MATEMATIKA

A Scientific American egyik 1975-ös, a sík egybevágó konvex sokszögekkel való periodikus csempézéseiról szóló cikkének végén (mely a Time Travel and Other Mathematical Bewilderments címû könyvemben újra megjelent) beígértem egy késôbbi cikket, a nem periodikus csempézésekrõl. Mostani írásom eme ígéret teljesítésének új kiadása, az eredeti cikk 1977-ben jelent meg, elsõként beszámolva arról a figyelemre méltó nem periodikus csempézésrõl, melyet Roger Penrose a jeles brit matematikus, fizikus és kozmológus talált fel. Elôször is, hadd kezdjem néhány definícióval és a háttérrel.

Egy periodikus csempézés olyan, hogy körül tudunk határolni egy síkbeli tartományt, amely eltolással – vagyis forgatás és tükrözés nélküli helyváltoztatással – csemépezi a síkot. M. C. Escher holland grafikus híres arról, hogy sok képe ábrázol olyan periodikus csempézést, ahol a csempe alakja valamilyen élôlényre emlékeztet. Az 1. ábra tipikus példa erre. Egy fekete és egy vele szomszédos fehér madár együttese alkotja az alapábrát, melybôl eltolással adódik a csempeminta. Képzeljük el, hogy a síkot lefedtük átlátszó papírral, melyre átmásoltuk az összes csempe körvonalát. Csak akkor tudjuk a papírt forgatás nélkül úgy áthelyezni máshova, hogy az összes átmásolt körvonal illeszkedjen a mintára, ha a csempézés periodikus.

1. ábra. M. C. Escher egyik periodikus csempemintája (1949)	2. ábra. (A) Nem periodikus csempézés egybevágó alakzatokkal B) Kilencszög (szaggatott vonallal a bal oldalon) és két kilencszögbôl összerakott nyolcszög (a jobb oldalon), mellyel periodikusan csempézhetô a sík

Végtelen sok olyan alakzat van – például a szabályos hatszög –, amellyel csak periodikusan cempézhetô a sík. Olyan alakzat is végtelen sok van, amellyel periodikusan is és nem periodikusan is lehet csempézni. A sakktáblából kiindulva péIdául könnyen kaphatunk egybevágó, egyenlô szárú derékszögû háromszögekkel vagy négyszögekkel történô nem periodikus csempézést. Egyszerûen a 2/A ábrán a bal oldalon látható módon elfelezünk minden mezôt, az irányítás megválasztásával ügyelve arra, hogy megakadályozzuk a periodicitást. Dominók segítségével is könnyen készíthetõ nem periodikus csempezés.

A 2/A ábra közepén látható sugaras csempeminta is egyenlõ szárú háromszögekbôl épül fel. Bár a csempézés nagyon szabályos, nyilvánvalóan nem periodikus. Mint azt Michael Goldberg kimutatta egy 1955-ös, "Central Tesselations" címû cikkben, az ilyen csempezések félbevághatók, majd az egyik fél sík elcsúsztatható egy vagy több lépéssel úgy, hogy a 2/A ábra jobb oldalán látható spirális, nem periodikus csempemintához hasonlót kapjunk. A háromszög végtelen sokféleképpen eltorzítható úgy, hogy két egyenlõ oldalát kicseréljük két egybevágó vonalra, mint a 2/B ábra bal oldali rajzán. Ha az új oldalak törött vonalak, akkor az eredmény egy 5, 7, 9, 11, .... oldalú sokszög, mellyel spirálisan csempézhetô a sík. A 3. ábra megkapó rajza egy ily módon készített, kilencoldalú sokszögekbõl felépített mintát mutat. Ezt elôször Heinz Voderberg találta fel egy igen bonyolult eljárás során, Goldberg módszerével viszont szinte triviálisan adódik.

Az egybevágó alakzatokkal történô, nem periodikus csempézések minden ismert esetében periodikus csempézés is készíthetô az alakzattal. A 2/B ábra jobb oldali rajza mutatja, hogyan illeszthetô össze két Voderberg-féle kilencszög egy nyolcszöggé, mellyel nyilvánvaló módon készíthetô periodikus csempézés.

