Beszélgetés T. SÓS VERA akadémikussal
T. Sós
Vera matematikus, az MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetének
kutató professzora, az Eötvös Loránd Tudományegyetem
címzetes egyetemi tanára. Akadémiánknak 1985-tõl
levelezõ, 1990-tõl rendes tagja. Az Erdõs-központ
tudományos tanácsának elnöke. Több mint
tíz neves nemzetközi matematikai folyóirat szerkesztõbizottságának
tagja. Az Österreichische Akademie der Wissenschaften külföldi
tagja, az Institute of Combinatorics and its Application (Waterloo) tiszteleti
tagja. A világ számos egyetemének volt meghívott
vendégprofesszora, Kanadában, Franciaországban, Németországban,
az Amerikai Egyesült Államokban. Tudományos publikációinak
száma eléri a százat. Akadémiai- és
Széchenyi-díjas.
Mi annyira vonzó és jó a matematikában? Mitõl képes egy életre magához láncolni az embert?
A megismerés, a megértés, az alkotás öröme a tudományokban közös. Az igazság megtalálásának módja különbözõ. A matematikában szigorú logikai következtetés során lesz egy sejtés igazolásából vagy annak cáfolatából tétel. Itt a szobában ülve, a külvilágtól függetlenül eldönthetem, igaz vagy sem. Ez önmagában is vonzó, hiszen a világban annyi minden bizonytalan.
Tehát az igazságkeresés a kulcsszó?
Nem csupán ez. A matematika amely részben a külvilág, részben a saját belsõ igényei által motivált kérdésekre keresi a választ érdekes, szép, izgalmas.
Ki figyelt fel arra, hogy Ön tehetséges a matematikában?
Gallai Tibor. Tizennégy éves koromtól négy éven át tanított.
Melyik gimnáziumba járt?
Az Abonyi utcai Zsidó Gimnáziumba.
Nagy szerencse, hogy ilyen jó tanár hatása alá került.
Egész életutamat meghatározta. Több mint szerencse, hogy amikor tizenöt évesen, túlzott szenvedéllyel elkezdtem feladatokon gondolkozni, kiemelkedõen jó tanárom volt.
Gallai hogyan foglalkoztatta a tehetséges diákjait?
Néhányunknak külön feladatokat mutatott. Kezünkbe adta a Középiskolai Matematikai Lapokat, melynek a háború után csak stencilezett példányai léteztek. Versenyekre küldött minket. Neki köszönhetem, hogy már középiskolásként megismerhettem Rényi Alfrédet, Péter Rózsát, Erdõs Pált. De talán mindezeknél lényegesebb, hogy megismertetett a megértés, a rájövés örömével, a matematika vonzerejével.
Gallai Tibor különleges képességû matematikus volt, mégis a rá jellemzõ majdnem abszurd szerénységével úgy ítélte meg, hogy amit õ adni tud, az nem elég. Elõször Rényi Alfréddel hozott össze hármunkat az osztályból. A 26 éves Rényi már ismert matematikus volt. Amikor Rényi kiment Linnykhez aspirantúrára Leningrádba, Gallai bemutatott Péter Rózsának.
Rózsi néni imádta maga körül tudni a fiatal tehetségeket, ugye?
Igen, de ennél többrõl volt szó. Amellett, hogy kiváló matematikus volt, hittérítõként népszerûsítette a matematikát. 1945-ben írt könyvét, a Játék a végtelennel-t 13 nyelvre fordították le, nemrégiben ismét kiadták magyarul. Emlékszem, Péter Rózsi nem fogadott el csak úgy, azonnal. Logikai feladatokkal kipróbált bennünket. Nagyon helyesen nem arra volt kíváncsi, hogy a gimnáziumi anyagon felül mit tudunk, hanem arra, miként gondolkozunk.
Gallainak Erdõs Pál volt a legjobb barátja. Erdõs édesanyja az Abonyi utcában, a gimnáziummal szemben lakott, Gallai rendszeresen látogatta, néhányunkat esetenként magával vitt. Így azután, amikor Erdõs a háború után 1948-ban elõször hazalátogatott, vele is megismerkedhettünk.
 |
| Erdõs Pállal |
Memóriám nemigen õriz errõl éles képeket. Gallai mondott néhány Erdõst bemutató szót: itt van valaki, aki sok szép tételt bizonyított, nagyon sok minden érdekli és nagyon jó barátom. Erdõs mindjárt kérdezett, mondott egy-két feladatot. Nem csinált különösebb hókuszpókuszt. Erdõs soha senkivel nem éreztette szellemi fölényét. A fiatalokhoz mindvégig közvetlen, barátságos volt, egyenrangú partnernek tekintette õket.
Ennyi kedvezõ hatás után szinte törvényszerû, hogy a matematikát választotta élethivatásul.
Szerencsés voltam, mert korán találkozhattam olyan emberekkel, akiktõl megtudhattam, hogy mi is a matematika. Nem szeretem a ma oly gyakran koptatott jelzõket, mint híres, nagy, óriás... Mégis, akikrõl beszéltem, átlagon felüli, különleges emberek voltak, igaz, mindegyikük más módon az.
