– Említette, hogy a matematika híd a költészethez. Ezt a hidat nagyrészt Solomon Marcus építette. Professzor úr, engedje meg, hogy errõl a területrõl, ahol sikeres volt, nemzetközi hírnevet szerzett, kissé részletesebben kérdezzem. Mit takar a „matematikai nyelvészet” kifejezés?

– Elsõ közelítésben a matematikai nyelvészet a nyelv tanulmányozása a matematika eszközeivel. Megkérdezheti: lehetséges ez, hasznos ez? Mindkét kérdés már a 19. században igenlõ választ kapott, amikor matematikai statisztikát kezdtek alkalmazni az angol, a francia, a német frekvenciaszótárak kidolgozására. A természetes nyelvek empirikus adatok tömegével telítettek, amelyek matematikai feldolgozást igényelnek, ezért a matematikai statisztika alkalmazása elkerülhetetlen. A vizsgálatokban fontos szerep jut a valószínûségszámításnak is. A 20. század kezdetén A. Markov bevezetett egy matematikai valószínûségelméleti fogalmat, ezt ma már Markov-láncoknak nevezik. Akkor jött rá, amikor Puskin „Jevgenyij Anyegin” címû mûvében a magánhangzók és a mássalhangzók váltakozását vizsgálta.

A 19. század végéig a nyelvészet fõként a nyelv történeti fejlõdésének korszakait vizsgálta, valamint a különbözõ nyelvek jelenségeinek összehasonlítását végezte. A 20. század elsõ felében kialakult a strukturális nyelvészet, növekedett az érdeklõdés a nyelv logikai, relációs és globális megvilágítása iránt, ez pedig kvalitatív matematikai módszereket követelt. Hasonló fejlõdésen ment át a matematika is. A 20. század elõtti matematika fõként kvantitatív tudomány volt. A 20. században gyors ütemben fejlõdött a kvalitatív matematika – a logika, a topológia, az absztrakt algebra stb. –, nagyrészt a számítástudománynak köszönhetõen. A látszattal ellentétben a computer science, a számítástudomány inkább kvalitatív, mint kvantitatív. Az így kiteljesedett matematikai gondolkodásmód hatékony eszköze lett a nyelvek tanulmányozásának. A nyelvészet és a matematika párhuzamos fejlõdése vezetett végül a matematikai nyelvészet megjelenéséhez az ötvenes évek végén.

Gondosabb vizsgálódásaink kimutatják, hogy a matematikai nyelvészet kialakulásához a tudományok fejlõdésének négy útja vezetett. A nyelvészeti és a matematikai út mellett felismerhetjük a számítástechnikai ösvényt, mely az elsõ programozható számítógépek kifejlesztésekor szélesedett ki a negyvenes évek végén. ebben meghatározó szerepe volt Neumann Jánosnak. Láthatjuk továbbá a biológiai–élettani fejlõdésvonalat, mely elvezetett az agyféltekék mûködésbeli megosztásának kimutatásához; a nyelv és a logika szekvenciális tevékenység, amelyet a bal félteke irányít. Elvezetett továbbá a formális nyelvtanok sikeréhez a neuronhálózatok modellezésében és az emberi nyelvkészség feltételezett számítógépes metaforamagyarázatához. A matematikai nyelvészet így kapcsolódik két szomszédos területhez: a számítógépes nyelvészethez és a kognitív tudományhoz.

– Matematikai gondolkodásmóddal, matematikai módszerekkel milyen pontokon ragadható meg a nyelvtudomány? Ön mely területeken volt sikeres?

– Helyemet az ötvenes évek fejlõdési vonulataiban a közép- és kelet-európai nyelveknek az angol nyelvhez viszonyított jellemzõi szabták meg. Az angol nyelv morfológiája szegényes, ez az egyik oka annak, hogy az amerikai nyelvészek, Chomskyt is beleértve, kevés figyelmet fordítottak erre. A germán, a latin, a szláv nyelvek morfológiája ezzel szemben nagyon gazdag. A magyar nyelvnek kitüntetett szerepe van, mivel a szavak ragozásának és a szóalkotásnak a módját a szó tövéhez illesztett toldalékkal oldja meg. Az ilyen, agglutináló nyelv szerkezete a morfológia magasabb fokát hozza létre, mint a flexáló, hajlító nyelveké. A román nyelv ebben a vonatkozásban középen áll: morfológiája a latinnál szegényesebb, a franciáénál gazdagabb. Engem a gazdag morfológiájú nyelvek érdekeltek, mivel azok sokkal szebb matematikát követeltek. Folyamatosan gazdagítottam nyelvészeti ismereteimet, sok segítséget kaptam feleségemtõl, Paula Diaconescutól. Õ a bukaresti egyetem bölcsészettudományi karán nyelvészetet tanít.