3. ábra. Heinz Voderberg spirális csempemintája	4. ábra. Szfinxek három generációja egy nem periodikus csempézésben

A nem periodikus csempézések egy másik fajtája olyan csempékbôl kapható, melyekbõl néhánnyal kirakható saját maguk nagyított peldánya. Az ilyen fajtáknak adta Solomon W. Golomb a "reptiles" nevet. (Lásd az Unexpected Hanging címû könyvem 19. fejezetét.) A 4. ábrán látható, hogy a "szfinx" nevû alalkzat hogyan csempézi nem periodikusan a síkot, miközben egyre nagyobb és nagyobb szfinxeket formáz. Két szfinx (ahol az egyik 180^o-os elforgatottja a másiknak) segítségével megint csak könnyen készíthetô periodikus csempeminta is.

Vannak-e olyan csempekészletek, melyekkel csak nem periodikusan csempézhetô a sík? Azt, hogy "csak", úgy értjük, hogy a készlet semelyik alakzata, semelyik részhalmaza és a teljes készlet sem csempézi a síkot periodikusan, de az összes alakzat felhasználásával készíthetô nem periodikus csempézes. A csempék elforgathatók és tükrözhetõk.

Évtizedeken keresztül azt hitték a szakértôk, hogy ilyen készlet nem létezik, de ez a sejtés hamisnak bizonyult. 1961-ben Hao Wang azzal kezdett foglalkozni, hogy miként csempézhetô a sík olyan egységnégyzetekkel, melyek élei különféleképpen vannak kiszínezve. Ezeket Wang-dominóknak hívják, és Wang egy igen kellemes cikket írt róluk a Scientific American számára 1965-ben. Wang egy olyan eljárást szeretett volna találni, melynek segítségével eldönthetô, hogy a dominók egy tetszôlegesen adott halmazával csempézhetô-e a sík, ha az egymáshoz illeszkedõ éleknek egyforma színûeknek kell lenniük. A forgatásokat és a tükrözéseket nem engedjük meg. A probléma fontos, mert összefügg a szimbolikus logika eldöntési kérdéseivel. Wang azt sejtette, hogy tetszôleges csempekészlet esetén igaz, hogy ha a készlettel csempézhetô a sík, akkor periodikusan is csempézhetô, és megmutatta, hogy ha ez igy van, akkor eldöntési eljárás is létezik az ilyen csempézeshez.

1964-ben Robert Berger, a Harvard Egyetemen alkalmazott matematikából írt doktori értekezésében megmutatta, hogy Wang sejtése hamis volt. Nincs általános eljárás. Tehát léteznie kell Wang-dominók olyan készletének, mellyel csak nem periodikusan csempézhetô a sík. Berger meg is adott egy ilyen készletet, amely több mint 20 000 dominót tartalmazott. Késôbb egy sokkal kisebb, 104 dominóból álló készletet is talált, amit Donald Knuthnak sikerült 92-re csökkentenie.

5. ábra. Raphael Robinson hat csempéje, melyekkel csak nem periodikusan csempézhetõ a sík

Wang-dominók egy ilyen készletét könnyen megváltoztathatjuk úgy, hogy sokszög alakú csempéket kapjunk, melyek csak nem periodikusan csempéznek. Egyszerûen ki- és beszögelléseket helyezünk el az éleken úgy, hogy olyan puzzle-darabokat kapjunk, melyek oly módon illeszkednek egymáshoz, amit eredetileg a színezés határozott meg. Eredetileg egy bizonyos színû él csak azokhoz illeszkedett, amelyek ugyanolyan színûek voltak, és hasonló volt a helyzet a többi színre is. Megengedve a csempék forgatását és tükrözését, Robinson konstruált hat csempét (5. ábra), melyek nem periodikus készletet alkotnak a fenti értelemben. 1977-ben Robert Ammann talált egy másik hat csempébõl álló nem periodikus készletet. Az, hogy az ilyen négyzetes típusú csempék száma lecsökkenthetô-e hat alá, nem ismeretes, de komoly alapjai vannak annak a sejtésnek, hogy hat a minimum.