Szeretném, ha néhány mondattal jellemezné õket. Kezdjük Gallai Tiborral.
Talán meglepi, hogy nem a matematikusi mivoltával kezdem, hanem az emberi tulajdonságaival. Gallai végtelenül tiszta ember volt. Az erkölcsi normáknak, a morálnak, az emberi tisztességnek olyan fokán állt, amire csak nagyon kevés példa van.
Most is, évekkel a halála után gyakran elhangzik konferenciákon: ezt a tételt is Gallai bizonyította elõször, de soha nem publikálta. Több ilyen, azóta másról elnevezett tétele van. Magasra emelte az értékrendjét, csak a legjobbnak tartott eredményeit publikálta, nemzetközi hatása igen jelentõs.
Egy jellemzõ történet: 1956-ban, a nagy árvíz évében kapott Kossuth-díjat, a vele járó pénzt, úgy ahogy volt, az árvízkárosultaknak adta. Mondanom sem kell, Gallai soha nem volt gazdag ember. A Matematikai Lapok szokás szerint cikket közölt a díjazott munkásságáról. Akkor Turán Pál, egyik legjobb barátja volt a folyóirat fõszerkesztõje. Gallai írt neki egy hivatalos levelet, amelyben nehezményezte, hogy a Bolyai János Matematikai Társulat lapja ilyen dicsérõ cikket közölt a munkásságáról és ezért tiltakozásként kilépett a Társulatból.
Nem túlzott szerénység ez?
De igen, a Gallai-képhez ez is hozzátartozik.
Hogyan lett akkor mégis az Akadémia levelezõ tagja?
Az már élete utolsó éveiben történt. A matematikusok erõszakosabbak voltak, mint õ.
Más kép. Gallai 1948-49-ben átkerült a Mûegyetemre, ott lett tanszékvezetõ. Azután lemondott a tanszékvezetésrõl és átjött a Matematikai Kutatóintézetbe. Ötvenöt évesen otthagyta az Intézetet. Gyûjtött kis pénzt, matematikusnak akkoriban sem volt mibõl sokat félretennie. Öt évig nyugdíj és segély nélkül nagyon szûkösen, aszkéta módon élt.
Miért tette?
Valójában senkinek, még a legközelebbi barátainak sem adott magyarázatot arra, hogy miért lépett ki az Intézetbõl. Sajnos, felesége rövidesen nagyon beteg lett. Gallai több mint tíz éven át reggeltõl estig mellette volt, mindent végigcsinált, amit egy ilyen betegség megkövetelt. A matematikát abba kellett hagynia. Kivételt jelentettek azok a rövid idõszakok, amikor Erdõs itthon volt. Õ mindig felment Gallaihoz, és arra ösztönözte, hogy matematikán gondolkozzon.
Amikor felesége meghalt, Gallai már elmúlt hetvenéves. Elõszedte az egykor abbahagyott témáit és megírt néhány nagyon komoly cikket. Megmaradt benne a matematikai iránti érdeklõdés és szenvedély, még ha mindezt hosszú évekre háttérbe szorította is.
Rényi Alfréd következik.
Rényi merõben más habitusú ember volt. Néhány szóval jellemezve: könnyed, közvetlen, sokoldalú, sokszínû, életörömmel teli, hihetetlenül aktív. Sokakban az rögzült, hogy Rényi fõ kutatási területe a valószínûség-számítás volt. Õ valójában a matematika számos fejezetében fontosat alkotott. Központi szerepet játszott a magyar matematikai életben, beleértve az oktatást, a magas szintû ismeretterjesztést. Ha figyelembe vesszük, hogy kevesebb, mint 50 évet élt, sokoldalú produktivitása és annak hatása szinte példa nélküli. A gyertyát mindkét végén égette.
Gondolom, Péter Rózsa ismét egy más világ.
Igen. Rózsit valaki vagy nagyon szerette, vagy nagyon nem. Én az elõzõek közé tartoztam. Dacára a nagy korkülönbségnek, igen közeli volt a kapcsolatunk. Péter Rózsa minden szempontból szigorú alkat volt. Elvárta, hogy mások is az általa elképzelt úton járjanak, ezt tartotta szem elõtt a tanításban is. Ha valami nem tetszett neki, veszekedett, kiabált. Minden eszközzel és kitartóan küzdött az igazságért.
Gallai, Erdõs, Rényi, Péter Rózsa mindannyian közvetlen, emberarcú matematikusok voltak.
Igen és lényeges, hogy egyikük sem volt híve a hierarchiának. A matematikusok világa különben is kevésbé épül a tekintélyelvre.
Versenyeredményeire tekintettel felvételi nélkül került az Eötvös Loránd Tudományegyetem matematika-fizika tanárszakára. Kik tanították akkor a matematika tárgyakat?
Fejér Lipót, Riesz Frigyes, Hajós György, Turán Pál, Szász Pál, Rényi Alfréd... Az egyetemi éveim számomra eufóriás évek voltak. Néhányunkat bedobtak a mélyvízbe: másodéves koromtól az ELTE alkalmazottja is lettem, demonstrátori állásban.