Úgy gondolom, kutatásaim sikeresek voltak a nyelvtani kategóriák általános modelljében, valamint a nyelvtani és a természetes nemek közötti megkülönböztetésben. Eredményes voltam a szintaktikus projektivitás tanulmányozásában, amely egy mondat szerkezeti és lineáris rendjének viszonyával foglalkozott. E témakörben elsõ cikkemet a Computational Linguistics címû magyar folyóirat jelentette meg. Szerkesztõje Kiefer Ferenc professzor volt, aki már régóta nagy hírnévnek örvend a nyelvészetben. Nem volt könnyû ezekhez a problémákhoz idomulnom, mivel alapképzettségem az analízisre, a folytonos matematikára korlátozódott, míg a matematikai nyelvészetet a diszkrét matematika uralja. Eltartott egy ideig, amíg megismerkedtem vele. Késõbb kiderítették, hogy „kontextuális nyelvtanom” a számítástudomány számára is érdekes, így abba az irányba is kitekintettem. Ez egyike az engem foglalkoztató tényeknek: a természetes és a mesterséges nyelvek olyan szorosan összefüggnek, hogy megértésükhöz közös keretre van szükség.

– Önnek magyar nyelven is napvilágot látott egy tanulmánykötete „A nyelvi szépség matematikája” címmel. Megvallom, nagy érdeklõdéssel olvastam e könyvben a Költészet és matematika címû fejezetet. Ebben írja, hogy az emberi nyelv a matematikai és a költõi nyelvben érte el a koncentráltság maximumát. Mit kell ezalatt értenünk?

– A költészetet és a matematikát is a szemiotikai optimalizálás szabályozza, vagyis minimális kifejezéssel a maximális jelentés elérése. Amennyiben a jelentést, a kifejezést mérni lehetne, egy költõi sor (string) szemantikai sûrûségét megfelelõ mértékek hányadosával definiálhatnánk. Sajnos ettõl még messze vagyunk. Azt azonban minden olvasó érzi, hogy az emberiség nagy költeményeit a gondolatok, a szuggesztiók rendkívüli sûrûsége jellemzi. Ez a sûrûség abban a szándékosan megalkotott végtelen határozatlanságban nyilvánul meg, amely megadja nekünk, az olvasóknak, a különbözõ értelmezés lehetõségét. Egy költemény nem tûri az elvonatkoztatást, semmi sem változtatható meg benne, nem adható hozzá, nem vehetõ el belõle. Hasonló a helyzet a matematikában, azzal a különbséggel, hogy ott a logikai sûrûséget vizsgálhatjuk. A matematikai nyelv – legalábbis elméletben – végtelen szinonimalehetõséget enged meg. Bármely matematikai bizonyítás kihasználja, hogy ugyanazt a dolgot különbözõképpen lehet kifejezni. Mindazonáltal egy matematikai formula a gondolatok akkora gazdagságát sûríti, hogy bármely, vele egyenértékû kifejezéssel történõ helyettesítése, amely csak természetes nyelvet használ, a megértést veszélyezteti. Ha például Newton formuláját, amely az a+b összeg n-ik hatványának kifejezését adja, angol nyelven igyekeznénk elmondani, az olyan hosszú és bonyolult szöveg lenne, hogy elveszítené heurisztikai értékét, senki sem értené meg. Ebben a tekintetben összehasonlíthatjuk Mallarmét, a költõt, akinek maximális volt a gondolatsûrûsége, Gauss-szal, a matematikussal, idézve jelszavát: „Pauca sed matura”. Továbblépve, a matematikai szövegeknek is van gondolatsûrûségük, ugyanakkor a költeményeknek is lehet logikai sûrûségük. Ebben az irányban azonban nem mehetünk tovább. A matematika és a költészet felváltva mutat hasonlóságot és különbözõséget olyan végtelen sorozatként, amelynek minden lépése csupán egy közelítés.

– Kíváncsi lennék professzor úr véleményére arról, hogy az elmondottak fényében miként kell vélekednünk egy gyönyörû vers más nyelven történõ, hasonlóan szép tolmácsolásáról. Más vers lesz-e, mondjuk Shelley „Ode to the West Wind” költeménye, ha azt Tóth Árpád formázza meg magyar nyelven, csodálatosan?