Az Oxfordi Egyetem matematikaprofesszora, Roger Penrose talált kisebb nem periodikus csempekészleteket, de nem négyzetes típusúakat. Bár fõ munkaterülete a relativitáselmélet és a kvantummechanika, apjához, az egykori híres genetikus L. S. Penrose-hoz hasonlóan aktívan érdeklôdik a szórakoztató matematika iránt. (Ôk találták fel a nevezetes Penrose-féle lépcsõt, amely úgy halad körbe-körbe, hogy közben nem emelkedik, amint az Escher "Ascending and Descending" címû litográfiáján látható.) 1973-ban Penrose talált egy hatos nem periodikus készletet. 1974-ben rájött, hogyan lehet négyre csökkenteni. Nem sokkal késõbb sikerült lemennie kettôre.

Mivel a csempék játékszernek is alkalmasak, Penrose nem akarta eredményét elárulni, amíg nem szabadalmaztatta Angliában, az Egyesült Államokban és Japánban. Mostanra már érvénybe lépett a szabadalmi jog. Köszönettel tartozom John Horton Conway-nek is a Penrose-csempékrõl írt tanulmányának sok eredményéért.

A Penrose-csempék alakja különféle lehet, de a legérdekesebb pár az, amit Conway "dárdá"-nak és "sárkány"-nak nevezett. A 6/A ábra mutatja, hogy hogyan készíthetôk el egy olyan rombuszból, melynek szögei 72, ill. 108 fokosak. Osszuk fel a hosszabbik átlót a jól ismert aranymetszés arányában ((1+ 5^1/2)/ 2=1,61803398...), majd kössük össze az osztópontot a tompaszögû csúcsokkal. JelöIjük f-vel az aranymetszés arányát. Ekkor minden szakasz hossza 1 vagy f, ahogy azt az ábrán jelöltük. A legkisebb szög 36 fokos, a többi ennek egész számú többszöröse.

A rombusz persze penodikusan csempézi a síkot, de most nem szabad így összeilleszteni a darabokat. Ahhoz, hogy ezt megtiltsuk, elláthatnánk az éleket dudorokkal és horpadásokkal, de vannak egyszerûbb módok is. Például megbetûzhetjük a csúcsokat a 6/B ábrán látható módon H és T betûkkel, és bevezethetjük azt a szabáiyt, hogy két él csak akkor illeszkedhet, ha a végpontjaikban azonos betûk találkoznak. Ahhoz, hogy megkönnyítsük a szabály betartását, kétféle színû pöttyöket helyezhetnénk el a csúcsoknál, de Conway egy tetszetôsebb megoldást javasolt, miszerint rajzoljunk kétféle színnel köríveket minden csempére, ahogy az ábra szürke, ill. fekete ívei mutatják. Minden ív az oldalakat is és a szimmetriatengelyeket is aranymetszéssel osztja. A szabályunk az, hogy összeillesztéskor minden ívnek ugyanolyan színû ívhez kell csatlakoznia.

Ahhoz, hogy telJes mértékben kiélvezhessük a Penrose-csempézés szépségeit és rejtélyeit, legalább 100 sárkányra és 60 dárdára van szükségünk. A darabokat csak az egyik oldalukon kell kiszínezni. A kétféle alakzat darabszámának aránya (területük arányához hasonlóan) egyenlô az aranymetszés arányszámával. Azt hihetnénk, hogy a kisebb dárdából van szükség több darabra, de ez pont fordítva van. Sárkányból 1,618...-szor annyi kell, mint dárdából. Végtelen csempézés esetén ez a szám a pontos arányt adja meg. Azt, hogy ez az arány irracionális, Penrose kihasználja annak bizonyításában, hogy a csempézés nem periodikus, mert ha periodikus lenne; akkor az aránynak nyilvánvalóan racionálisnak kellene lennie.