Melyik tanszéken alkalmazták?
Ez jó kérdés, mert jellemzõ az akkori állapotokra, hogy még nem voltak a matematika tanszékek ilyen élesen elválasztva, mint ma. Volt egy matematikai intézet és néhány tanszék. Engem Fejér tanszékére neveztek ki. A háború elõtt és még utána is egy-két évig csak két-három matematikus volt fõállásban az egyetemen. Az ötvenes évektõl megváltozott az oktatás struktúrája, sok hallgató került az egyetemre, megnõtt a kötelezõ elõadások és gyakorlatok száma. Az új helyzet több gyakorlatvezetõt követelt. Így vezethettem egyetemistaként gyakorlatokat geometriából, differenciálgeometriából, valószínûség-számításból, analízisbõl. Mindezt azért tartom szerencsémnek, mert az ember azt tanulja meg igazán, azt képes mélyen megérteni, amit valamilyen formában oktatott. Egyedül algebrát és számelméletet nem tanítottam. A számelmélethez késõbb közel kerültem, az algebrához sajnos nem. Ma már csodálom azt a bátorságot, hogy másodéves fejjel gyakorlatokat mertem vezetni, több témakörbõl is.
Szakdolgozatát kinél írta?
Senkinél.
Na, mik derülnek ki!
Amikor húsz éves voltam, akkor tartották Budapesten az I. Magyar Matematikai Kongresszust. Különleges körülmények között rendezték. Ezen a kongresszuson tartottam életem elsõ elõadását egy geometriai eredményemrõl. Talán ennek tulajdonítható, hogy nem kellett szakdolgozatot írnom. Viszont gyakorló év helyett jártam egy csavargyárba nyári gyakorlatra.
Ez szép! Ott mit gyakorolt? Csak nem mintákat vett?
Statisztikai elemzést kellett végeznem. Reggel hétre mentem a gyárba, ott álltak a különbözõ nagyságú csavarokat gyártó masinák, amiket sorra jártam és mindegyiknél 5-10 percenként mintát vettem. A hónap végére azután teóriát gyártottam a csavarjaim segítségével.
Akkor elmondhatjuk, hogy már kora fiatalságában alkalmazott matematikát mûvelt.
Ha így definiáljuk az alkalmazott matematikát, akkor igen.
Ön Fejér Lipót aspiránsa volt. Lipi bácsi milyen aspiránsvezetõnek bizonyult? Mit tanult tõle?
Érdekesek és emlékezetesek voltak a vele való beszélgetések, megéreztette mit jelent körbejárni, megoldani egy matematikai problémát, s hogy mi a szépség a matematikában. Végül is a véletlen alakította úgy, hogy a kandidátusi disszertációmat már nem az õ témájából írtam, attól eléggé elkanyarodtam.
Közelrõl megismerhette a két szellemóriást, Fejér Lipótot és Riesz Frigyest. Õk több mint egy évtizedig együtt dolgoztak az Eötvös Loránd Tudományegyetemen, sõt még a tanszéki szobájuk is közös volt. Barátok vagy riválisok voltak?
Mindkettõ, ahogyan az már ilyen nagyságoknál gyakori. Vezetõ alakjai voltak a matematikának, pályájuk szoros párhuzamban haladt. Összezárta õket a történelem és hosszú évekig a közös szoba is az egyetemen. Nagyon különbözõ alkatú matematikusok voltak, apró, humorral fûszerezett csipkelõdéseik is ebbõl fakadtak. Riesz elméletalkotó, absztraktabb matematikusi alkat volt, Fejér klasszikusabb. Más volt az elõadásstílusuk, más az emberekhez, az élethez való viszonyuk. Mindketten agglegényként éltek. Riesz tûnt magányosabbnak, visszahúzódónak, zárkózottnak. Fejér nyitottabb, társaságkedvelõ, segítõkész egyéniség volt. Zongorázott, költõ barátai voltak, szerette az életet. Ottlik Géza, aki Fejér hallgatója volt, így írt róla: Óriás volt. Földöntúli vigasztalás a puszta lénye. Aki nem ismerte, az valamit nem tud a világról, és sohasem is fogja megtudni.
Jól látom, hogy Ön nemcsak témaválasztásának köszönhetõen, hanem lélekben is közelebb állt Fejér Lipóthoz? Ez minek tulajdonítható?
Rieszt csak távolról tiszteltem, hallgattam a nagyon érdekes elõadásait, vizsgáztam nála. Fejérrel sokszor találkoztam, emberileg is közelebb kerültem hozzá.
Talán megbocsátja nekem, hogy mielõtt visszatérnénk Önhöz, még egy olyan matematikusról kérdezem, aki meghatározóan formálta az életét. Turán Pálról van szó, nevének kezdõbetûjét Ön máig hordozza. Hogyan ismerkedtek meg?
Az egyetemen engem is tanított, s miután végeztem, szerencsésen egymásra találtunk, összeházasodtunk.