– A „fordítás” nem megfelelõ szó, ha a költészettel kapcsolatban használjuk. Tóth Árpád esetében Shelley csak kiindulópont volt, a költemény, amit létrehozott, nem tekinthetõ sem ekvivalensnek Shelley alkotásával, sem közelítésének. Az Óda a nyugati szélhez magyar nyelven valami egészen más. Ezzel kapcsolatban néha egy empirikus tesztet használnak. Egy A költeményt, amelyet A1 nyelven írtak, fordítsuk le az A2 nyelvre, majd e fordítást az A3 nyelvre és így tovább. Amennyiben véges számú lépés után visszatérünk a kiinduló nyelvre, megkérdezhetjük: az eredmény mennyire tér el az eredetitõl, ha minden fordítást más készített? Megjósolható a különbség, de hogyan lehetne azt megmérni? Messze vagyunk attól, hogy ilyen kérdésekre válaszolhassunk. Mindenesetre, ha tovább „fordítjuk” a költészetet, mivel nincs jobb kompromisszum, örüljünk annak az érzésnek, hogy sok nyelven befogadhatók például Shakespeare gondolatai. Egy fordítás hûsége és költõisége konjugált párt alkot, hasonlóan Bohr komplementaritási elvéhez és Heisenberg határozatlansági összefüggéséhez. Az emberi nyelvnek olyan krízishelyzettel is szembe kell néznie, amire már Bohr felhívta a figyelmet: nyelvünk a makroszkopikus univerzumban jött létre, azon túllépõ jelenségek nem fejezhetõk ki vele. Különbözõ kompromisszumok lehetségesek. Ezek egyike a kognitív metafora, amelynek egyre fontosabb a szerepe a költészetben és a tudományban.

– Ön sokoldalúan mûvelt, az új iránt fogékony, interdiszciplináris területeket tudatosan keresõ matematikus. Hogyan, milyen munkamódszerrel képes megvalósítani ezt a sokszínûséget?

– Az egyetemen és a kutatásaim során megszerzett ismeretek megértették velem, hogy a matematika nem csupán speciális terület, hanem általános gondolkodásmód is. A matematika nyitott a tudás és a kreativitás minden formája felé, beleértve a mindennapi életet. Néhány jó tanács a matematikai gondolkodásmódhoz: a) igyekezzünk felismerni és megragadni a probléma alapját, és próbáljunk meg holisztikus fogalmat is alkotni; b) ha a feladat túl bonyolultnak tûnik, keressünk egy könnyebbet, ami hasonlít a kezdeti kérdéshez; c) próbáljunk analógiát találni egy ismerõsebb, jobban kezelhetõ problémával; d) válasszuk le problémánkról a nem meghatározó jellemzõket, csak a lényegre fordítsunk figyelmet; e) a lényeges szempontokat fontosságuk szerint rendezzük sorba; f) elsõ lépésben csak a legfontosabb aspektust vizsgáljuk, azután lépésrõl lépésre a kevésbé fontosakat; g) hasznos lehet az általánosság emelkedõ fokait egymást követõen vizsgálni; h) ha a probléma egy határozott változatára korlátozódtunk, próbáljuk kifejteni a kiinduló pontok logikai következményeit is. Ez az a pillanat, amikor szükség lehet a matematikai szimbolizmusra. A nyelv heurisztikus funkciójának megõrzéséhez az elõzõ lépések egységeit és eredményeit alkalmas szimbólumokba kell csomagolnunk. Például a már említett a+b kifejezés n-edik hatványát kifejezhetjük a természetes nyelv szavaival, ha a hatványkitevõ 2 vagy 3, de ha a kitevõ növekszik, egyre nehezebben követhetjük ezt az utat. Matematikai szimbólumokat kell használnunk a leíráshoz. Ez a matematikai gondolkodásmód alapvetõ tulajdonsága: minden lépésnél rövidebb alakban fejezzük ki az eredményt, hogy heurisztikusan használhassuk. A matematikai nyelvészetben, a színház tanulmányozásában, a szemiotikában számomra a matematikai gondolkodás hasznosabbnak bizonyult a matematikai eszközök használatánál. Azt hiszem, ez a kulcsa a sikeres matematikai képzésnek.

– Ha már a tudás átadásánál tartunk, elmondom, hogy Solomon Marcus professzorról a tisztelet és a szeretet hangján beszélnek a tanítványai. Ezek a hangok vezettek engem is önhöz. Ideje megkérdeznem: milyen vezérelvek szerint tanítja hallgatóit?