Érdemes elôször egy lapra annyi dárdát és sárkányt rajzolni, amennyi ráfér, úgy, hogy körülbelül öt sárkány jusson három dárdára, az íveket vékony vonallal behúzva. Ezután errôl a lapról akárhány fénymásolat készíthetõ. Másolás után kiszínezhetjük az íveket, mondjuk piros és zöld filctollal. Conway úgy találta, hogy felgyorsítja az eljárást és megkönnyíti különbözõ minták kirakását, ha a 6/C ábrán látható három nagyobb alakzatról készítünk sok másolatot. Nagyobb méretû mintázatok kirakása során folyamatosan helyettesíthetjük a dárdákat és sárkányokat ászokkal és csokornyakkendõkkel. Az is igaz, hogy végtelen sok sárkányból és dárdából felépíthetô tetszôlegesen nagy alakzatpár alkalmas bármelyik végtelen csempeminta elkészítésére.

Penrose-mintát úgy készíthetünk, hogy egy csempe valamelyik csúcsát körülrakjuk dárdákkal és sárkányokkal, majd kifelé terjeszkedünk. Minden alkalommal, amikor egy új darabot illesztünk valamelyik élhez, választanunk kell, hogy az dárda vagy sárkány legyen. Van, amikor kényszerûen választjuk az egyiket, van, amikor nem. Néha mindkettô odaillik, de késõbb ellentmondásra jutunk (vagyis olyan hely keletkezik, ahova egyik darab sem illeszthetô), így vissza kell térnünk és a másik darabbal folytatnunk. Érdemes a már elkészült alakzaton körbehaladva elõször a kényszerbõl adódó darabokat elhelyezni. Ezek sem vezetnek ellentmondáshoz. Ezek után kísérletezhetünk a szabad helyekkel. Minden kirakás a végtelenségig folytatható. Minél többet játszunk a darabokkal, annál jobban kiismerjük a "kényszerszabályokat", így egyre hatékonyabbak leszünk. A dárda például arra kényszerít minket, hogy konkáv csúcsához két sárkányt illesszünk, létrehozva ezzel a mindenütt elôforduló ászt.

Sokféleképpen bizonyítható, hogy a Penrose-csempézések száma az egyenes pontjainak számosságához hasonlóan nem megszámlálható. A bizonyítások egy meglepô jelenségen alapulnak, melyet Penrose fedezett fel. Conway ezt "felfújás"-nak, ill. "leeresztés"-nek nevezte. A 7. ábra mutatja a felfújás elsô lépését. Képzeljük el, hogy egy kirakott mintában az összes dárdát kettévágjuk a szimmetriatengelye mentén, majd az összes rövid él mentén egymáshoz ragasztjuk a csatlakozó darabokat. Az eredmény egy új csempézés (vastag fekete vonaIak), ahol nagyobb dárdák és sárkányok a csempék.

7. ábra. Példa egy minta felfújására	8. ábra. A Nap végtelen csempemintája	9. ábra. A csillag végtelen csempemintája

A felfújást a végtelenségig folytathatjuk, ahol a csempék minden új "generációja" nagyobb, mint az elôzõ. Megjegyzem, hogy bár a második generációs sárkány pontosan ugyanolyan alakú és nagyságú, mint egy elsô generációs ász, más a származtatása. Emiatt szokás az ászt "álsárkány"-nak is nevezni. Soha nem szabad összetévesztenünk egy második generációs sárkánnyal. A leeresztés ugyanez a folyamat, csak visszafelé. Tetszôleges Penrose-csempemintán megrajzolhatjuk dárdák és sárkányok egyre kisebb és kisebb generációit. Ezt is a végteIenségig folytathatjuk, egy fraktálszerkezetet hozva létre.