A saját munkájában mit számított Önnek az, hogy ilyen kiváló matematikus, erõs egyéniség a férje? Megjegyzem, valaki úgy ítélte meg, ebbõl legalább annyi hátránya származott, mint elõnye.
Merem hinni, hogy lényegében egyik sem. Soha nem gondoltam arra, hogy mérleget készítsek.
Pedig az néha hasznos is lehet. Például abban, hogy felismerjük, mikor voltak sikeres vagy sikertelen periódusaink a kutatásban.
 |
| György és Tamás fiával |
Férjének is sokat segített a matematika a munkaszolgálat megalázó napjaiban. Feljegyeztem sorait, melyek a Journal of Graph Theory folyóiratban láttak napvilágot, már halála után: Az az öröm, hogy egy szokatlan problémával kezdhetek, a probléma szépsége, a megoldás fokozatos megközelítése, s a végsõ megoldás feledhetetlenné tették ezeket a napokat. A szellemi szabadság érzése, s az, hogy szellemileg bizonyos fokig nem lehet elnyomni, mindez csak hozzájárult az extázishoz.
Megrázó, amikor valaki a pokolban is megteremti a maga mennyországát.
Ez a tény. Az a bizonyos Turán extrém gráf tétel ott született, akkor körvonalazódott meg a fejében, a villanyoszlop tetején, munka közben. Ahhoz, hogy ezen gondolkodjon, nem kellett neki papír, ceruza.
Olyan szépen jellemzett embereket, kérem, tegye meg ezt a matematikus Turán Pállal is.
Nem nekem kellene, aki annyira közel állt hozzá.
Éppen ezért fontos a véleménye. Turán Pált a matematikus társadalom ítélete már magasra emelte. Nyugodtan fogalmazhat, Önt ezért senki nem vádolhatja elfogultsággal. Mitõl volt Õ jó matematikus?
Legelsõsorban attól, hogy az élete volt a matematika. Hihetetlenül izgatta, érdekelte, nem egy esetben szellemi túlélésre használta. Ez nagy adottság. A lényeget, a jelenségek okát kereste, és képes volt azt megragadni. Sokan tudják, hogy a Riemann-sejtés foglalkoztatta...
Ami máig megoldatlan problémája a matematikának. A legtöbb nagy matematikus, ha megkérdezték tõle, mire lenne kíváncsi, ha száz év múlva feltámadna, azt válaszolta: Szeretném megtudni, megoldották-e a Riemann-sejtést. Ami, ezek szerint, embertelenül nehéz feladat.
 |
| Turán Pál és Sós Vera (1965) |
Hogyan lehetne összefoglalni, mely tulajdonságok vezették õt a sikereihez?
A nagy bizonyítóerõ, a hihetetlen mély átértõ- és meglátóképesség, az intuíció, a makacs kitartás és a soha meg nem szûnõ érdeklõdés, szenvedély a matematika iránt. Ez élete utolsó pillanatáig izzott a lelkében.
Szépen emlékezett róla egyik hallgatója, az íróvá lett Esterházy Péter
Az Elefántcsonttoronyban kötetében olvashatók ezek a sorok: Emlékszem, Turán professzor úr óráira tiszta tábla kellett. Egy alkalommal nem lettünk kész, valaki, konkrétan Dervaderics Károly még törölgette a táblát. Ez azt hiszem, 1970-ben lehetett, amikor itt Budapesten rendezték az öttusa világbajnokságot. Ezért mondhatta Turán tanár úr: Hát ezt, kolléga, Balczó úgy mondta: bálcó, á-val, ahogy anyám a táxit, generációs kérdés , hát ezt Bálcó gyorsabban csinálta volna. Dervaderics közben befejezte, de az óra nem kezdõdött el. Láthatóan épp mindenféle dolgok történtek a professzor úr hatalmas homloka mögött. Majd derûsen, a megoldás derûjével mondotta: Nos, kolléga Ön persze mondhatná hogy Ön nem Bálcó.
Bár roppant kíváncsi lennék a véleményére az Erdõs-jelenséggel kapcsolatban, róla most mégsem kérdezem. Legyen ez egy következõ beszélgetésünk kiindulópontja.
Rendben. Néhány mondat azért álljon itt Erdõsrõl, Rényirõl, Turánról. Hármukat nagyon szoros baráti szálak fûzték össze. Különbözõ életutakat jártak be, eltérõ személyiségek, más-más matematikusi karakterek voltak. Munkásságuknak mégis volt egy lényegi, közös jellemvonása: sokféle és sokszínû matematikát mûveltek. Ma már ez egyre elképzelhetetlenebb.
A férjével voltak közös munkái, publikációi?
Kevés közös cikkünk van.
Könnyû volt vele együtt dolgozni?
Természetesen. Ettõl még akár több közös munkánk is lehetett volna. De témaköreink eltértek, ezen kívül más volt a matematikusi karakterünk is. Egy festményrõl a stílus, a technika, a téma alapján felismerhetõ, hogy ki festette, így van ez a matematikában is.
