus csapdája

Az általános vonások áttekintése után térjünk vissza arra, mi a túlzás a pillangó-effektus sugallta értelmezésben. A kérdés az, hogy a brazíliai pillangó körüli légköri viselkedés rajta van-e azon a kaotikus attraktoron, melyhez a New York-i orkán tartozik. Ha ugyanis nincs rajta, akkor, amint láttuk, a határozatlanság felerõsödésérõl nem lehet szó, mert a mozgásnak az attraktorhoz elérése elõtti szakasza nem instabil. A tapasztalat szerint a pillangó nincs rajta az attraktoron, s ilyen drasztikus távolhatásoktól nem kell tartanunk. (A helyzet teljességéhez hozzátartozik, hogy a légkör egésze szempontjából nem is beszélhetünk determinisztikus káoszról, hiszen a rendszerben lényeges szerepet játszó összetevõk száma messze nem csekély. Így csak az idõjárás bizonyos vonásai szempontjából lehet szó káoszról és a hozzá tartozó attraktorrról.)

Összegezve tehát, a pillangó-effektus csak az attraktor elérése után következhetne be egy törékenyen kicsi alakzaton való mozgás szokásos leírása kapcsán, s így semmi esetre sem szolgálhat indokul a teljes elbizonytalanodás filozófiájára. (A valószínûség-eloszlások szintjén egyébként nem is jelentkezik a pillangó-effektusnak megfelelõ jelenség, ugyanis a különbözõ valószínûség-eloszlások idõben nem válnak szét, éppen ellenkezõleg, egymáshoz tartanak a kaotikus attraktoron.)

3. Mire jó a káosz?

A kopernikuszi fordulat idején senki sem kérdezte, miért hasznos az a felismerés, hogy a Föld a Nap körül kering. Világképformáló szerepe nyilvánvaló volt. Ha a káosz jelentõsége nem is mérhetõ össze ezzel, az analógia mégis érvényes, mert ismét világképformáló felismerésrõl van szó. A fenti I–III. tulajdonság mindegyike éppen eléggé újszerû, nem is beszélve arról, hogy bármelyikbõl következik a másik kettõ. Hogy a káosz hasznos-e vagy sem, arra nincs egyértelmû válasz. Lehet ez is, lehet az is. Az autókarosszéria beremegése egyértelmûen kerülendõ, de egy turmixgép akkor mûködik jól, keverése akkor hatékony, ha erõsen kaotikus mozgást hoz létre. Az élõ szervezetben is van, amikor a kaotikus viselkedés a rendellenes, pl. a szív fibrillációja (az egészséges periodikus viselkedéssel szemben), de az EEG-jel csak betegség, epileptikus roham esetén lehet periodikus. A kopernikuszi fordulat idején senki sem sejtette, hogy ezen fog alapulni több száz év múlva az ûrhajózás. Hasonlóan, ma még nem lehet tudni, milyen hasznos felfedezések lesznek a káosz megismerésének a következményei. Már ma is léteznek a káosz tulajdonságain alapuló eljárások pl. titkosított információ-átvitelre, vagy a káosz kontrolljára. Az utóbbival mind a kaotikus mozgás periodikussá tételét, mind a periodikus mozgás kaotikussá tételét el lehet érni. A káosz tehát egy újfajta általános idõbeli viselkedés, mely sokkal összetettebb a megszokottnál, de nem misztikus. Feladatunk, hogy egyre jobban megértsük, s hasznunkra fordítsuk.

A szerzõ köszönetét fejezi ki Gruiz Mártonnak, Kiss Sándor Csanádnak, Muraközy Gyulának, Szilágyi Ibolyának és Tél Katalinnak hasznos tanácsaikért, megjegyzéseikért, melyek az írás érthetõbbé válásához nagyban hozzájárultak.

Vissza a tartalomjegyzékhez