– Amikor errõl szót ejtünk, szeptember végén, a román középiskolások sztrájkolnak és tüntetnek a matematika ellen! A líceumok végzõs növendékeinek 2000 júniusában kell érettségi vizsgát tenniük, s az egyetem fizika–kémia és kémia–biológia szakára készülõk azt követelik, hogy csak a választott szaktárgyaik szerepeljenek a felvételi vizsgán. A velük folytatott beszélgetésekbõl kiderült, hogy képzésükben fölöslegesnek tartják a matematikát. Hogyan alakulhatott ki ilyen ostoba és nevetséges helyzet? Olyan idõszakban, amikor a matematika minden természettudomány alapvetõ eszköze! Gondoljunk csak a matematika, a számítástechnika és a biológia manapság legfontosabb interdiszciplináris vállalkozására, a Human Genom Project óriási fontosságára. S akkor a mi fiataljaink, akiknek éppenséggel ilyen interdiszciplináris képzést kellene kapniuk, az ellenkezõ állásponton vannak. Mindenesetre, ha megnézzük a középiskolai tankönyveket és figyelembe vesszük, hogyan tanít sok fizika-, kémia- és biológiatanár, megérthetjük, miért gondolja számos diák, hogy nincs szüksége a matematikára.

Cikkek sorát írtam, könyveimben több fejezetet szenteltem a matematikatanítás betegségeinek. Normális körülmények között a matematika tanításának kellene hivatkoznia a tudományterületek teljességére, azoknak pedig idõrõl idõre a matematikára támaszkodniuk. Nem elképzelhetetlen, hiszen elemi dolgokról van szó, hogy a diákok már a középiskolában megtanulják, milyen fontos a logaritmus, a polinom és az exponenciális függvény a fizikában, a kémiában, a biológiában, a számítástudományban, a közgazdaságtanban, a szociológiában, a nyelvészetben...

– Van önnek valamiféle oktatói ars poeticája?

– A matematika tanításában megpróbáltam a régi tényeket új szemmel nézni, hogy diákjaimmal együtt felfedezzük, milyen meglepõ a világ a matematika szemüvegén keresztül. Úgy gondolom, tanárként az a feladatom, hogy megtanítsam õket arra, miként kell jó kérdéseket feltenni. Ha ötszáz tanítványból száz megtanulja, ha közülük tízen a kutatói pályát választják, akkor talán akad majd egy, akibõl híres ember lesz. Jól emlékszem az 1952-53-as évekre, amikor MironNicolescu professzor matematikai elõadásánál tanársegéd voltam. Úgy hozta a véletlen, hogy tanulókörömben kiváló hallgatók gyûltek össze, akiket mélyen érdekelt a téma, meglátszott rajtuk professzoraik – Stoilow, Barbilian, Vrãnceanu, Vâlcovici, Ghika, Froda, Onicescu, Ionescu-Tulcea – hatása. Ezeknek a diákoknak külön feladatmegoldó szemináriumot szerveztem, minden hétre munkát, feladatokat adtam. Néhányuknak ez a szeminárium adott alkalmat arra, hogy kutatási eredményeiket írásba foglalják. Minden hallgatómat igyekeztem bevonni a kutatásba, függetlenül attól, hogy matematikusnak készült vagy sem. Hitem szerint legjobban akkor tehetjük vonzóvá a matematikát, ha a tanulót érdekeltté tesszük mind az intuitív hozzáállásban, mind az elméleti megismerésben. A tanulási folyamatban a kutatói hozzáállás a legeredményesebb, nemcsak azok számára, akik kutatónak készülnek, hanem azoknak is, akik „mindössze” tanulni szeretnének.

Arra törekszem, hogy a gyakorlati vonatkozásoknál sokkalta jobban kihasználjam a matematika mûvészi oldalát. Forrása lehet ez annak az örömnek, amelyet a tanuló szellemi erõfeszítéseinek jutalmaként érez.

– Úgy tudom, ön nagymestere a fiatal tehetségek felkarolásának. Nyomon követi útjukat, ha kell, harcol értük, eredményeik elfogadtatásáért. Milyen útravalót igyekszik nekik adni a matematikához fûzõdõ kapcsolatukhoz, az élethez?