Említene néhány közös témát, amin együtt gondolkodtak?
Van egy nagyon régi közös cikkünk a páros gráfokról. A probléma, melyet ebben megfogalmaztunk, máig nyitott és sokat vizsgált kérdés, ma is gyakran hivatkoznak arra, amit akkor bizonyítottunk. Félreértés ne essék, nem azért, mintha a mi eredményünk olyan mély lenne, hanem a probléma nagyon nehéz. Ezután van néhány cikkünk Erdõs Pállal és egy kanadai matematikussal közösen. Potenciálelméletre, geometriára, távolságeloszlásra alkalmaztuk a gráfelméleti módszer és a Turán-féle extrém gráf tétel általánosításait. A gráfelmélet és a kombinatorika hazai és külföldi története külön mese. Nem magyar specialitás volt, hogy a kombinatorikának nagyon nehezen lehetett rangot teremteni. Palit ez rettenetesen bosszantotta. Nagyon sok tudatosság, erõ és elhatározás volt benne, hogy küzdjön az ilyen tévhitekkel szemben. Ez is hozzájárult e cikkek megírásához.
A matematikán belül mi az Ön szûkebb kutatási területe?
A számelmélet, ezen belül diofantikus approximáció és kombinatorikus számelmélet, valamint a kombinatorika, de ez a két terület valahol összeér.
Mi a diofantikus approximáció alapkérdése?
Valós számokat szeretnénk racionális számokkal
közelíteni úgy, hogy minél kisebb számlálójú
és nevezõjû törtek szerepeljenek a közelítésben.
Tehát, ha van egy valós szám, például
a 
, akkor azt
mindenki tudja, hogy ahhoz tetszõlegesen közel lehet jutni
racionális számokkal. Vesszük a
tizedes tört kifejtését és azt olyan messze vágjuk
el, hogy a hiba a kívántnál kisebb legyen. Igen ám,
csakhogy ily módon az n-edik jegy esetén 10n
nagyságrendû nevezõvel közelítünk.
Egy gyakorlati probléma vezette Huygenst a 17. században
arra a kérdésre, miként lehet egy valós számot
úgy megközelíteni racionális törtekkel,
hogy azok számlálója és nevezõje a lehetõ
legkisebb legyen. Ez a kiinduló kérdése a diofantikus
approximációnak. Megadok egy valós számot,
keresünk olyan p és q egész számokat,
hogy ha a q-t felülrõl korlátozom például
ne legyen több mint 1000 , akkor hogyan lehet az ilyen p/q
törtet megkapni és mi a legjobb közelítés.
Huygens akkor jutott ehhez a kérdésfelvetéshez, amikor
a Naprendszerhez akart fogaskerék-modellt konstruálni. Egy-egy
fogaskerék egy-egy bolygót reprezentált, s úgy
kellett megválasztani az egymáshoz kapcsolódó
fogaskerekek fogainak számát, hogy a mért adatokat,
a bolygók keringési idejét legjobban megközelítsék.
A kapcsolódó kerekeknek egész számú
fogai vannak, ezzel megfogalmazódott a matematikai probléma.
A diofantikus approximációnak számos érdekes kapcsolódási pontja van más tudományterülettel. Talán legmeglepõbb és legújabb a kvázikristályok elméletével való összefüggése.
Megvilágítaná a kapcsolat mibenlétét?
Megpróbálom. Tudjuk, hogy a kristályok atomi szerkezete szabályos periodikus rendet mutat. Sokáig úgy tekintették, hogy az amorf anyagok szerkezetében semmiféle szabályosság sincs. A nyolcvanas évek közepén Schechtman felfedezte, hogy az alumíniummangán ötvözet sok szempontból a kristályokéhoz hasonló szabályosságot, de ötös szimmetriát mutat. Ez az anyag kristályszerûnek tûnt, ezért nevezték el kvázikristálynak. Tudjuk, hogy három dimenzióban nem létezik ötödrendû forgásszimmetriájú periodikus térkitöltés. A csodálatos észrevétel ami ismét bizonyítja, hogy minden mindennel összefügg az volt, hogy a kvázikristály ötös szimmetriája titokzatos hasonlatosságot mutatott Roger Penrose kváziperiodikus parkettázásához. És mindezzel kapcsolatban elõjött a diofantikus approximáció.
Hogyan?
Döntse el, hogy leírható-e, én mindenesetre elmondom. De Bruijn bebizonyította, hogy ezeket a Penrose-parkettázásokat lehet úgy származtatni, hogy az ötdimenziós térben veszünk egy közönséges rácsot, majd egy alkalmas kétdimenziós síkot, és erre vetítjük azokat a rácspontokat, amelyek bizonyos távolságnál közelebb vannak a síkhoz. Ha ezt az eljárást két dimenzióban végezzük el, akkor megkapjuk azokat a sorozatokat, melyek a diofantikus approximáció alapobjektumai, egy irracionális szám egész többszöröseibõl képezett sorozatok.