Conway bizonyítása arra, hogy a Penrose-csempézések számossága nem meg számlálható, a következõképpen vázolható (Penrose korábban ezt másképp bizonyította). Minden sárkányon jelöljük meg a szimmetriatengely egyik oldalát B-vel, a másikat J-vel (bal, ill. jobb). Csináljuk ugyanezt a dárdákkal, a b és j betûket használva. Ezután válasszunk ki véletlenszerûen egy pontot a síkon, jegyezzük fel azt a betût, amely a pont helyzetének megfelelõ tartományt jellemzi. Ezután fújjuk fel a mintázatot, figyeljük meg pontunk helyzetét a második generációs csempézésben, és ismét jegyezzük fel a helyzetét jellemzô betût. Ha folytatjuk a csempézés felfújását egyre nagyobbra és nagyobbra, betûk egy végtelen sorozatat kapjuk, ami egyértelmûen jellemzi az eredeti mintázatot, hogy úgy mondjam, a kiválasztott ponthoz képest.

Válasszunk ki egy másik pontot az eredeti mintázaton. EIjárásunk olyan sorozatot ad, ami talán másképp kezdõdik, de el fog érni egy betût, melytõl kezdve a sorozat a végtelenségig megegyezik az elõbbi sorozattal. Ha egy ponton túl nem egyezik meg a két sorozat, akkor különbozô mintázatokhoz tartoznak. A négy betûbôl készíthetõ különbözô sorozatok közül nem mindegyik származtatható ily módon, de azokról, amelyek kiülönbözô mintázatokhoz tartoznak, megmutatható, hogy számuk megfelel az egy egyenesen levô pontok számosságának.

Ábráinkról lehagytuk a színes íveket, hogy a csempék jobban Iátszódjanak. Ha azonban valaki a kiszínezett csempékkel dolgozik, akkor láthatja, hogy milyen lenyûgözôen szép mintázatokat hoznak létre ezek a színes ívek. Penrose és Conway egymástól függetlenül bizonyította, hogy valahányszor egy – ezekbôl az ívekbôl álló – görbe bezárul, akkor ötszögesen szimmetrikus, és a görbe által határolt teljes tartomány is ötszörösen szimmetrikus. Általában egy mintázatban színenként két olyan görbe lehet, amelyik nem zárul. A legtöbb mintázatban minden görbe zárt.

Bár lehet olyan Penrose-csempézést készíteni, amely magas rendben szimmetrikus (végtelen sok kétoldali szimmetriával rendelkezô csempézés van), a legtöbb mintázat olyan, mint az univerzum, a rendezettség és a rendtôl való váratlan eltérések zavarba ejtô keveréke. Ahogy a mintázatok nõnek, úgy tûnik, mintha igyekeznének saját magukat ismételni, de ezt sosem sikerül teljesen elérniük. K. G. Chesterton egyszer felvetette, hogy egy Földön kívüli lény, aki megfigyelte, hogy az emberi testnek milyen sok része fordul elô a bal és a jobb oldalon egyaránt, ésszerûen gondolhatná azt, hogy mindkét oldalon van szívünk. Ezt mondta: "csak egy kicsit látszik matematikaibbnak és szabályosabbnak, mint amennyire az. A pontossága nyilvánvaló, de a pontatlansága rejtett; a vadsága lesben áll". Mindenhol azt tapasztaljuk, hogy valami "csendben elkerüli a helyét pár centivel, ami a mindenben jelen levõ rejtélyes elem... egyfajta rejtett kincs az univerzumban". Az idézet pompásan illik a síkbeli Penrose-világokra.

Van a Penrose-világoknak egy még meglepõbb tulajdonága. Egy sajátos, véges értelemben, amit a "lokális izomorfizmus-tétel" határol körül, minden Penrose-mintázat egyforma. Penrose-nak sikerült megmutatnia, hogy bármelyik mintázat bármelyik véges tartománya valahol szerepel az összes többi mintázatban is. Sôt, mi több, minden mintázatban végtelen sokszor szerepel.