– Nem szeretek tanácsokat osztogatni. Saját tapasztalat alapján tudom, mennyire fontos, hogy ne hozzunk döntéseket a pillanatnyi helyzettel túl szorosan összefüggõ események nyomására. Amikor elhatároztam, hogy matematikát tanulok, vállalkozásom kilátásai kedvezõtlenek voltak. Döntésem után apám két évig hozzám sem szólt. Én azonban a saját érzéseimre hallgattam. Úgy gondoltam, a foglalkozásomat életre szólóan választom, és borzasztó lenne olyan területen dolgoznom, amit nem szeretek.

Az ember sokféle módon lehet jó tanár. A legkiválóbbak közös jellemvonása, hogy tantárgyuk szeretetének vírusával hallgatóikat is beoltják. Igen, Pólya Györgynek igaza volt! A tanár feladata, szerepe hasonlít a színészéhez. Akárcsak a jó színész, a jó tanár is többet ad az elõírtnál. Ha sikerült megnyernünk tanítványainkat, elérhetjük, hogy ugyanúgy élvezzék a matematikát, ahogyan mi. Ilyenkor sokkal több idõt töltünk velük, mint az kötelességünk lenne. Kapcsolatunk már nemcsak a matematikára korlátozódik, hanem az élet problémamegoldó szemináriuma lesz. A matematika elmélyült megismerése életszemléletté, világnézetté válik.

– A mi vidékeinken, Közép-Európában sok jó matematikus „terem”. Lengyelország, Magyarország, Románia több kiváló matematikust adott a világnak. Milyen okai lehetnek ennek: hagyomány, oktatás, értékrend?

– Közép- és Kelet-Európa sok kulturális értéket adott a nyugati világnak. Úgy tûnik, bár tekintse ezt csak egy sejtésnek, hogy azoknak az embereknek, akik különbözõ kultúrák – például latin, szláv, görög, német, osztrák–magyar – hatása alatt álló térségben nõnek fel, nagyobb az esélyük a kiemelkedõ teljesítményekre.

– A matematikus társadalomra leselkedõ veszélyek egyike, hogy a matematika vészesen szétdarabolódik. Lassan már a matematikusok sem értik egymás nyelvét, terminológiáit. A másik a publikációk exponenciális növekedése, ami a tájékozódást nehezíti. Ön milyennek látja a jövõt?

– Nem csak a matematika, a többi tudomány is egyre inkább specializálódik, minden szakterületnek kialakul a saját szakmai zsargonja. Emiatt egyre ijesztõbb lesz a nagyközönség szemében, egyre kevésbé érti a többi matematikus. Párhuzamosan hat az ellentétes tendencia is, amely a matematikai örökséget tisztítja és tömöríti. Amikor elsõéves egyetemi hallgató voltam, az analitikus geometria legfontosabb fejezeteit egy 800 oldalas „biblia” tartalmazta. Néhány évvel késõbb 50 oldalra zsugorodott. A matematika egységesítõ ereje ugyanolyan erõs, mint a széthúzó.

Meg kell tanulnunk, hogy egyszerre legyünk analitikusak és holisztikusak, racionálisak és intuitívek. A fõ akadály rendszerint a nyelv. Igényesebbnek kell lennünk az új kifejezések és szimbólumok bevezetésével. Halmos Pál, a kiváló matematikus és a legjobb matematikatanárok egyike szerint a matematikai szövegek 50 százalékának természetes nyelven kellene íródniuk. Sajnos az iskoláknak szánt matematika nincs tekintettel erre a követelményre. A tankönyvekben és az osztályokban a legnagyobb terjedelmet, illetve a legtöbb idõt a számításoknak szentelik, így ne csodálkozzunk, hogy akkora a csönd a matematikaórákon.

A matematikai könyvek és folyóiratok árai rohamosan növekednek, megnehezítve a dokumentációt. Az egyetemi könyvtáraknak nincs pénzük a szakirodalom megrendelésére, ezek a kínok még nagyobbak a szegény kelet-európai országokban. A nehézségeket részben enyhítik az interneten elérhetõ információk, a személyes kapcsolattartás és a különlenyomat-csere. Vitatott kérdés, hogy a matematikát mennyire befolyásolják a számítógépek és a jövõ társadalmának egyéb aspektusai. Szerencsére a matematika válaszol a természetes szükségleteink által felvetett kérdésekre, segít a világ megértésében. Ebben a tekintetben nincs különbség matematika és zene között. A matematika ugyan nem tesz minket boldoggá, de nagy öröm forrása lehet, akárcsak a mûvészet.

A matematika értelmet ad életünknek.
 
 

 
Köszönettel tartozom Bencze Gyulának (Budapest), Oláh-Gál Róbertnek (Csíkszereda) és Ágoston Hugónak (Bukarest) segítségadásukért.