Meglepõ felismerés.
 |
| Leckekönyvek aláírása az
Eötvös Loránd
Tudományegyetemen (1975) |
Adott ez lendületet a matematikának? Mennyire lezárt terület a diofantikus approximációk elmélete?
Abszolút nyitott, számos megoldandó kérdéssel. A kvázikristályoktól függetlenül is, melyek további problémákhoz vezetnek. A matematika és a fizika történetében nem elõször fordult elõ az egymásra találás, de az sem, hogy azután a felmerült problémák mindkét tudomány saját, belsõ vonalait is bejárják.
Ez hát érdeklõdésének egyik iránya. És a másik?
Kombinatorika, gráfelmélet, kombinatorikus számelmélet, véletlenszerû struktúrák.
Vannak örök szerelmei, hosszan tartó vonzódásai a matematikában?
Vannak olyan témakörök, amik évtizedeken keresztül foglalkoztatnak. Például éppen az elõbb említett (a, 2a, ) sorozatok. Egy egyszerû, de alapvetõ tulajdonságával és annak következményeivel foglalkoztam az ötvenes években, azóta is. Éppen most egy holland matematikussal és fiatalokkal kezdünk együttmûködést ehhez kapcsolódó témában, ami meglepõen és izgalmasan sok területen releváns: a számelméletben, a kombinatorikában, az operációkutatásban, az információelméletben, de még a kvázikristályok elméletében is.
Ezen kívül mi foglalkoztatja?
A véletlenszerû struktúrák. Röviden talán egyik elõadásom címe fejezi ki, mire gondolok: Order, disorder, and what is in between.
Mit jelent az, hogy véletlenszerû?
A legegyszerûbb ezt a 0 és 1 jelekbõl álló sorozatokkal érzékeltetni. Az ember sohasem dolgozik igazán a véletlennel. Ritkán szülnek 0, 1 véletlen sorozatot úgy, hogy pénzt dobálnak. A véletlen-ként használt sorozatok is többnyire determinisztikusak, valahogyan elõállították, legyártották õket. Éppen ezért hihetetlenül izgalmas kérdés, hogy mikor mondjuk azt valamire, hogy véletlenszerû. Most nem a véletlen logikai definíciójára gondolok. A 0, 1 sorozatok esetében Kolmogorov pontosan értelmezte, hogy azok mikor tekinthetõk véletlen sorozatoknak.
Itt van elõttünk egy 0-ból és 1-bõl álló sorozat. Ha látjuk, hogy az csupa 1-bõl áll, vagy akár 0, 1, 0, 1, 0, 1... folytatódva a végtelenségig, akkor azt nem tekintjük véletlenszerûnek.
Amikor azonban nagyon nehezen tudom kitalálni, miként készülhetett a sorozat, akkor úgy tekinthetek rá, mintha véletlen sorozat lenne?
Ez a Kolmogorov-féle megközelítés. Mi azt vizsgáljuk, milyen tulajdonságjegyek alapján mondhatom a sorozatra, hogy véletlenszerû. Mondok egy példát. Azt mindenki érzi, hogy egy 0, 1 sorozat akkor lehet véletlenszerû, ha kb. ugyanannyi 0 van benne, mint 1. Ez azonban nem elég. Mert ha az elsõ tízezer jegy mind 1-es, a következõ tízezer 0, ez sem véletlenszerû. Ezért azután ezt a tulajdonságot minden nem túl kis résztõl is meg kell követelnünk. Tehát, ha kiveszünk a sorozatból elég sok egymás után következõ elemet, azt várjuk el, hogy abban is majdnem annyi 0 van, mint 1. De nem csak ez jellemzõ. Ha tekintem a szomszédos párokat, amik lehetnek a 0,1, a 0,0, az 1,0, vagy az 1,1, akkor ezek is kb. ugyanannyiszor forduljanak elõ, és így tovább.
Tehát azt vizsgáljuk, hogyan ragadható meg valamilyen módon az, hogy bizonyos struktúra véletlenszerû. Nem az, hogy véletlen-e, mindössze az, véletlenszerû-e.
Visszatekintve arra az idõszakaszra, melyet az Ön életútja idáig átfog, megfogalmazható-e, hogy miben változott meg a matematika világa?
Mint az egész világ, sok mindenben. Kiszélesedett a matematika, mennyiségében és karakterében is változott. Megváltoztak a kutatott témakörök, a kutatás jellege, stílusa, a matematikának a természet- és a társadalomtudományokhoz való kapcsolata... Mások az elvárások, megváltozott a tudomány, a matematikusok világa, s nyilván változott a kutatói lélek, hiszen a kor, melybe születünk, egyéniségünket is alakítja. A tudományban robbanás történt, hihetetlenül nagy a versenyfutás. A változást az is jelzi, hogy foglalkozássá vált matematikusnak lenni. Hatvan éve ez még nem volt így. A budapesti tudományegyetemen és a Mûegyetemen csak néhány matematikus dolgozott. Nem volt még matematikusi diploma. Mennyiségében és minõségében mássá vált a kutatómunka.
Azt azért még megkérdezem, hogy a 20. század matematikáját Ön szerint milyen fõ áramlatok befolyásolták?