Hogy megértsük, milyen döbbenetes tényrõl van szó, képzeljük el, hogy egy végtelen síkon élünk, mely a megszámlálhatatlanul sok Penrose-csempézések egyikével van lefedve. Megvizsgálhatjuk mintázatunkat darabról darabra, egyre táguló területeken. Nem számít, mekkora részt derítettünk fel, soha nem leszünk képesek eldönteni, hogy melyik csempézésen vagyunk. Az sem segít, ha egymástól nagy távolságra lévô különálló tartományokat vizsgálunk meg, hiszen akárhány tartományhoz is lesz egy nagy, de véges tartomány, amely tartalmazza õket, és amely végtelen sokszor megismétlôdik minden mintázatban. Mindez persze nyilvánvalóan teljesül egy periodikus csempézésre, de a Penrose-világok nem periodikusak. Végtelen sok különbség van bármelyik kettô között, mégis elérhetetlen az a határ, melyen túl megkülönböztethetôk egymástóI.

Tegyük fel, hogy felderítettünk egy kör alakú tartományt, melynek d az átmérôje. Mondjuk ez a "város", ahol élünk. Hirtelen átkerülünk egy véletlenszerûen kiválasztott párhuzamos Penrose-világba. Milyen messze leszünk egy kör alakú tartománytól, mely pontosan olyan, mint a mi városunk? Conway válasza egy valóban figyelemre méltó tétel. Egy város határától a legközelebbi másolatának határáig a távolság soha sem több, mint d-szer az aranymetszés köbének a fele, vagyis 2,11...-szer d. (Ez felsô korlát, nem átlag.) Ha megfelelõ irányban indulunk el, akkor ennél többet biztos nem kell sétálnunk ahhoz, hogy saját városunk pontos másolatában találjuk magunkat. A tételt saját világunkra is alkalmazhatjuk. Minden nagy kör alakú tartomány valamilyen irányból biztosan elérhetô a körülbelül kétszeres átmérôjénél rövidebb úton, de még valószínûbb, hogy elég annyit sétálnunk, mint amennyi az átmérô.

A tétel elég meglepô. Tekintsünk egy hasonló szituációt, nézzük meg, mi a helyzet számjegyek egy nem szabályos sorozatával, mint például a p tizedesjegyei. Ha kiválasztunk egy 10 számjegybôl álló véges részt, és egy véletlenszerûen kiválasztott helyrôl elindulunk a p tizedesjegyei mentén, akkor meglehetôsen biztosak lehetünk benne, hogy ha elég messzire megyünk, akkor rábukkanunk ugyanerre a sorozatra; de arra, hogy ehhez mekkora távolságot kell megtennünk, nincs ismert felsô korlát, és a távolság várható hossza sokkal több, mint 10 számjegy. Minél hosszabb a kiválasztott véges sorozat, várhatóan annál hosszabb utat kell megtennünk ahhoz, hogy újra rábukkanjunk. Egy Penrose-mintázaton mindig nagyon közel vagyunk a saját városunk másolatához.

Egy csúcspontot hétféleképpen rakhatunk körül dárdákkal és sárkányokkal. Conway elnevezéseit követve vizsgáljuk meg elôször azt a kettõt, mely ötszöges szimmetriát mutat.

A Nap (a 8. ábrán a fehér rész) nem határozza meg a hozzáilleszthetô darabokat. Ha azonban szeretnénk megtartani az ötös szimmetriát, akkor már csak az ábrán látható szépséges mintázatot építhetjük tovább, mely a végtelenségig egyértelmûen meg van határozva.

A 9. ábrán látható fehér csillag köré csak a 10 világosszürke sárkányt rakhatjuk. Ha az ötös szimmetriát megtartva folytatjuk az építkezést, újabb végtelen és egyértelmûen meghatározott virágszerû mintázatot kapunk. A csillagon és a Napon kívül nincs más Penrose-világ, mely tökéletes ötszöges szimmetriávai rendelkezik, ráadásul ezek egy igen bájos módon ekvivalensek. Fújjuk fel, vagy eresszük le valamelyik mintázatot, és megkapjuk a másikat.

Vissza a tartalomjegyzékhez