A század elején váltak fejezetté a matematika absztraktabb részei: a funkcionálanalízis, az ergodelmélet, a topológia, az algebrai elméletek
A század közepétõl erõsödött az absztrakció igénye, mely többek között a bourbakizmus köntösében jelent meg. Bár nem idomult hozzá az egész matematikai világ, mégis erõs, alakító hatása volt.
A bourbakisták mit tettek, mit tartottak fontosnak?
Újraírták a matematikát, mindig a legáltalánosabb formára törekedve, absztraktabb felépítésben és szemlélettel.
Értékesebb lehet valaminek az átírása az új igazságoknál?
Lehet az újraírás fontos, ha más szemléletet hozva mélyebb megértéshez vehet. Bizonyos területen nagyon sok tételnek korrekt és szép bizonyítását ismerhetjük, mégis lehet hiányérzetünk. Nem tudjuk az okát, de érezzük, hogy az igazi jelenséget még nem ismerjük. Akkor értékes az átírás, amikor ebben segít. Más kérdés, lehet-e, szükséges-e egységes ízlést, stílust, kutatási irányt kijelölni.
A múlt század végén, 1900-ban Párizsban Hilbert megfogalmazott 23 problémát, amelyet õ a legfontosabbnak tartott. Száz év múlva, most, 2000-ben ez megismétlõdött. Egy amerikai matematikus, Landon T. Clay kezdeményezésére Párizsban összeült néhány kutató és szerényen kijelölt 7 problémát a 21. századra.
Ezek azok, melyek megoldásáért egy-egy millió dollárt adnának?
Így van, és ez már kissé befolyásolhatja a jövõ kutatásait. Persze nem hihetjük, hogy néhányan eldöntötték, mi a 21. század matematikájának fõ feladata.
A hét problémában ott bujkál valahol a bourbakizmus? Már csak Párizs tiszteletére is.
Nem. Az elsõként említett P=NP probléma az algoritmuselmélet, a computer science alapkérdése, a többiek között pedig vannak eddig még megoldatlan Hilbert-problémák is.
Úgy tûnik tehát, hogy a 21. század matematikáját nem a bourbakizmus uralja. Akkor mi?
Erre szinte lehetetlen válaszolni. Azt tudjuk, mi befolyásolta döntõen a matematikát az elmúlt évtizedekben és még valószínûleg sokáig: a computer science. A számítógépek léte, felhasználása tendenciákat, igényeket változtatott meg... Reflektorfénybe került az algoritmuselmélet, nõtt a jelentõsége és a fontossága. Eltolódtak a hangsúlyok a matematikában. Ezért persze nem csak a számítógépek, a computer science felelõs. Az egész tudomány jellege megváltozott, s vele a matematikával szembeni igény. De errõl már beszéltünk.
Ne nehezteljen rám, engem visszatérõen az foglalkoztat, hogy ebben a nagy rohanásban, tülekedésben hogyan változik meg az ember, a kutató, a matematikus.
Változott a világ, az értékrend, az egész élethez való viszonyulás. A robbanásszerû növekedés nagyfokú specializálódást hozott létre. Ugyanakkor a mély eredmények és azok bizonyításának komplexitása, a matematika egységét, a matematika látszólag teljesen elkülönült területei közötti összefüggés felismerését, azok ismeretének együttes birtoklását feltételezi. E kétirányú tendencia kezelése és uralása alapkérdés.
Megváltozott a matematikusok együttmûködésének jellege és jelentõsége. Korábban is voltak közös kutatások, de gyakrabban ugyanannak az eredménynek egyidejû, független felfedezése vagy egymás munkájára épülõ, váltogatott lépésekkel való elõrehaladás volt jellemzõ. Az elmúlt néhány évtizedben a kézzel írott, postán küldött leveleket felváltotta a másodpercek alatt létrejövõ kommunikáció. Ez, és a nemzetközileg is finanszírozott projektek az együttmûködést más szerepbe helyezik.
Ennek egy másik vetülete, hogy a tudomány finanszírozása, a pályázatok, a beszámolók az eredmények azonnali (sokszor túl korai) publikálását kényszerítik ki a kutatókból. Ez már önmagában is megváltoztatja a kutatói mentalitást. Miért éppen a matematikusok maradnának olyan ideális állapotban, amikor azt mondhatják: engem nem érdekel a külvilág, nem érdekel, hogy kutatásaimhoz mekkora támogatást, mennyi fizetést kapok, nem érdekel, van-e lakásom, nem érdekel, hogy gyermekeimnek tudok-e enni adni vagy sem, csak az érdekel, hogy ezt a tételt bebizonyítsam. A tehetség és elhivatottság a kutatói létnek szükséges, de egyre kevésbé elégséges feltétele.
Egyetértek Önnel. Ugyanakkor azt is tapasztalom, hogy matematikánk egykori nagy egyéniségei és a mai élvonalban teljesítõk emberi arca nagyon hasonlít egymásra. Pozitív emberi vonásaikat nem öli meg a felgyorsult versenyfutás.
Teljesen igaza van. Az életvitel változhat, de az igazi kutatói hozzáállás, a tiszta szándék és a hit állja még az idõ rohamát. Szerencsére vagy sajnos az emberi alkat nem tud annyira gyorsan változni.
A matematikai ismeretek növekedését mennyire követheti az emberi agy?
Semennyire. A tételek számának hihetetlen gyors növekedése részben nyeresége a matematikának. Több igazságot ismerünk meg, többet tudunk a világról. Ugyanakkor a megoldott feladatok számának arányában nõ a megoldatlan problémák sora. Agyunk befogadó képessége korlátos. Meddig tarthat ez az exponenciális növekedés? Milyen lesz a jövõ információközlése, hogyan viselik el a publikációk gátszakadását, az elraktározandó ismeretek áradatát a könyvtárak? A tudomány fejlõdéséhez hozzátartozik az értékelés és az átértékelés folyamata. Talán, ami lényegesnek bizonyul, az fennmarad a szitán. A többi elfelejtõdik.
A jövõ fürkészésébõl térjünk vissza a mi kis világunkhoz. Amikor egyik professzortársát megkérdeztem, hogy T. Sós Vera a matematikán kívül miben jó, azt válaszolta: emberségben. Tudom, Ön sokat harcolt a matematikus közösségért. Megérte?
Régen volt...
Szeretném, ha kissé többet mondana errõl.
Hosszú, bonyolult történet. A jelen problémái mások, és fontosabbak.
Tudom, a most következõ témát sem szereti...
Kérdezzen nyugodtan, edzett vagyok.
Magyarországon a tudományos kutatásban elõny vagy hátrány az, ha valaki nõ?
Borítékoltam volna a kérdést! Egyik sem, legalábbis a matematikus világban ezt tapasztaltam. Ugyanakkor másutt ez forró téma, lépten-nyomon érzékelem.
T. Sós Vera a magyar matematikustársadalomban nyilván nem érezte ezt a megkülönböztetést, Önt maximum az ajtónál engedik elõre férfikollégái...
és a legkényelmesebb fotelben ülhetek. Így van! De komolyra fordítva a szót, külföldi tapasztalataim alapján úgy látom, hogy összekeveredik a tényleges diszkrimináció elleni küzdelem, a valóságos (örvendetes) különbözõségbõl eredõ körülmények javítására való törekvés és az évszázadok óta kialakult tradíciók, konvenciók elleni tiltakozás.
Változtatásra, segítségre természetesen szükség van. De a kérdést nagyon óvatosan kell kezelni, különösen így van ez a tudományos életben. Jó szándékú intézkedés is lehet helytelen, hatása lehet káros.
Egy példa: A Nemzetközi Matematikai Unió négyévenként tartja kongresszusát. Négy év jelentõs eredményeinek szemléje a kongresszus, ezen meghívott elõadónak lenni nemzetközi elismerést jelent. Többször felvetõdött: a meghívott elõadók között kevés nõ van. Néhány éve a kongresszust megelõzõ tanácskozáson az amerikai delegáció azt javasolta, hogy a meghívott elõadók kiválasztásánál legyen kvóta a különbözõ kisebbségek, köztük a nõk számára. Tehát kötelezõ legyen elég nagy számban meghívni a kisebbségek képviselõit. A javaslatot dermedt csend követte. Majd felszólalt az afrikai küldött és kérte, definiálják, hogy mit értenek kisebbségen. Ezután jött egy kevésbé ildomos hozzászólás, más minoritást emlegetve, a homoszexuálisokét. A csönd még dermedtebb lett. Ekkor én is hozzászóltam. Elmondtam, hogy igazi diszkriminációnak a kvótát tartom.
Hogyan fogadták a véleményét?
Elfogadták, s a javaslat lekerült a napirendrõl. A kérdés ezzel még nem zárult le, sok utórezgése keletkezett, voltak külön vitáim, de a véleményem azóta sem változott.
A nõszervezetekrõl, úgy látom, nem igazán jó a véleménye.
Nem errõl van szó. Azt vallom meggyõzõdéssel, hogy nincs külön nõi matematika. Ezért sem tartom szerencsésnek például azt, amikor a nõi matematikusoknak külön kongresszust szerveznek.
Soha nem jutott eszébe, hogy másutt éli le az életét? Megtehette volna.
...
Látom, rázza a fejét. Akkor tovább kérdezem. Miért?
A miértre akkor kellene válaszolnom, ha úgy döntök, nem itt élek tovább.
Amerikában sokkal jobban élhetett volna.
Ha az anyagiakra gondol, természetesen igaza van. De miért kellett volna ennek döntõ szempontnak lennie az életemben? A matematikus világgal való kapcsolatomban nem jelentett hátrányt, hogy Magyarországon élek.
Összességében tehát jól érezte magát a világnak ezen a felén?
Mi, matematikusok súlyozott átlaggal számolunk.
Lehet olyan súlyozást találni, hogy azt válaszolhatom:
igen.
Budapest, 2000 júliusa
Az interjút készítette: STAAR GYULA